Коммутативная собственность - Commutative property

Операция коммутативна тогда и только тогда, когда для каждого и . Это изображение иллюстрирует это свойство с помощью концепции операции как «вычислительной машины». Не имеет значения для вывода или, соответственно, в каком порядке аргументы и имеют - конечный результат тот же.

В математике , бинарная операция является коммутативной , если меняется порядок операндов не изменяет результат. Это фундаментальное свойство многих бинарных операций, и от него зависят многие математические доказательства . Наиболее известное как название свойства, которое говорит что-то вроде «3 + 4 = 4 + 3» или «2 × 5 = 5 × 2» , свойство также можно использовать в более сложных настройках. Имя необходимо, потому что есть операции, такие как деление и вычитание , у которых его нет (например, «3 - 5 ≠ 5 - 3» ); такие операции не являются коммутативными и поэтому называются некоммутативными операциями . Идея о том, что простые операции, такие как умножение и сложение чисел, коммутативны, в течение многих лет неявно предполагалась. Таким образом, это свойство не было названо до 19 века, когда математика начала формализоваться. Соответствующее свойство существует для бинарных отношений ; бинарное отношение называется симметричным, если отношение применяется независимо от порядка его операндов; например, равенство является симметричным, поскольку два равных математических объекта равны независимо от их порядка.

Общее использование

Свойство коммутативности (или закон коммутативности ) - это свойство, обычно связанное с бинарными операциями и функциями . Если свойство коммутативности выполняется для пары элементов при определенной бинарной операции, то говорят, что эти два элемента коммутируют при этой операции.

Математические определения

Бинарная операция на множестве S называется коммутативной , если

Операция, не удовлетворяющая указанному выше свойству, называется некоммутативной .

Говорят, что x коммутирует с y или что x и y коммутируют при, если

Другими словами, операция коммутативна, если каждая пара элементов коммутирует.

Бинарная функция иногда называется коммутативной , если

Такую функцию чаще называют симметричной функцией .

Примеры

Коммутативные операции в повседневной жизни

Накопление яблок, которое можно рассматривать как сложение натуральных чисел, является коммутативным.
  • Надевание носков похоже на коммутационную операцию, поскольку неважно, какой носок надеть первым. В любом случае результат (если надеты оба носка) будет одинаковым. Напротив, надевание нижнего белья и брюк не является перекрестным.
  • Коммутативность сложения соблюдается при оплате товара наличными. Независимо от порядка подачи счетов, они всегда дают одинаковую сумму.

Коммутативные операции в математике

Сложение векторов коммутативно, потому что .

Два хорошо известных примера коммутативных бинарных операций:

  • Сложение из действительных чисел коммутативно, так как
    Например, 4 + 5 = 5 + 4, поскольку оба выражения равны 9.
  • Умножение из действительных чисел коммутативно, так как

    Например, 3 × 5 = 5 × 3, поскольку оба выражения равны 15.

    Как прямое следствие этого, также верно, что выражения в форме y% от z и z% от y являются коммутативными для всех действительных чисел y и z. Например, 64% от 50 = 50% от 64, поскольку оба выражения равны 32, а 30% от 50% = 50% от 30%, поскольку оба этих выражения равны 15%.

  • Некоторые двоичные функции истинности также являются коммутативными, поскольку таблицы истинности для функций остаются неизменными при изменении порядка операндов.

    Например, логическая двусмысленная функция p ↔ q эквивалентна q ↔ p. Эта функция также записывается как p IFF q, или как p ≡ q, или как E pq .

    Последняя форма представляет собой пример наиболее краткой записи в статье о функциях истинности, в которой перечислены шестнадцать возможных двоичных функций истинности, из которых восемь являются коммутативными: V pq = V qp ; A pq (OR) = A qp ; D pq (И-НЕ) = D qp ; E pq (IFF) = E qp ; J pq = J qp ; K pq (И) = K qp ; X pq (NOR) = X qp ; O pq = O qp .

  • Дальнейшие примеры коммутативных бинарных операций включают в себя сложение и умножение комплексных чисел , сложение и скалярное умножение на векторы , и пересечение и объединение из множеств .

Некоммутативные операции в повседневной жизни

  • Конкатенация , объединение символьных строк вместе, является некоммутативной операцией. Например,
    EA + T = ЕСТЬ ≠ ЧАЙ = T + EA
  • Стирка и сушка одежды похожи на некоммутативную операцию; стирка и последующая сушка дают совершенно иной результат, чем сушка и последующая стирка.
  • Поворот книги на 90 ° вокруг вертикальной оси, а затем на 90 ° вокруг горизонтальной оси дает другую ориентацию, чем когда вращения выполняются в противоположном порядке.
  • Ходы любой комбинированной головоломки (например, поворот кубика Рубика ) некоммутативны. Это можно изучить с помощью теории групп .
  • Мыслительные процессы некоммутативны: человек, задавший вопрос (А), а затем вопрос (В), может давать разные ответы на каждый вопрос, чем человек, который сначала задал (В), а затем (А), потому что задание вопроса может изменить состояние человека. ума.
  • Акт одевания может быть коммутативным или некоммутативным, в зависимости от предметов. Носить нижнее белье и обычную одежду нельзя. Надевание левых и правых носков коммутативно.
  • Перетасовка колоды карт некоммутативна. Учитывая два способа тасования колоды, A и B, сначала выполнить A, а затем B, в общем, не то же самое, что сначала выполнить B, а затем A.

Некоммутативные операции в математике

Некоторые некоммутативные бинарные операции:

Деление, вычитание и возведение в степень

Деление некоммутативно, так как .

Вычитание некоммутативно, поскольку . Однако это классифицировано более точно , как антикоммутативные , так как .

Возведение в степень некоммутативно, поскольку .

Функции правды

Некоторые функции истинности некоммутативны, поскольку таблицы истинности для функций различаются при изменении порядка операндов. Например, таблицы истинности для (A ⇒ B) = (¬A ∨ B) и (B ⇒ A) = (A ∨ ¬B) являются

А B А ⇒ Б B ⇒ A
F F Т Т
F Т Т F
Т F F Т
Т Т Т Т

Функциональная композиция линейных функций

Композиция функций из линейных функций от действительных чисел до действительных чисел почти всегда некоммутативна. Например, пусть и . потом

а также

Это также применимо в более общем случае для линейных и аффинных преобразований из векторного пространства в себя (см. Ниже матричное представление).

Умножение матриц

Умножение матриц из квадратных матриц почти всегда некоммутативно, например:

Векторный продукт

Векторное произведение (или векторное произведение ) двух векторов в трех измерениях является анти-коммутативное ; т.е. b × a = - ( a × b ).

История и этимология

Первое известное использование этого термина было во французском журнале, опубликованном в 1814 году.

Записи о неявном использовании коммутативного свойства восходят к древним временам. В Египтяне использовали коммутативное свойство умножения для упрощения вычислительных продуктов . Известно, что Евклид предположил коммутативное свойство умножения в своей книге « Элементы» . Формальное использование коммутативности возникло в конце 18 - начале 19 веков, когда математики начали работать над теорией функций. Сегодня коммутативность - это хорошо известное и основное свойство, используемое в большинстве разделов математики.

Первое зарегистрированное использование термина коммутативность было в мемуарах Франсуа Сервуа в 1814 году, в котором слово коммутативы использовалось при описании функций, которые обладают тем, что сейчас называется коммутативным свойством. Это слово представляет собой комбинацию французского слова « пригородный», означающего «заменять или переключать», и суффиксного падежа, означающего « стремиться к», поэтому слово буквально означает «стремиться заменить или переключить». Затем этот термин появился на английском языке в 1838 году в статье Дункана Фаркухарсона Грегори , озаглавленной «О реальной природе символической алгебры», опубликованной в 1840 году в « Трудах Королевского общества Эдинбурга» .

Логика высказываний

Правило замены

В истинностно-функциональной логике высказываний коммутация или коммутативность относятся к двум действительным правилам замены . Правила позволяют переносить пропозициональные переменные в логические выражения в логических доказательствах . Правила следующие:

а также

где " " - металогический символ, обозначающий "можно заменить в доказательстве на".

Функциональные связки истины

Коммутативность - это свойство некоторых логических связок функциональной логики высказываний истинности . Следующие логические эквивалентности демонстрируют, что коммутативность является свойством определенных связок. Ниже приведены функциональные тавтологии истины .

Коммутативность конъюнкции
Коммутативность дизъюнкции
Коммутативность импликации (также называемая законом перестановки)
Коммутативность эквивалентности (также называемая полным коммутативным законом эквивалентности)

Теория множеств

В теории групп и множеств многие алгебраические структуры называются коммутативными, если определенные операнды удовлетворяют свойству коммутативности. В более высоких разделах математики, таких как анализ и линейная алгебра, коммутативность хорошо известных операций (таких как сложение и умножение действительных и комплексных чисел) часто используется (или неявно предполагается) в доказательствах.

Математические структуры и коммутативность

Связанные свойства

Ассоциативность

Ассоциативное свойство тесно связано с коммутативным свойством. Свойство ассоциативности выражения, содержащего два или более вхождения одного и того же оператора, гласит, что порядок выполнения операций не влияет на конечный результат, пока порядок терминов не изменяется. Напротив, свойство коммутативности утверждает, что порядок терминов не влияет на окончательный результат.

Большинство встречающихся на практике коммутативных операций также ассоциативны. Однако коммутативность не означает ассоциативности. Контрпримером является функция

который явно коммутативен (перестановка x и y не влияет на результат), но он не ассоциативен (поскольку, например, но ). Больше таких примеров можно найти в коммутативных неассоциативных магмах .

Распределительный

Симметрия

График симметрии функции сложения

Некоторые формы симметрии могут быть напрямую связаны с коммутативностью. Когда коммутативная операция записывается как двоичная функция, эта функция называется симметричной функцией , а ее график в трехмерном пространстве симметричен по плоскости . Например, если функция f определена как, то является симметричной функцией.

Для отношений симметричное отношение аналогично коммутативной операции в том смысле, что если отношение R является симметричным, то .

Некоммутирующие операторы в квантовой механике

В квантовой механике, сформулированной Шредингером , физические переменные представлены линейными операторами, такими как (что означает умножение на ) и . Эти два оператора не коммутируют, что можно увидеть, рассматривая влияние их композиций и (также называемых произведениями операторов) на одномерную волновую функцию :

В соответствии с принципом неопределенности в Гейзенберга , если два оператора , представляющие собой пару переменных не коммутируют, то , что пара переменных взаимно дополняют друг друга , что означает , что они не могут быть одновременно измерены или известны точно. Например, положение и импульс в -направлении частицы представлены операторами и , соответственно (где - приведенная постоянная Планка ). Это тот же пример, за исключением константы , поэтому снова операторы не коммутируют, и физический смысл состоит в том, что положение и линейный импульс в данном направлении дополняют друг друга.

Смотрите также

Примечания

использованная литература

Книги

  • Акслер, Шелдон (1997). Линейная алгебра сделано правильно, 2e . Springer. ISBN 0-387-98258-2.
    Абстрактная теория алгебры. Охватывает коммутативность в этом контексте. Использует собственность на протяжении всей книги.
  • Копи, Ирвинг М .; Коэн, Карл (2005). Введение в логику (12-е изд.). Прентис Холл. ISBN 9780131898349.
  • Галлиан, Джозеф (2006). Современная абстрактная алгебра (6е изд.). Хоутон Миффлин. ISBN 0-618-51471-6.
    Теория линейной алгебры. Объясняет коммутативность в главе 1, использует ее повсюду.
  • Гудман, Фредерик (2003). Алгебра: абстрактное и конкретное, Симметрия напряжений (2-е изд.). Прентис Холл. ISBN 0-13-067342-0.
    Абстрактная теория алгебры. В книге используется свойство коммутативности.
  • Херли, Патрик Дж .; Уотсон, Лори (2016). Краткое введение в логику (12-е изд.). Cengage Learning. ISBN 978-1-337-51478-1.

Статьи

Интернет-ресурсы