Транспонирование (логика) - Transposition (logic)

В логике высказываний , транспозиция является действительным правилом замены , что позволяет одному переключить антецедент с следствием о наличии условного оператора в логическом доказательстве , если они также являются и сведены на нет . Это вывод из истинности утверждения « А влечет Б » к истинности «Не- Б влечет не- А », и наоборот. Это очень тесно связано с правилом вывода modus tollens . Это правило

${\ Displaystyle (P \ к Q) \ Leftrightarrow (\ neg Q \ to \ neg P)}$

где " " - металогический символ, обозначающий "можно заменить в доказательстве на". ${\ displaystyle \ Leftrightarrow}$

Формальное обозначение

Транспозиции правило может быть выражено в виде секвенции :

{\ Displaystyle (P \ к Q) \ vdash (\ neg Q \ to \ neg P)}

где представляет собой металогическое символ , означающее , что является синтаксическим следствием из в какой - то логической системе; ${\ displaystyle \ vdash}$ ${\ Displaystyle (\ neg Q \ к \ neg P)}$ ${\ displaystyle (P \ to Q)}$

или как правило вывода:

{\ displaystyle {\ frac {P \ to Q} {\, следовательно, \ neg Q \ to \ neg P}}}

где правило гласит, что всякий раз, когда в строке доказательства появляется " ", его можно заменить на " "; ${\ displaystyle P \ to Q}$ ${\ displaystyle \ neg Q \ to \ neg P}$

или как утверждение функциональной тавтологии истинности или теоремы логики высказываний. Этот принцип был сформулирован как теорема логики высказываний Расселом и Уайтхедом в Principia Mathematica как:

{\ Displaystyle (P \ к Q) \ к (\ neg Q \ к \ neg P)}

где и суждения, выраженные в некоторой формальной системе . ${\ displaystyle P}$ ${\ displaystyle Q}$

Традиционная логика

Форма перестановки

В предполагаемом предложении консеквент является противоречием антецеденту исходного предложения, а антецедент предполагаемого предложения противоречит консеквенту исходного предложения. Символ материальной импликации обозначает предложение как гипотетическое, или форму «если-то», например, «если P, то Q».

Двухусловное утверждение правила транспозиции (↔) относится к отношениям между гипотетическими (→) предложениями , причем каждое предложение включает предшествующий и последующий термин. С точки зрения логического вывода, для транспонирования или преобразования терминов одного предложения требуется преобразование терминов в предложениях по обе стороны двухусловного отношения. Это означает, что для транспонирования или преобразования (P → Q) в (Q → P) требуется, чтобы другое предложение (~ Q → ~ P) было транспонировано или преобразовано в (~ P → ~ Q). В противном случае преобразование условий одного предложения, а не другого, делает правило недействительным, нарушая достаточное условие и необходимое условие условий предложений, где нарушение состоит в том, что измененное предложение совершает ошибку, отрицая предшествующее или подтверждая в результате незаконного преобразования .

Истинность правила транспонирования зависит от логических соотношений достаточного и необходимого условий.

Достаточное состояние

В предложении «Если P, то Q» наличие «P» является достаточной причиной появления «Q». «P», как индивидуум или класс, материально подразумевает «Q», но отношение «Q» к «P» таково, что обратное утверждение «Если Q, то P» не обязательно имеет достаточное условие. Правило вывода для достаточного условия - это modus ponens , который является аргументом в пользу условной импликации:

Предпосылка (1): Если P, то Q

Предпосылка (2): P

Вывод: Следовательно, Q

Необходимое условие

Поскольку обратная посылка (1) неверна, все, что можно сказать о взаимосвязи «P» и «Q», - это то, что в отсутствие «Q» «P» не встречается, что означает, что «Q» является необходимым условием для «P». Правило вывода для необходимого условия - это modus tollens :

Предпосылка (1): Если P, то Q

Предпосылка (2): не Q

Вывод: Следовательно, не P

Пример необходимости и достаточности

Примером, традиционно используемым логиками для противопоставления достаточных и необходимых условий, является утверждение «Если есть огонь, значит, кислород». Насыщенная кислородом среда необходима для пожара или горения, но просто потому, что она насыщена кислородом, не обязательно означает, что происходит пожар или возгорание. Хотя можно сделать вывод, что огонь обусловливает присутствие кислорода, из присутствия кислорода нельзя сделать вывод обратного утверждения: «Если есть кислород, значит, есть огонь». Все, что можно вывести из первоначального предположения, - это то, что «Если нет кислорода, то не может быть огня».

Связь предложений

Символ биконусного («↔») означает, что отношения между предложениями являются необходимыми и достаточными, и вербализуется как « тогда и только тогда », или, согласно примеру «Если P, то Q 'тогда и только тогда, когда» если не Q, то не P ».

Необходимые и достаточные условия можно объяснить по аналогии с точки зрения понятий и правил непосредственного вывода традиционной логики. В категориальном предложении «Все S есть P» субъектный термин «S» называется распределенным, то есть все члены его класса исчерпаны в своем выражении. И наоборот, предикатный термин «P» нельзя сказать, что он распределен или исчерпан в своем выражении, потому что не определено, является ли каждый экземпляр члена «P» как класса также членом «S» как класса. Все, что можно обоснованно вывести, - это то, что «Некоторые P суть S». Таким образом, предложение типа «A» «Все P есть S» не может быть выведено путем преобразования из исходного предложения типа «A» «Все S есть P». Все, что можно вывести, - это утверждение типа «A» «Все, что не является P, не является S» (обратите внимание, что (P → Q) и (~ Q → ~ P) оба суждения типа «A»). Грамматически нельзя вывести «все смертные люди» из «Все люди смертны». Утверждение типа «А» может быть немедленно выведено путем преобразования, когда и подлежащее, и сказуемое распределены, как в выводе «Все холостяки - неженатые мужчины» из «Все неженатые мужчины - холостяки».

Транспозиция и метод противопоставления

В традиционной логике рассуждающий процесс транспозиции как правило вывода применяется к категориальным предложениям через противопоставление и возражение , серию немедленных выводов, где правило возражения сначала применяется к исходному категориальному предложению «Все S есть P»; что дает лицевую сторону "Нет S не P". При превращении исходного предложения в предложение типа «Е» оба термина становятся распределенными. Затем лицевую сторону конвертируют, в результате получается «Нет не-P - S», сохраняя распределение обоих терминов. «Нет не-Р есть S» снова отменяется, что приводит к [контрапозитиву] «Все не-Р есть не-S». Поскольку в определении противопоставления ничего не сказано относительно предиката предполагаемого предложения, это допустимо, чтобы это могло быть исходное подлежащее или его противоречие, и предикатный термин результирующего предложения типа 'A' снова нераспределен. Это приводит к двум противоположностям: одному, где предикатный термин распределен, и другому, где предикатный термин нераспределен .

Различия между транспозицией и противопоставлением

Учтите, что не следует путать метод транспозиции и противопоставления. Противопоставление - это тип немедленного вывода, при котором из данного категориального предложения выводится другое категориальное предложение, имеющее в качестве своего предмета противоречие исходному предикату. Поскольку в определении противопоставления ничего не говорится о предикате выведенного предложения, допустимо, чтобы оно могло быть исходным субъектом или его противоречием. Это противоречит форме предложений транспонирования, которые могут быть материальным подтекстом или гипотетическим утверждением. Разница в том, что в применении к категориальным суждениям результатом противопоставления являются два контрапозитива, каждое из которых является оборотной стороной другого, то есть «Нет не-П есть S» и «Все не-П есть не-S». Различие между двумя противопоставлениями поглощается и устраняется в принципе транспозиции, который предполагает «опосредованные выводы» противопоставления и также упоминается как «закон противопоставления».

Транспонирование в математической логике

См. Транспонирование (математика) , Теория множеств.

Доказательства


Предложение	Вывод
${\ displaystyle P \ rightarrow Q}$	Данный
${\ displaystyle \ neg P \ lor Q}$	Материальное значение
${\ Displaystyle Q \ lor \ neg P}$	Коммутативность
${\ Displaystyle \ neg \ neg Q \ lor \ neg P}$	Двойное отрицание
${\ displaystyle \ neg Q \ rightarrow \ neg P}$	Материальное значение

В классической системе исчисления высказываний

В дедуктивных системах гильбертовского стиля для логики высказываний только одна сторона транспонирования считается аксиомой, а другая - теоремой. Опишем доказательство этой теоремы в системе трех аксиом, предложенной Яном Лукасевичем :

А1.

{\ displaystyle \ phi \ to \ left (\ psi \ to \ phi \ right)}

A2.

{\ displaystyle \ left (\ phi \ to \ left (\ psi \ rightarrow \ xi \ right) \ right) \ to \ left (\ left (\ phi \ to \ psi \ right) \ to \ left (\ phi \ в \ xi \ right) \ right)}

A3.

{\ displaystyle \ left (\ lnot \ phi \ to \ lnot \ psi \ right) \ to \ left (\ psi \ to \ phi \ right)}

(A3) уже дает одно из направлений перестановки. Другая сторона, если она будет доказана ниже, используя следующие доказанные здесь леммы : ${\ Displaystyle (\ psi \ к \ phi) \ к (\ neg \ phi \ to \ neg \ psi)}$

(DN1) - двойное отрицание (одно направление)

{\ displaystyle \ neg \ neg p \ to p}

(DN2) - Двойное отрицание (другое направление)

{\ displaystyle p \ to \ neg \ neg p}

(HS1) - одна из форм гипотетического силлогизма

{\ Displaystyle (д \ к г) \ к ((п \ к д) \ к (п \ к г))}

(HS2) - еще одна форма гипотетического силлогизма.

{\ Displaystyle (п \ к q) \ к ((q \ к г) \ к (п \ к г))}

Мы также используем метод гипотетической метатеоремы силлогизма как сокращение для нескольких шагов доказательства.

Доказательство таково:

(1) (экземпляр (DN2))

{\ displaystyle q \ to \ neg \ neg q}

(2) (экземпляр (HS1)

{\ Displaystyle (д \ к \ нег \ отр q) \ к ((п \ к q) \ к (п \ к \ отр \ q))}

(3) (из (1) и (2) по modus ponens)

{\ Displaystyle (п \ к Q) \ к (п \ к \ neg \ neg q)}

(4) (экземпляр (DN1))

{\ displaystyle \ neg \ neg p \ to p}

(5) (пример (HS2))

{\ displaystyle (\ neg \ neg p \ to p) \ to ((p \ to \ neg \ neg q) \ to (\ neg \ neg p \ to \ neg \ neg q))}

(6) (из (4) и (5) по modus ponens)

{\ Displaystyle (п \ к \ neg \ neg q) \ к (\ neg \ neg р \ к \ neg \ neg q)}

(7) (из (3) и (6) с использованием гипотетической метатеоремы силлогизма)

{\ Displaystyle (п \ к Q) \ к (\ отр \ от р \ к \ отр \ от q)}

(8) (пример (A3))

{\ Displaystyle (\ отр \ отр \ к \ от \ отр q) \ к (\ отр q \ к \ отр р)}

(9) (из (7) и (8) с использованием гипотетической метатеоремы силлогизма)

{\ Displaystyle (п \ к д) \ к (\ отр q \ к \ отр р)}

Смотрите также

Противопоставление (традиционная логика)

использованная литература

дальнейшее чтение

Броды, Бобух А. «Глоссарий логических терминов». Энциклопедия философии. Vol. 5-6, стр. 61. Macmillan, 1973.
Ирвинг М. Копи; Карл Коэн; Виктор Родыч (9 сентября 2016 г.). Введение в логику . Тейлор и Фрэнсис. ISBN 978-1-315-51087-3.
Копи, Ирвинг. Символическая логика . MacMillan, 1979, пятое издание.
Приор А.Н. «Логика, традиционность». Энциклопедия философии , Vol. 5, Macmillan, 1973.
Стеббинг, Сьюзен . Современное введение в логику . Харпер, 1961, седьмое издание

внешние ссылки

Неправильная транспозиция (файлы ошибок)

Languages

In other projects