Противопоставление - Contraposition

В логике и математике , противопоставление относится к умозаключению о переходе от условного оператора в его логически эквивалентные контрапозиции и ассоциированное доказательство метод , известный как доказательство по противопоставлению. Противоположное высказывание имеет свои антецедент и следствие перевернутыми и перевернутыми .

Условное утверждение . В формулах : контрапозитивесть. ${\ Displaystyle P \ rightarrow Q}$${\ Displaystyle P \ rightarrow Q}$${\ displaystyle \ neg Q \ rightarrow \ neg P}$

Если Р , то Q . - Если нет Q , Тогда не P . « Если идет дождь, то я ношу пальто» - «Если я не ношу пальто, значит, дождя не будет».

Закон противопоставления гласит, что условное утверждение истинно тогда и только тогда, когда истинно его противоположное утверждение.

Contrapositive ( ) можно сравнить с тремя другими утверждениями: ${\ displaystyle \ neg Q \ rightarrow \ neg P}$

Инверсия ( обратная ), ${\ displaystyle \ neg P \ rightarrow \ neg Q}$

«Если это не дождь, то я не ношу мое пальто .» В отличие от контрапозитива, истинность инверсии совсем не зависит от того, было ли истинным исходное предложение, как показано здесь.

Преобразование ( обратное ),${\ displaystyle Q \ rightarrow P}$

«Если я ношу пальто, значит, идет дождь ». Обратное на самом деле является противоположностью обратного, и поэтому всегда имеет то же значение истинности, что и обратное (которое, как было сказано ранее, не всегда имеет то же значение истинности, что и исходное суждение).

Отрицание ( логическое дополнение ),${\ displaystyle \ neg (P \ rightarrow Q)}$

« Это не тот случай, если он идет дождь , то я ношу пальто. », Или , что эквивалентно, « Иногда, когда идет дождь, я не ношу мое пальто .» Если отрицание истинно, то исходное положение ( и, в более широком смысле, контрапозитив) ложен.

Обратите внимание, что если истинно и дано одно ложное (т. Е. ), То логически можно сделать вывод, что оно также должно быть ложным (т. Е. ). Это часто называют законом контрапозитива или правилом вывода modus tollens . ${\ Displaystyle P \ rightarrow Q}$${\ displaystyle Q}$${\ displaystyle \ neg Q}$${\ displaystyle P}$${\ displaystyle \ neg P}$

Интуитивное объяснение

На показанной диаграмме Эйлера , если что-то находится в A, это также должно быть в B. Таким образом, мы можем интерпретировать «все A находится в B» как:

${\ displaystyle от A \ до B}$

Также ясно , что все , что не в B (синяя область) не может быть в пределах, либо. Это утверждение, которое можно выразить как:

${\ displaystyle \ neg B \ to \ neg A}$

является противоположностью вышеприведенного утверждения. Поэтому можно сказать, что

${\ Displaystyle (от A \ к B) \ leftrightarrow (\ neg B \ to \ neg A)}$.

На практике эту эквивалентность можно использовать, чтобы упростить доказательство утверждения. Например, если кто-то хочет доказать, что у каждой девушки в Соединенных Штатах (A) каштановые волосы (B), можно либо попытаться доказать напрямую , проверив, что у всех девочек в Соединенных Штатах действительно каштановые волосы, либо попытаться докажите , проверив, что все девушки без каштановых волос действительно находятся за пределами США. В частности, если бы можно было найти хотя бы одну девушку без каштановых волос в США, то это было бы опровергнуто , и то же самое . ${\ displaystyle от A \ до B}$${\ displaystyle \ neg B \ to \ neg A}$${\ displaystyle \ neg B \ to \ neg A}$${\ displaystyle от A \ до B}$

В общем, для любого оператора , где подразумевает B , не B всегда подразумевает не является . В результате доказательство или опровержение одного из этих утверждений автоматически доказывает или опровергает другое, поскольку они логически эквивалентны друг другу.

Формальное определение

Предложение Q подразумевается предложением P, когда выполняется следующее соотношение:

${\ displaystyle (P \ to Q)}$

Здесь говорится, что «если тогда » или «если Сократ - человек , то Сократ - человек ». В условной , такие как это, является предшествующая , и это следствие . Одно утверждение противоположно другому только тогда, когда его антецедент является отрицательным следствием другого, и наоборот. Таким образом, противозачаточные средства обычно имеют форму: ${\ displaystyle P}$${\ displaystyle Q}$${\ displaystyle P}$${\ displaystyle Q}$

${\ Displaystyle (\ neg Q \ к \ neg P)}$.

То есть: «Если не- , то не- », или, более ясно, «Если нет, то P не так». В нашем примере это передается так: «Если Сократ не человек , то Сократ не человек ». Говорят, что это утверждение противоречит оригиналу и логически эквивалентно ему. Из-за их логической эквивалентности одно утверждение фактически утверждает другое; когда одно истинно , другое также истинно, а когда одно ложно, другое также ложно. ${\ displaystyle Q}$${\ displaystyle P}$${\ displaystyle Q}$

Строго говоря, противопоставление может существовать только в двух простых условных выражениях. Однако противопоставление может существовать и в двух сложных универсальных условных выражениях, если они похожи. Таким образом, или «Все суть s» противопоставляется , или «Все не являются s». ${\ displaystyle \ forall {x} (от P {x} \ до Q {x})}$${\ displaystyle P}$${\ displaystyle Q}$${\ displaystyle \ forall {x} (\ neg Q {x} \ to \ neg P {x})}$${\ displaystyle Q}$${\ displaystyle P}$

Простое доказательство по определению условного

В логике первого порядка условное выражение определяется как:

${\ displaystyle A \ to B \, \ leftrightarrow \, \ neg A \ lor B}$

что можно сделать эквивалентным его противоположному положению, следующим образом:

${\ displaystyle {\ begin {align} \ neg A \ lor B \, & \, \ leftrightarrow B \ lor \ neg A \\\, & \, \ leftrightarrow \ neg B \ to \ neg A \ end {выровнено} }}$

Простое доказательство от противного

Позволять:

${\ Displaystyle (от A \ до B) \ земля \ neg B}$

Принято, что, если A истинно, то B истинно, и также дано, что B не истинно. Затем мы можем показать, что A не может быть истинным от противного. Ведь если бы А было правдой, то Б тоже должно было бы быть правдой (по Modus Ponens ). Однако утверждается, что B неверно, поэтому мы приходим к противоречию. Следовательно, A неверно (при условии, что мы имеем дело с бивалентными утверждениями , которые либо истинны, либо ложны):

${\ Displaystyle (от А \ к В) \ к (\ отр В \ к \ от А)}$

Мы можем применить тот же процесс в обратном порядке, исходя из предположений, что:

${\ displaystyle (\ neg B \ to \ neg A) \ land A}$

Здесь мы также знаем, что B либо верно, либо нет. Если B неверно, то A также неверно. Однако предполагается, что A истинно, поэтому предположение, что B не истинно, приводит к противоречию, что означает, что это не тот случай, когда B неверно. Следовательно, B должно быть истинным:

${\ Displaystyle (\ от B \ к \ от A) \ к (от A \ к B)}$

Комбинируя два доказанных утверждения вместе, мы получаем искомую логическую эквивалентность между условным условием и его контрпозитивом:

${\ Displaystyle (от А \ к В) \ эквив (\ от В \ к \ от А)}$

Более строгое доказательство эквивалентности контрапозитивов

Логическая эквивалентность между двумя предложениями означает, что они истинны вместе или ложны вместе. Чтобы доказать, что контрапозитивы логически эквивалентны , нам нужно понять, когда материальный подтекст верен или ложен.

${\ displaystyle P \ to Q}$

Это ложно только тогда, когда истинно, и ложно. Следовательно, мы можем свести это предложение к утверждению «Ложно, когда и не- » (т.е. «Верно, когда это не так, и не- »): ${\ displaystyle P}$${\ displaystyle Q}$${\ displaystyle P}$${\ displaystyle Q}$${\ displaystyle P}$${\ displaystyle Q}$

${\ displaystyle \ neg (п \ земля \ neg Q)}$

Элементы конъюнкции можно поменять местами без эффекта (по коммутативности ):

${\ displaystyle \ neg (\ neg Q \ land P)}$

Мы определяем как равное " " и как равное (отсюда равно , что равно справедливому ): ${\ displaystyle R}$${\ displaystyle \ neg Q}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle \ neg P}$${\ displaystyle \ neg S}$${\ displaystyle \ neg \ neg P}$${\ displaystyle P}$

${\ Displaystyle \ neg (р \ земля \ neg S)}$

Он гласит: «Это не тот случай, когда ( R истинно, а S ложно)», что является определением материального условного условия. Затем мы можем сделать эту замену:

${\ displaystyle R \ to S}$

По возвращаясь R и S обратно в и мы получим желаемую контрапозицию: ${\ displaystyle P}$${\ displaystyle Q}$

${\ displaystyle \ neg Q \ to \ neg P}$

Сравнения

Примеры

Возьмите утверждение « Все красные объекты имеют цвет». Это можно эквивалентно выразить как « Если объект красный, то он имеет цвет ».

• Контрапозициями являются « Если объект не имеет цвета, то это не красное. » Это логически вытекает из нашего первоначального заявления и, как он, это, очевидно , верно.
• Обратный является « Если объект не красный, то он не имеет цвета. » Объект , который является синим цветом не красным, и до сих пор имеет цвета. Следовательно, в данном случае обратное неверно.
• Обратным является « Если объект имеет цвета, то красный. » Объекты могут иметь другие цвета, так и обратные наше утверждение неверно.
• Отрицание является « Там существует красный объект , который не имеет цвета. » Это утверждение неверно , так как первоначальное заявление , которое он отрицает это правда.

Другими словами, контрапозитив логически эквивалентен данному условному утверждению, но недостаточен для двусмысленного .

Точно так же возьмите утверждение « Все четырехугольники имеют четыре стороны » или эквивалентное выражение « Если многоугольник является четырехугольником, то у него четыре стороны ».

• Контрапозициями являются « Если полигон не имеет четыре стороны, то это не четырехугольник. » Это логически вытекает, и , как правило, contrapositives разделяют значение истинности в их условно.
• Обратное является « Если многоугольник не четырехугольник, то он не имеет четыре стороны. » В этом случае, в отличие от предыдущего примера, обратное утверждение верно.
• Обратное является « Если многоугольник имеет четыре стороны, то это четырехугольник. » Опять же , в этом случае, в отличие от предыдущего примера, обратное утверждение верно.
• Отрицание является « Существует , по крайней мере один четырехугольник , который не имеет четыре стороны. » Это утверждение явно ложно.

Поскольку и утверждение, и обратное верны, он называется биконусным и может быть выражен как « Многоугольник является четырехугольником тогда и только тогда, когда он имеет четыре стороны » (фраза тогда и только тогда иногда сокращается как iff .) То есть наличие четырех сторон необходимо для того, чтобы быть четырехугольником, и одного достаточно, чтобы считать его четырехугольником.

Правда

• Если утверждение верно, то его противоположность истинна (и наоборот).
• Если утверждение ложно, то его противоположность ложна (и наоборот).
• Если обратное утверждение верно, то верно и обратное (и наоборот).
• Если обратное утверждение ложно, то его обратное неверно (и наоборот).
• Если отрицание утверждения ложно, то утверждение истинно (и наоборот).
• Если утверждение (или его противоположное) и обратное (или обратное) оба истинны или оба ложны, то это известно как логическая двусмысленность .

заявка

Поскольку контрапозитив утверждения всегда имеет то же значение истинности (истинность или ложность), что и само утверждение, он может быть мощным инструментом для доказательства математических теорем (особенно если истинность контрапозитива установить легче, чем истинность утверждения. сам). Противопозитивное доказательство является прямым доказательством контрапозитива утверждения. Однако косвенные методы, такие как доказательство от противного, также могут использоваться с противопоставлением, как, например, при доказательстве иррациональности квадратного корня из 2 . По определению рационального числа можно сказать, что « Если рационально, то оно может быть выражено в виде несократимой дроби${\ displaystyle {\ sqrt {2}}}$ ». Это утверждение верно, потому что это повторение определения. Противоположным этому утверждению является « Если не может быть выражено в виде несократимой дроби, то это не рационально${\ displaystyle {\ sqrt {2}}}$ ». Этот контрапозитив, как и исходное утверждение, также верен. Следовательно, если можно доказать, что нельзя выразить в виде несократимой дроби, то это должен быть случай, когда число не является рациональным. Последнее можно доказать от противного. ${\ displaystyle {\ sqrt {2}}}$${\ displaystyle {\ sqrt {2}}}$

В предыдущем примере для доказательства теоремы использовалось противоположное определение. Можно также доказать теорему, доказав противоположность утверждения теоремы. Чтобы доказать, что если натуральное число N является неквадратным числом , его квадратный корень иррационален , мы можем эквивалентным образом доказать его противоположность: если положительное целое число N имеет рациональный квадратный корень, то N является квадратным числом. Это можно показать, установив √ N равным рациональному выражению a / b, где a и b - положительные целые числа без общего простого множителя, и возведя в квадрат, чтобы получить N = a ² / b ^2, и отметив, что, поскольку N является положительным целым числом b = 1, так что N = a ² , квадратное число.

Соответствие другим математическим системам

Интуиционистская логика

В интуиционистской логике , утверждение не может быть доказано, что эквивалентно . Мы можем доказать, что это следует , но обратная импликация, от до , требует закона исключенного третьего или эквивалентной аксиомы. ${\ displaystyle P \ to Q}$${\ Displaystyle \ lnot Q \ to \ lnot P}$${\ displaystyle P \ to Q}$${\ Displaystyle \ lnot Q \ to \ lnot P}$${\ Displaystyle \ lnot Q \ to \ lnot P}$${\ displaystyle P \ to Q}$

Исчисление вероятностей

Противопоставление представляет собой пример теоремы Байеса, которая в определенной форме может быть выражена как:

${\ Displaystyle \ Pr (\ lnot P \ mid \ lnot Q) = {\ frac {\ Pr (\ lnot Q \ mid \ lnot P) \, a (\ lnot P)} {\ Pr (\ lnot Q \ mid \ lnot P) \, a (\ lnot P) + \ Pr (\ lnot Q \ mid P) \, a (P)}}}$.

В приведенном выше уравнении условная вероятность обобщает логическое утверждение , т. Е. В дополнение к присвоению ИСТИНА или ЛОЖЬ мы также можем присвоить утверждению любую вероятность. Этот термин обозначает базовую ставку (также известную как априорная вероятность ) . Предположим, что это эквивалентно ИСТИННО, и это эквивалентно ЛОЖЬ. Тогда легко увидеть, что когда, то есть когда ИСТИНА. Это потому, что дробь в правой части приведенного выше уравнения равна 1 и, следовательно, эквивалентна ИСТИННОМУ. Следовательно, теорема Байеса представляет собой обобщение противопоставления . ${\ Displaystyle \ Pr (\ lnot Q \ mid P)}$${\ displaystyle P \ to \ lnot Q}$${\ Displaystyle а (P)}$${\ displaystyle P}$${\ Displaystyle \ Pr (\ lnot Q \ mid P) = 1}$${\ displaystyle P \ to \ lnot Q}$${\ Displaystyle \ Pr (\ lnot Q \ mid P) = 0}$${\ displaystyle P \ to \ lnot Q}$${\ Displaystyle \ Pr (\ lnot P \ mid \ lnot Q) = 1}$${\ Displaystyle \ Pr (Q \ середина P) = 1}$${\ displaystyle P \ to Q}$${\ Displaystyle \ Pr (\ lnot Q \ mid P) = 1- \ Pr (Q \ mid P) = 0}$${\ Displaystyle \ Pr (\ lnot P \ mid \ lnot Q) = 1}$${\ Displaystyle \ lnot Q \ to \ lnot P}$

Субъективная логика

Противопоставление представляет собой пример субъективной теоремы Байеса в субъективной логике, выраженной как:

${\ displaystyle (\ omega _ {P {\ тильда {|}} Q} ^ {A}, \ omega _ {P {\ tilde {|}} \ lnot Q} ^ {A}) = (\ omega _ { Q | P} ^ {A}, \ omega _ {Q | \ lnot P} ^ {A}) \, {\ widetilde {\ phi \,}} \, a_ {P} \,}$,

где обозначает пару биномиальных условных мнений, предоставленных источником . Параметр обозначает базовую ставку (также известную как априорная вероятность ) . Обозначается пара перевернутых условных мнений . Условное мнение обобщает логическое утверждение , т. Е. В дополнение к присвоению ИСТИНА или ЛОЖЬ источник может присвоить утверждению любое субъективное мнение. Случай, когда является абсолютно ИСТИННЫМ мнением, эквивалентен тому, что источник говорит, что это ВЕРНО, а случай, когда это абсолютно ЛОЖНОЕ мнение, эквивалентно источнику, говорящему, что оно ЛОЖНО. В случае , когда условное мнение является абсолютным ИСТИНА теорема субъективного Байеса оператор из субъективной логики производит абсолютное FALSE условное мнение и тем самым абсолютное ИСТИНА условное мнение , которое эквивалентно быть ИСТИНА. Следовательно, субъективная теорема Байеса представляет собой обобщение как противопоставления, так и теоремы Байеса . ${\ displaystyle (\ omega _ {Q | P} ^ {A}, \ omega _ {Q | \ lnot P} ^ {A})}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle a_ {P}}$${\ displaystyle P}$${\ displaystyle (\ omega _ {P {\ tilde {|}} Q} ^ {A}, \ omega _ {P {\ tilde {|}} \ lnot Q} ^ {A})}$${\ displaystyle \ omega _ {Q | P} ^ {A}}$${\ displaystyle P \ to Q}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle \ omega _ {Q \ mid P} ^ {A}}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle P \ to Q}$${\ displaystyle \ omega _ {Q \ mid P} ^ {A}}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle P \ to Q}$${\ displaystyle \ omega _ {Q | P} ^ {A}}$${\ displaystyle {\ widetilde {\ phi \,}}}$${\ displaystyle \ omega _ {P {\ widetilde {|}} \ lnot Q} ^ {A}}$${\ displaystyle \ omega _ {\ lnot P {\ widetilde {|}} \ lnot Q} ^ {A}}$${\ Displaystyle \ lnot Q \ to \ lnot P}$

Смотрите также

• Reductio ad absurdum

использованная литература

Источники

• Аудун Йосанг, 2016, Субъективная логика; Формализм для рассуждений в условиях неопределенности Спрингер, Чам, ISBN  978-3-319-42337-1

внешние ссылки

• СМИ, связанные с противопоставлением на Викискладе?