Главный идеал - Principal ideal

В математике , в частности , теории колец , А главный идеал является идеальным в кольце , которое генерируется одним элементом из умножения на каждом элементе Термина также имеет другой, аналогичный смысл в теории порядка , где оно относится к (заказ) идеален в poset, порожденном одним элементом, то есть набором всех элементов, меньших или равных в

В оставшейся части статьи рассматривается концепция теории колец.

Определения

  • покинул главный идеал из является подмножеством из задается для некоторого элемента
  • правый главный идеал из является подмножеством задается для некоторого элемента
  • двусторонний главный идеал из является подмножеством задается для некоторого элемента а именно, множество всех конечных сумм элементов вида

Хотя это определение двустороннего главного идеала может показаться более сложным, чем другие, необходимо убедиться, что идеал остается замкнутым при сложении.

Если - коммутативное кольцо с единицей, то все три вышеупомянутых понятия одинаковы. В этом случае принято писать идеал, созданный как или

Примеры неглавного идеала

Не все идеалы главны. Например, рассмотрим коммутативное кольцо всех многочленов от двух переменных и с комплексными коэффициентами. Идеал, порожденный и состоящий из всех многочленов от, которые имеют ноль в качестве постоянного члена , не является главным. Чтобы убедиться в этом, предположим, что это был генератор для Then и оба были бы делимы, на что невозможно, если не является ненулевой константой. Но ноль - единственная константа в, поэтому мы пришли к противоречию .

В кольце числа где is даже образуют неглавный идеал. Этот идеал образует правильную гексагональную решетку на комплексной плоскости. Рассмотрим и Эти числа являются элементами этого идеала с одинаковой нормой (два), но потому что единственные единицы в кольце являются, а они не являются ассоциированными.

Связанные определения

Кольцо, в котором каждый идеал является главным, называется главным или кольцом главных идеалов . Главные идеалы (ПИД) является областью целостности , в которой каждый идеал является главным. Любой PID - это уникальный домен факторизации ; нормальное доказательство однозначной факторизации целых чисел (так называемая основная теорема арифметики ) выполняется в любом PID.

Примеры главного идеала

Основные идеалы в имеют форму Фактически, это область главных идеалов, которую можно показать следующим образом. Предположим, где, и рассмотрим сюръективные гомоморфизмы Поскольку конечно, для достаточно больших мы имеем Таким образом, что влечет всегда конечно порождено. Поскольку идеал порождается любыми целыми числами и получается индукцией по количеству образующих, следует, что он является главным.

Однако все кольца имеют главные идеалы, а именно любой идеал, порожденный ровно одним элементом. Например, идеал является главным идеалом и главным идеалом кольца Фактически, а также главными идеалами любого кольца.

Свойства

Любой евклидов домен является PID ; алгоритм, используемый для вычисления наибольших общих делителей, может быть использован для поиска генератора любого идеала. В более общем смысле, любые два главных идеала в коммутативном кольце имеют наибольший общий делитель в смысле идеального умножения. В областях главных идеалов это позволяет вычислить наибольшие общие делители элементов кольца с точностью до умножения на единицу ; мы определяем как любой генератор идеала

Для дедекиндовым области мы также можем спросить, учитывая неглавный идеал из того , есть некоторое расширение из таких , что идеал , порожденные является основным (говорят более свободно, становится основным ин ). Этот вопрос возник в связи с изучением колец алгебраических чисел (которые являются примерами дедекиндовыми доменов) в теории чисел , и привело к развитию теории полей классов по Teiji Такаги , Артин , Давид Гильберт и многие другие.

Теорема об основном идеале теории полей классов утверждает, что каждое целочисленное кольцо (т. Е. Кольцо целых чисел некоторого числового поля ) содержится в большем целочисленном кольце, которое обладает тем свойством, что каждый идеал становится главным идеалом В этой теореме мы можем взять чтобы кольцо целых чисел поля классов Гильберта о ; то есть максимальное неразветвленное абелевы расширение (то есть расширение Галуа которого группа Галуа является абелевым ) из фракции области , и это однозначно определяется

Теорема Крулля о главном идеале утверждает, что если является нетеровым кольцом и является главным собственным идеалом, то имеет высоту не более единицы.

Смотрите также

Рекомендации

  • Галлиан, Джозеф А. (2017). Современная абстрактная алгебра (9-е изд.). Cengage Learning. ISBN   978-1-305-65796-0 .