Материал условно - Material conditional

Материал условный

ПОДРАЗУМЕВАТЬ
Определение	${\ displaystyle x \ rightarrow y}$
Таблица истинности	${\ displaystyle (1011)}$
Логический вентиль
Нормальные формы
Дизъюнктивный	${\ displaystyle {\ overline {x}} + y}$
Конъюнктивный	${\ displaystyle {\ overline {x}} + y}$
Полином Жегалкина	${\ Displaystyle 1 \ oplus x \ oplus xy}$
Решетки столба
0-сохранение	нет
1-консервирующий	да
Монотонный	нет
Аффинный	нет
v т е

Импликация (также известная как материальная импликация ) является операция обычно используется в логике . Когда символ условной это интерпретируется в качестве материальной импликации, формула верна , если не истинно и ложно. Материальная импликация также может быть логически охарактеризована с помощью modus ponens , modus tollens , условного доказательства и классического reductio ad absurdum . ${\ displaystyle \ rightarrow}$${\ Displaystyle P \ rightarrow Q}$${\ displaystyle P}$${\ displaystyle Q}$

Материальная импликация используется во всех основных системах классической логики, а также в некоторых неклассических логиках . Он считается моделью правильных условных рассуждений в математике и служит основой для команд во многих языках программирования . Однако многие логики заменяют материальную импликацию другими операторами, такими как строгое условное и переменно строгое условное . Из-за парадоксов материальной импликации и связанных с ней проблем материальная импликация обычно не считается жизнеспособным анализом условных предложений на естественном языке .

Определения

Фоновые определения

Материальное условное выражение также обозначается с помощью инфиксов ⊃ и ⇒. В польской системе с префиксом условные выражения обозначаются как C pq . В условной формуле p → q подформула p называется антецедентом, а q - следствием условного. Условные утверждения могут быть вложенными, так что антецедент или следствие могут сами быть условными утверждениями, как в формуле ( p → q ) → ( r → s ) .

Определение материального значения

С семантической точки зрения материальная импликация - это бинарный функциональный оператор истинности, который возвращает «истину», если его первый аргумент не является истинным, а второй аргумент - ложным. Эта семантика может быть отображена графически в таблице истинности, такой как приведенная ниже.

3 - ^й и 4 - ^й логических случаев этой таблицы истинности, где предшествующая р ложно и р → д верно, называются незаполненными истины .

Материальный подтекст можно также дедуктивно охарактеризовать с помощью следующих правил вывода .

1. Modus ponens
2. Условное доказательство
3. Классическое противопоставление
4. Классическое сокращение до абсурда

В отличие от семантического определения, этот подход к логическим связкам позволяет исследовать структурно идентичные пропозициональные формы в различных логических системах , где могут быть продемонстрированы несколько разные свойства. Например, в интуиционистской логике , которая отвергает доказательства противопоставлением как действительные правила вывода, ( p  →  q ) ⇒ ¬ p  ∨  q не является пропозициональной теоремой, но материальное условное выражение используется для определения отрицания .

Формальные свойства

Когда дизъюнкция , конъюнкция и отрицание являются классическими, материальная импликация подтверждает следующие эквивалентности:

• Противопоставление: ${\ Displaystyle P \ к Q \ Equiv \ neg Q \ to \ neg P}$
• Импорт-Экспорт :${\ Displaystyle п \ к (Q \ к R) \ эквив (P \ земля Q) \ к R}$
• Отрицательные условные выражения: ${\ Displaystyle \ neg (P \ к Q) \ Equiv P \ land \ neg Q}$
• Или-и-если: ${\ Displaystyle P \ к Q \ Equiv \ neg P \ lor Q}$
• Коммутативность антецедентов: ${\ displaystyle {\ big (} P \ to (Q \ to R) {\ big)} \ Equiv {\ big (} Q \ to (P \ to R) {\ big)}}$
• Распределительность :${\ displaystyle {\ big (} R \ to (P \ to Q) {\ big)} \ Equiv {\ big (} (R \ to P) \ to (R \ to Q) {\ big)}}$

Точно так же в классической интерпретации других связок материальная импликация подтверждает следующие следствия :

• Предшествующее усиление: ${\ displaystyle P \ to Q \ models (P \ land R) \ to Q}$
• Пустое условное :${\ displaystyle \ neg P \ models P \ to Q}$
• Транзитивность :${\ displaystyle (P \ to Q) \ land (Q \ to R) \ models P \ to R}$
• Упрощение дизъюнктивных антецедентов :${\ Displaystyle (P \ lor Q) \ к R \ модели (P \ to R) \ land (Q \ to R)}$

Тавтологии, предполагающие материальный подтекст, включают:

• Рефлексивность :${\ displaystyle \ models P \ to P}$
• Тотальность :${\ Displaystyle \ модели (P \ к Q) \ лор (Q \ к P)}$
• Условно исключенный средний :${\ Displaystyle \ модели (P \ к Q) \ лор (P \ к \ neg Q)}$

Несоответствия с естественным языком

Материальный смысл не совсем соответствует использованию условных предложений в естественном языке . Например, даже если материальные условные выражения с ложными антецедентами бессмысленно истинны , утверждение естественного языка «Если 8 - нечетное, то 3 - простое», как правило, считается ложным. Точно так же любое материальное условие с истинным следствием само по себе является истинным, но ораторы обычно отвергают такие предложения, как «Если у меня есть пенни в кармане, то Париж находится во Франции». Эти классические проблемы получили название парадоксов материального смысла . Помимо парадоксов, было выдвинуто множество других аргументов против анализа материального подтекста. Например, контрфактические условные бы все бессодержательно правда на таком счете.

В середине 20-го века ряд исследователей, в том числе Х. П. Грайс и Фрэнк Джексон, предположили, что прагматические принципы могут объяснить расхождения между условными выражениями естественного языка и материальными условными выражениями. По их мнению, условные выражения обозначают материальный смысл, но в конечном итоге передают дополнительную информацию, когда они взаимодействуют с нормами разговора, такими как максимы Грайса . Недавние работы в области формальной семантики и философии языка, как правило, избегали материальной импликации в качестве анализа условных выражений естественного языка. В частности, такая работа часто отвергла предположение , что на естественном языке условные являются истиной функционала в том смысле , что значение истины « если Р , то Q » определяются только значениями истинностей P и Q . Таким образом, семантический анализ условных выражений обычно предлагает альтернативные интерпретации, основанные на таких основах, как модальная логика , логика релевантности , теория вероятностей и причинные модели .

Подобные расхождения наблюдаются психологами, изучающими условное мышление. Например, в печально известном исследовании задач выбора Уэйсона менее 10% участников рассуждали в соответствии с материальными условиями. Некоторые исследователи интерпретируют этот результат как неспособность участников подтвердить нормативные законы рассуждения, в то время как другие интерпретируют участников как рассуждающих нормативно в соответствии с неклассическими законами.

Смотрите также

Условные

• Контрфактическая условная
• Ориентировочное условное
• Соответствующее условное
• Строгое условное

использованная литература

дальнейшее чтение

• Браун, Фрэнк Маркхэм (2003), Логическое рассуждение: логика булевых уравнений , 1-е издание, Kluwer Academic Publishers, Norwell , MA. 2-е издание, Dover Publications , Mineola , NY, 2003.
• Эджингтон, Дороти (2001), «Условные выражения», в Лу Гобле (ред.), Руководство Блэквелла по философской логике , Блэквелл .
• Куайн, У. В. (1982), Методы логики , (1-е изд. 1950 г.), (2-е изд. 1959 г.) (3-е изд. 1972 г.), 4-е издание, издательство Harvard University Press , Кембридж , Массачусетс.
• Стальнакер, Роберт , «Индикативные условия», Philosophia , 5 (1975): 269–286.

внешние ссылки

• СМИ, относящиеся к материалам, на Викискладе?
• Эджингтон, Дороти. «Условные» . В Залте, Эдвард Н. (ред.). Стэнфордская энциклопедия философии .