Раздел (теория категорий) - Section (category theory)
В теории категорий , разделе математики , раздел является правой инверсией некоторого морфизма . Соответственно , ретракция - это левая инверсия некоторого морфизма . Другими словами, если f : X → Y и g : Y → X - морфизмы, композиция f o g : Y → Y - тождественный морфизм на Y , то g - сечение f , а f - ретракция g .
Каждое сечение является мономорфизмом (каждый морфизм с левым обратным является лево- сокращающим), и каждое ретракция является эпиморфизмом (каждый морфизм с правым обратным является право-сокращающим ).
В алгебре сечения также называются расщепленными мономорфизмами, а ретракции также называются расщепленными эпиморфизмами . В абелевой категории , если F : X → Y является расщепляющим эпиморфизмом с раздельным мономорфизма г : Y → X , то Х является изоморфно на прямую сумму из Y и ядро из F . Синоним коректракции для раздела иногда встречается в литературе, но редко в недавних работах.
Терминология
Понятие ретракции в теории категорий происходит от по существу аналогичного понятия ретракции в топологии : где является подпространством , ретракция в топологическом смысле, если это ретракция отображения включения в смысле теории категорий. Концепция топологии была определена Каролем Борсуком в 1931 году.
Ученик Борсука, Самуэль Эйленберг , вместе с Сондерсом Мак Лейном был основателем теории категорий, и, поскольку самые ранние публикации по теории категорий касались различных топологических пространств, можно было ожидать, что этот термин будет первоначально использован. Фактически, в их более ранних публикациях, вплоть, например, до « Гомологии Мак Лейна» (Mac Lane, 1963) , использовался термин «правая обратная». Только в 1965 году, когда Эйленберг и Джон Коулман Мур придумали двойной термин «корретракция», термин Борсука был перенесен в теорию категорий в целом. К концу 1960-х гг. Термин «coretraction» уступил место термину «секция».
В литературе часто можно встретить как использование обратного обращения влево / вправо, так и сечения / ретракции: первое использование имеет то преимущество, что знакомо из теории полугрупп и моноидов ; последнее считается некоторыми менее запутывающим, потому что не нужно думать о том, «какой путь» идет композиция - проблема, которая стала более острой с ростом популярности синонима f; g для g∘f .
Примеры
В категории множеств каждый мономорфизм ( инъективная функция ) с непустой областью определения является сечением, а каждый эпиморфизм ( сюръективная функция ) является ретракцией; последнее утверждение эквивалентно избранной аксиоме .
В категории векторных пространств над полем K каждый мономорфизм и каждый эпиморфизм расщепляются; это следует из того факта, что линейные карты можно однозначно определить, задав их значения на основе .
В категории абелевых групп эпиморфизм Z → Z / 2 Z, переводящий каждое целое число в его остаток по модулю 2 , не расщепляется; фактически единственный морфизм Z / 2 Z → Z - это нулевое отображение . Аналогичным образом , естественный мономорфизм Z / 2 Z → Z / 4 Z не расщепляется , даже если существует ненулевая морфизм Z / 4 Z → Z / 2 Z .
Категорический концепция раздела имеет важное значение в гомологической алгебре , а также тесно связан с понятием секции о наличии расслоения в топологии : в последнем случае сечение расслоения является сечением проекции пучка карты пучок волокон.
Учитывая фактор-пространство с фактор-отображением , сечение называется трансверсалью .
Библиография
- Мак-Лейн, Сондерс (1978). Категории для работающего математика (2-е изд.). Springer Verlag .
- Барри, Митчелл (1965). Теория категорий . Академическая пресса .