Бесплатный продукт - Free product

В математике , в частности теории групп , то свободный продукт представляет собой операцию , которая принимает два группы G и H и создает новую группу G * H . Результат содержит как G, так и H в качестве подгрупп , порождается элементами этих подгрупп и является « универсальной » группой, обладающей этими свойствами, в том смысле, что любые два гомоморфизма из G и H в группу K однозначно разлагаются через гомоморфизм от G * H с K . Если одна из групп G и H не тривиальна, свободное произведение всегда бесконечно. Построение свободного произведения по духу аналогично построению свободной группы (универсальной группы с заданным набором образующих).

Бесплатный продукт - это параллельный продукт в категории групп . То есть свободное произведение играет ту же роль в теории групп, что несвязное объединение в теории множеств или прямая сумма в теории модулей . Даже если группы коммутативны, их свободный продукт - нет, если только одна из двух групп не является тривиальной группой . Следовательно, свободное произведение не является копроизведением в категории абелевых групп .

Свободный продукт играет важную роль в алгебраической топологии из - за теоремы ван Кампена , в котором говорится о том , что фундаментальная группа из союза двух линейно связных топологических пространств , пересечение которых также связно всегда является амальгамированное продукт фундаментальных групп пространств . В частности, фундаментальная группа суммы клина двух пространств (т. Е. Пространство, полученное соединением двух пространств вместе в одной точке) является просто свободным произведением фундаментальных групп пространств.

Свободные произведения также важны в теории Басса – Серра , изучении групп, действующих автоморфизмами на деревьях . В частности, любая группа, действующая с конечными стабилизаторами вершин на дереве, может быть построена из конечных групп с использованием объединенных свободных произведений и расширений HNN . Используя действие модулярной группы на определенную тесселяцию на гиперболической плоскости , то из этой теории , что модульная группа является изоморфной к свободному произведению циклических групп порядков 4 и 6 амальгамированных над циклической группой порядка 2.

Строительство

Если G и H группы, слово в G и H является произведением вида

${\ displaystyle s_ {1} s_ {2} \ cdots s_ {n},}$

где каждый ев _я либо элемент G или элемент Н . Такое слово можно сократить с помощью следующих операций:

• Удалите экземпляр элемента идентичности (либо G, либо H ).
• Заменить пару вида г ₁ г ₂ его продуктом в G , или пару ч ₁ ч ₂ по его продукту в H .

Каждое сокращенное слово является чередующимся произведением элементов группы G и элементов H , например

${\ displaystyle g_ {1} h_ {1} g_ {2} h_ {2} \ cdots g_ {k} h_ {k}.}$

Свободное произведение G * Н является группой, элементы которой являются уменьшенными словами в G и H , при операции конкатенации с последующим восстановлением.

Например, если G - бесконечная циклическая группа , а H - бесконечная циклическая группа , то каждый элемент G ∗ H является альтернированным произведением степеней x и y . В этом случае G ∗ H изоморфна свободной группе, порожденной x и y . ${\ Displaystyle \ langle х \ rangle}$${\ Displaystyle \ langle у \ rangle}$

Презентация

Предположим, что

${\ Displaystyle G = \ langle S_ {G} \ mid R_ {G} \ rangle}$

является представлением для G (где S _G - набор образующих, а R _G - набор отношений), и предположим, что

${\ displaystyle H = \ langle S_ {H} \ mid R_ {H} \ rangle}$

является презентация для H . потом

${\ displaystyle G * H = \ langle S_ {G} \ cup S_ {H} \ mid R_ {G} \ cup R_ {H} \ rangle.}$

То есть G ∗ H порождается генераторами G вместе с генераторами H , с отношениями, состоящими из отношений из G вместе с отношениями из H (предположим, что здесь нет противоречий в обозначениях, так что это фактически дизъюнктные объединения ).

Примеры

Например, предположим, что G - циклическая группа порядка 4,

${\ displaystyle G = \ langle x \ mid x ^ {4} = 1 \ rangle,}$

и H - циклическая группа порядка 5

${\ displaystyle H = \ langle y \ mid y ^ {5} = 1 \ rangle.}$

Тогда G ∗ H - бесконечная группа

${\ displaystyle G * H = \ langle x, y \ mid x ^ {4} = y ^ {5} = 1 \ rangle.}$

Поскольку в свободной группе нет отношений, свободный продукт свободных групп всегда является свободной группой. В частности,

${\ Displaystyle F_ {m} * F_ {n} \ cong F_ {m + n},}$

где F _n обозначает свободную группу на n образующих.

Другой пример - модульная группа . Он изоморфен свободному произведению двух циклических групп ${\ Displaystyle PSL_ {2} (\ mathbf {Z})}$

${\ Displaystyle PSL_ {2} (\ mathbf {Z}) = (\ mathbf {Z} / 2 \ mathbf {Z}) \ ast (\ mathbf {Z} / 3 \ mathbf {Z}).}$

Обобщение: бесплатный продукт с объединением

Более общая конструкция бесплатного продукта с объединением , соответственно, представляет собой особый вид выталкивания в той же категории . Предположим, что и даны, как и раньше, вместе с мономорфизмами (т.е. гомоморфизмами инъективных групп ): ${\ displaystyle G}$${\ displaystyle H}$

${\ displaystyle \ varphi: F \ rightarrow G \ \,}$ а также ${\ Displaystyle \ \, \ psi: F \ rightarrow H,}$

где - произвольная группа. Начни с бесплатного продукта и присоединяйся как отношения ${\ displaystyle F}$${\ displaystyle G * H}$

${\ displaystyle \ varphi (f) \ psi (f) ^ {- 1} = 1}$

за каждый ин . Другими словами, взять наименьшую нормальную подгруппу из , содержащую все элементы на левой стороне вышеприведенного уравнения, которые неявно рассматриваются в с помощью включений и в их свободном продукте. Свободное произведение с объединением и относительно и является фактор-группой${\ displaystyle f}$${\ displaystyle F}$ ${\ displaystyle N}$${\ displaystyle G * H}$${\ displaystyle G * H}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle H}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle H}$${\ displaystyle \ varphi}$${\ displaystyle \ psi}$

${\ Displaystyle (G * H) / N. \,}$

Слияние привело к отождествлению между in и in , элемент за элементом. Это конструкция, необходимая для вычисления фундаментальной группы двух связных пространств, соединенных линейно-связным подпространством, с ролью фундаментальной группы подпространства. См .: Теорема Зейферта – ван Кампена . ${\ displaystyle \ varphi (F)}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle \ psi (F)}$${\ displaystyle H}$${\ displaystyle F}$

Karrass и Solitar дали описание подгрупп бесплатного продукта с объединением. Например, гомоморфизмы из и в фактор-группу , которые индуцированы и оба инъективны, как и индуцированный гомоморфизм из . ${\ displaystyle G}$${\ displaystyle H}$${\ displaystyle (G * H) / N}$${\ displaystyle \ varphi}$${\ displaystyle \ psi}$${\ displaystyle F}$

Бесплатные продукты с объединением и близкое к нему понятие расширения HNN являются основными строительными блоками в теории групп Басса – Серра, действующих на деревьях.

В других отраслях

Аналогичным образом можно определить свободные произведения алгебраических структур, отличных от групп, включая алгебры над полем . Свободные произведения алгебр случайных величин играют ту же роль в определении « свободы » в теории свободной вероятности, что декартовы произведения играют в определении статистической независимости в классической теории вероятностей .

Смотрите также

• Прямое произведение групп
• Копродукт
• График групп
• Теорема Куроша о подгруппах
• Нормальная форма для свободных групп и бесплатное произведение групп
• Универсальная собственность

Заметки

Рекомендации

• «Бесплатный продукт» . PlanetMath .
• «Свободный продукт с объединенной подгруппой» . PlanetMath .
• Категории и группоиды, Филип Хиггинс