Моноид (теория категорий) - Monoid (category theory)

В теории категорий , раздел математики , моноид (или моноидный объект , или внутренний моноид , или алгебра ) ( M , μ , η ) в моноидальной категории ( C , ⊗, I ) - это объект M вместе с двумя морфизмами

μ : M ⊗ M → M называется умножением ,
η : I → M называется единицей ,

такая, что диаграмма пятиугольника

и диаграмма юнитора

добираться на работу . В приведенных выше обозначениях, $1$ представляет собой тождественный морфизм из $М$ , $I$ является единичным элементом и α, λ и ρ соответственно ассоциативность, левая идентичность и правая идентичность моноидальной категории C .

Двойственно комоноид в моноидальной категории C является моноидом в двойственной категории C ^op .

Предположим, что моноидальная категория C обладает симметрией γ . Моноид М в С является коммутативной при μ о γ = μ .

Примеры

Моноидный объект в Set , категории множеств (с моноидальной структурой, индуцированной декартовым произведением ), является моноидом в обычном смысле.
Моноидный объект в Top , категории топологических пространств (с моноидальной структурой, индуцированной топологией произведения ), является топологическим моноидом .
Моноидный объект в категории моноидов (с прямым произведением моноидов) - это просто коммутативный моноид . Это легко следует из аргумента Экмана – Хилтона .
Моноидный объект в категории полных джойн-полурешеток Sup (с моноидальной структурой, индуцированной декартовым произведением) является унитальным квантом .
Моноидный объект в категории абелевых групп ( Ab , ⊗ _Z , Z ) - это кольцо .
Для коммутативного кольца R моноидный объект в
- ( R - Mod , ⊗ _R , R ) категория модулей над R является R -алгеброй .
- категория градуированных модулей - это градуированная R -алгебра .
- категория цепных комплексов из R -модулей являются дифференциальной градуированной алгеброй .
Моноид объект в K - Vect , в категории К -векторным пространствам (опять же , с тензорным произведением), является K - алгебра , а comonoid объектом является K - коалгебра .
Для любой категории C , категория [ С , С ] его endofunctors имеет моноидалъное структуру , индуцированное композицией и тождество функтора я _C . Объект моноид в [ С , С ] является монада на C .
Для любой категории с конечными продуктами каждый объект становится комоноидным объектом посредством диагонального морфизма . Двойственно в категории с конечными копроизведениями каждый объект становится моноидным объектом через . ${\ displaystyle \ Delta _ {X}: от X \ до X \ times X}$ ${\ displaystyle id_ {X} \ sqcup id_ {X}: X \ sqcup X \ to X}$