Деструктивная дилемма - Destructive dilemma

Разрушительная дилемма является именем действительного правила вывода из логики . Вывод заключается в том, что если P влечет Q, а R влечет S и либо Q ложно, либо S ложно, то либо P, либо R должны быть ложными. В итоге, если два условных оператора истинны, но одно из их следствий ложно, то одно из их предшественников должно быть ложным. Деструктивная дилемма - это дизъюнктивный вариант modus tollens . Дизъюнктивная версия modus ponens - это конструктивная дилемма . Правило деструктивной дилеммы можно сформулировать:

{\ displaystyle {\ frac {P \ to Q, R \ to S, \ neg Q \ lor \ neg S} {\ поэтому \ neg P \ lor \ neg R}}}

где правило таково, что везде, где экземпляры " ", " " и " " появляются в строках доказательства, " " могут быть помещены в следующую строку. ${\ displaystyle P \ to Q}$ ${\ displaystyle R \ to S}$ ${\ Displaystyle \ neg Q \ lor \ neg S}$ ${\ displaystyle \ neg P \ lor \ neg R}$

Формальное обозначение

Разрушительная дилемма правило может быть записано в секвенции записи:

{\ Displaystyle (п \ к Q), (р \ к S), (\ отр Q \ lor \ neg S) \ vdash (\ neg P \ lor \ neg R)}

где представляет собой металогическое символ , означающее , что является синтаксическим следствием из , и в какой - то логической системе ; ${\ displaystyle \ vdash}$ ${\ displaystyle \ neg P \ lor \ neg R}$ ${\ displaystyle P \ to Q}$ ${\ displaystyle R \ to S}$ ${\ Displaystyle \ neg Q \ lor \ neg S}$

и выражается как функциональная тавтология истинности или теорема логики высказываний:

{\ Displaystyle (((П \ к Q) \ земля (R \ к S)) \ земля (\ отр Q \ лор \ отр S)) \ к (\ отр П \ лор \ отр R)}

где , , и являются предложения , выраженные в какой - то формальной системе . ${\ displaystyle P}$ ${\ displaystyle Q}$ ${\ displaystyle R}$ ${\ displaystyle S}$

Пример естественного языка

Если пойдет дождь, мы останемся внутри.

Если будет солнечно, пойдем гулять.

Либо мы не останемся внутри, либо не пойдем гулять, либо и то, и другое.

Поэтому либо дождя не будет, либо не будет солнечно, либо и то, и другое.

Доказательство


Шаг	Предложение	Вывод
1	${\ displaystyle P \ to Q}$	Данный
2	${\ displaystyle R \ to S}$	Данный
3	${\ Displaystyle \ neg Q \ lor \ neg S}$	Данный
4	${\ displaystyle \ neg Q \ to \ neg P}$	Транспозиция (1)
5	${\ displaystyle \ neg S \ to \ neg R}$	Транспозиция (2)
6	${\ displaystyle (\ neg Q \ к \ neg P) \ land (\ neg S \ to \ neg R)}$	Введение конъюнкции (4,5)
6	${\ displaystyle \ neg P \ lor \ neg R}$	Конструктивная дилемма (6,3)

Пример доказательства

Справедливость этой структуры аргументов может быть продемонстрирована с помощью как условного доказательства (CP), так и сокращения до абсурда (RAA) следующим образом:

1.	${\ Displaystyle ((P \ rightarrow Q) \ И (R \ rightarrow S)) \ И (\ neg Q \ vee \ neg S)}$	(Предположение CP)
2.	${\ Displaystyle (P \ rightarrow Q) \ И (R \ rightarrow S)}$	(1: упрощение)
3.	${\ displaystyle (P \ rightarrow Q)}$	(2: упрощение)
4.	${\ Displaystyle (R \ rightarrow S)}$	(2: упрощение)
5.	${\ Displaystyle (\ neg Q \ vee \ neg S)}$	(1: упрощение)
6.	${\ Displaystyle \ neg (\ neg P \ vee \ neg R)}$	(Предположение RAA)
7.	${\ displaystyle \ neg \ neg P \ And \ neg \ neg R}$	(6: Закон Де Моргана )
8.	${\ displaystyle \ neg \ neg P}$	(7: упрощение)
9.	${\ Displaystyle \ neg \ neg R}$	(7: упрощение)
10.	${\ displaystyle P}$	(8: двойное отрицание )
11.	${\ displaystyle R}$	(9: двойное отрицание)
12.	${\ displaystyle Q}$	(3,10: модус поненс)
13.	${\ displaystyle S}$	(4,11: modus ponens)
14.	${\ Displaystyle \ neg \ neg Q}$	(12: двойное отрицание)
15.	${\ displaystyle \ neg S}$	(5, 14: дизъюнктивный силлогизм )
16.	${\ displaystyle S \ And \ neg S}$	(13,15: соединение )
17.	${\ displaystyle \ neg P \ vee \ neg R}$	(6–16: RAA)

18.	${\ displaystyle (((P \ rightarrow Q) \ And (R \ rightarrow S)) \ And (\ neg Q \ vee \ neg S))) \ rightarrow \ neg P \ vee \ neg R}$	(1-17: CP)