Отношение (математика) - Relation (mathematics)

Транзитивные бинарные отношения

	Симметричный	Антисимметричный	Связаны	Обоснованный	Присоединяется	Встречается	Рефлексивный	Нерефлексивный	Асимметричный
			Итого, Semiconnex					Анти- рефлексивно
Отношение эквивалентности	Y	✗	✗	✗	✗	✗	Y	✗	✗
Предзаказ (Квазипорядок)	✗	✗	✗	✗	✗	✗	Y	✗	✗
Частичный заказ	✗	Y	✗	✗	✗	✗	Y	✗	✗
Всего предзаказ	✗	✗	Y	✗	✗	✗	Y	✗	✗
Общий заказ	✗	Y	Y	✗	✗	✗	Y	✗	✗
Предварительный заказ	✗	✗	Y	Y	✗	✗	Y	✗	✗
Хорошо-квазиупорядоченный	✗	✗	✗	Y	✗	✗	Y	✗	✗
Хороший порядок	✗	Y	Y	Y	✗	✗	Y	✗	✗
Решетка	✗	Y	✗	✗	Y	Y	Y	✗	✗
Соединение-полурешетка	✗	Y	✗	✗	Y	✗	Y	✗	✗
Встреча-полурешетка	✗	Y	✗	✗	✗	Y	Y	✗	✗
Строгий частичный заказ	✗	✗	✗	✗	✗	✗	✗	Y	Y
Строгий слабый порядок	✗	✗	✗	✗	✗	✗	✗	Y	Y
Строгий общий порядок	✗	✗	Y	✗	✗	✗	✗	Y	Y
	Симметричный	Антисимметричный	Связаны	Обоснованный	Присоединяется	Встречается	Рефлексивный	Нерефлексивный	Асимметричный
Определения для всех и : ${\ displaystyle a, b}$ ${\ Displaystyle S \ neq \ varnothing}$	${\ displaystyle {\ begin {align} & aRb \\\ Rightarrow {} & bRa \ end {align}}}$	${\ displaystyle {\ begin {align} aRb {\ text {and}} & bRa \\\ Rightarrow a = {} & b \ end {align}}}$	${\ displaystyle {\ begin {align} a \ neq {} & b \ Rightarrow \\ aRb {\ text {or}} & bRa \ end {align}}}$	${\ Displaystyle {\ begin {выровнено} \ min S \\ {\ text {exists}} \ end {выровнено}}}$	${\ displaystyle {\ begin {align} a \ vee b \\ {\ text {exists}} \ end {выравнивается}}}$	${\ Displaystyle {\ begin {выровненный} а \ клин б \\ {\ текст {существует}} \ конец {выровненный}}}$	${\ displaystyle aRa}$	${\ displaystyle {\ text {not}} aRa}$	${\ Displaystyle {\ begin {выровнено} aRb \ Rightarrow \\ {\ text {not}} bRa \ end {выровнено}}}$

указывает, что свойство столбца требуется по определению термина строки (в самом левом углу). Например, определение отношения эквивалентности требует, чтобы оно было симметричным. Все определения молчаливо требуют, чтобы однородное отношение было транзитивным : для всех if и then и существуют дополнительные свойства, которым может удовлетворять однородное отношение.

{\ displaystyle R}

{\ displaystyle a, b, c,}

{\ displaystyle aRb}

{\ displaystyle bRc}

{\ displaystyle aRc,}

В математике , А бинарное отношение над множествами $X$ и $Y$ представляет собой подмножество в декартово произведение $X \times Y$ ; то есть, она представляет собой набор упорядоченных пар $(х, у)$ , состоящих из элементов $х$ в $X$ и $Y$ в $Y$ . Он кодирует общую концепцию соотношения: элемент $х$ имеет связанный с элементом $у$ , тогда и только тогда , когда пара $(х, у)$ принадлежит множеству упорядоченных пар , который определяет бинарное отношение . Бинарное отношение является наиболее изученным частным случаем $п = 2$ из $п$ -ичного соотношения над множествами $Х 1, ..., Х п$ , которое является подмножеством декартова произведения $X 1 \times ... \times X п$ .

Пример бинарного отношения является « делит » отношение над множеством простых чисел и множеством целых чисел , в котором каждый простой $р$ имеет отношение к любому целому числу $г$ , которое является кратным от $р$ , но не является целым числом, которое не кратное $p$ . В этом отношении, например, простое число 2 связано с такими числами, как -4, 0, 6, 10, но не с 1 или 9, точно так же, как простое число 3 связано с 0, 6 и 9, но не до 4 или 13. ${\ Displaystyle \ mathbb {P}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$

Бинарные отношения используются во многих разделах математики для моделирования самых разных понятий. К ним, среди прочего, относятся:

« больше », « равно » и «делит» отношения в арифметике ;
отношение « конгруэнтно » в геометрии ;
отношение «смежно с» в теории графов ;
отношение « ортогонально » в линейной алгебре .

Функция может быть определена как особый вид бинарного отношения. Двоичные отношения также широко используются в информатике , например, в системе управления реляционными базами данных (СУБД).

Бинарное отношение над множествами $X$ и $Y$ представляет собой элемент из набора мощности из $X \times Y$ . Поскольку последнее множество упорядочено включением (⊆), каждое отношение имеет место в решетке подмножеств $X \times Y$ . Бинарное отношение - это либо однородное, либо гетерогенное отношение, в зависимости от того, X = Y или нет.

Поскольку отношения являются наборами, ими можно манипулировать, используя операции над наборами, включая объединение , пересечение и дополнение , а также выполнение законов алгебры множеств . Помимо этого, доступны такие операции, как обратное отношение и композиция отношений , удовлетворяющие законам исчисления отношений , для которых есть учебники Эрнста Шредера , Кларенса Льюиса и Гюнтера Шмидта . Более глубокий анализ отношений включает разложение их на подмножества, называемые концептами , и размещение их в полной решетке .

В некоторых системах аксиоматической теории множеств отношения распространяются на классы , которые являются обобщениями множеств. Это расширение необходимо, среди прочего, для моделирования концепций «является элементом» или «является подмножеством» в теории множеств, не сталкиваясь с логическими противоречиями, такими как парадокс Рассела .

Термины соответствие , диадическое отношение и двухместное отношение являются синонимами бинарного отношения, хотя некоторые авторы используют термин «бинарное отношение» для любого подмножества декартова произведения $X \times Y$ без ссылки на $X$ и $Y$ и оставляют за собой термин «соответствие». "для бинарного отношения со ссылкой на $X$ и $Y$ .

Определение

С учетом множества Х и Y , то декартово произведение $X \times Y$ определяется как ${(х, у) | x \in X и y \in Y}$ , а его элементы называются упорядоченными парами.

Бинарное отношение R над множествами X и Y представляет собой подмножество $X \times Y$ . Множество X называется доменом или набор отправления из R , а множество Y кообласть или набор назначения из R . Чтобы указать выбор множеств X и Y , некоторые авторы определяют бинарное отношение или соответствие как упорядоченную тройку $(X, Y, G)$ , где G - подмножество $X \times Y,$ называемое графом бинарного отношения. Выражение $(x, y) \in R$ читается как « x является R- связанным с y » и записывается в инфиксной записи как xRy . Область определения или активной области из R представляет собой множество всех х таких , что хКу по крайней мере , одного у . Кообласть определения , активные область значений , изображений или диапазон из R представляет собой множество всех у такого , что хКа , по крайней мере , одного х . Поле из R является объединением своей области определения и его кообласти определения.

Когда $X = Y$ , бинарное отношение называется однородным отношением (или эндорреляцией ). В противном случае это неоднородные отношения .

В бинарных отношениях важен порядок элементов; если $x \neq y,$ то yRx может быть истинным или ложным независимо от xRy . Например, 3 делит 9, но 9 не делит 3.

Пример

2-й пример отношения
$А$ $B'$	мяч	автомобиль	кукла	чашка
Джон	+	-	-	-
Мэри	-	-	+	-
Венера	-	+	-	-

1-й пример отношения
$А$ $B$	мяч	автомобиль	кукла	чашка
Джон	+	-	-	-
Мэри	-	-	+	-
Ян	-	-	-	-
Венера	-	+	-	-

Следующий пример показывает, что выбор кодомена важен. Предположим, есть четыре объекта $A = {мяч, машина, кукла, чашка}$ и четыре человека $B = {Джон, Мэри, Ян, Венера}$ . Возможное отношение на A и B - это отношение «принадлежит», задаваемое $R = {(мяч, Джон), (кукла, Мэри), (машина, Венера)}$ . То есть Джон владеет мячом, Мэри владеет куклой, а Венера владеет машиной. Никто не владеет чашей, и Ян ничего не владеет, см. 1-й пример. Как набор, R не включает Яна, и поэтому R можно было бы рассматривать как подмножество $A \times {John, Mary, Venus}$ , то есть отношение над A и {John, Mary, Venus}, см. 2-й пример. В то время как 2-й пример отношения сюръективен (см. Ниже ), 1-й - нет.

Особые типы бинарных отношений

Примеры четырех типов бинарных отношений над действительными числами : один-к-одному (зеленым), один-ко-многим (синим), многие-к-одному (красным), многие-ко-многим (черным) ).

Некоторые важные типы бинарных отношений R над множествами X и Y перечислены ниже.

Свойства уникальности:

Инъективный (также называемый уникальным слева ): Для всех $x, z \in X$ и всех $y \in Y$ , если $xRy$ и $zRy,$ то $x = z$ . Для получения такого соотношения, { Y } называется на первичный ключ из R . Например, зеленые и синие бинарные отношения на диаграмме инъективны, а красный - нет (поскольку он связывает как −1, так и 1 с 1), ни черный (поскольку он связывает как −1, так и 1 с 0). .
Функциональная (также называемый правый уникальный , прямо определенный или однолистны ): Для всех $x \in X$ и всех $y, z \in Y$ , если $xRy$ и $xRz,$ то $y = z$ . Такое бинарное отношение называется частичной функцией . Для получения такого соотношения, { X } называется первичным ключом из R . Например, красные и зеленые бинарные отношения на диаграмме являются функциональными, а синее - нет (поскольку оно связывает 1 как с −1, так и с 1), ни с черным (поскольку оно связывает 0 с −1 и с 1). .
Один к одному: Инъективно и функционально. Например, бинарные отношения зеленого цвета на диаграмме взаимно однозначны, а отношения красного, синего и черного - нет.
Один ко многим: Инъективно и не функционально. Например, синее двоичное отношение на диаграмме - один ко многим, а красный, зеленый и черный - нет.
Многие к одному: Функциональный, а не инъекционный. Например, красное бинарное отношение на диаграмме - «многие к одному», а зеленый, синий и черный - нет.
Многие-ко-многим: Ни инъективный, ни функциональный. Например, черные бинарные отношения на диаграмме - это многие ко многим, а красные, зеленые и синие - нет.

Свойства целостности (можно определить, только если указаны домен X и домен Y ):

Последовательный (также называемый полным слева ): Для всех x в X существует y в Y такое, что $xRy$ . Другими словами, область определения R равен X . Это свойство, хотя некоторые авторы также называют его общим , отличается от определения подключенного (также называемого некоторыми авторами общим ) в разделе « Свойства» . Такое бинарное отношение называется многозначной функцией . Например, красные и зеленые бинарные отношения на диаграмме являются последовательными, а синее - нет (поскольку оно не связывает -1 ни с каким действительным числом), ни черное (поскольку оно не связывает 2 ни с одним действительным числом. ).
Сюръективный (также называемый тотальным справа или на ): Для всех y в Y существует x в X такой, что xRy . Другими словами, кообласть определения R равен Y . Например, зеленые и синие бинарные отношения на диаграмме сюръективны, а красное - нет (поскольку оно не связывает ни одно действительное число с −1), ни черное (поскольку оно не связывает какое-либо действительное число с 2. ).

Свойства уникальности и полноты (можно определить, только если заданы домен X и домен Y ):

функция: Бинарное отношение, которое является функциональным и последовательным. Например, красные и зеленые бинарные отношения на диаграмме являются функциями, а синие и черные - нет.
инъекции: Функция, которая является инъективной. Например, зеленое бинарное отношение на диаграмме является инъекцией, а красный, синий и черный - нет.
сюръекция: Сюръективная функция. Например, зеленое бинарное отношение на диаграмме является сюрпризом, а красный, синий и черный - нет.
биекция: Инъективная и сюръективная функция. Например, зеленое бинарное отношение на диаграмме является взаимно однозначным, а красный, синий и черный - нет.

Операции над бинарными отношениями

Союз

Если R и S - бинарные отношения над множествами X и Y, то $R \cup S = {(x, y) | хКа или вании}$ является объединение отношения из R и S над X и Y .

Элементом идентичности является пустое отношение. Например, ≤ - это объединение <и =, а ≥ - объединение> и =.

Пересечение

Если R и S - бинарные отношения над множествами X и Y, то $R \cap S = {(x, y) | хКа и вании}$ является пересечение соотношения из R и S над X и Y .

Элемент идентичности - это универсальное отношение. Например, отношение «делится на 6» - это пересечение отношений «делится на 3» и «делится на 2».

Состав

Если R - бинарное отношение над множествами X и Y , а S - бинарное отношение над множествами Y и Z, то $S \circ R = {(x, z) | существует у \in Y такое , что хКа и YSZ}$ (также обозначается через $R; S$ ) представляет собой композицию соотношение из R и S над X и Z .

Элементом идентичности является отношение идентичности. Порядок R и S в обозначениях $S \circ R$ , используемых здесь, согласуется со стандартным порядком обозначений для композиции функций . Например, композиция "является матерью" "является родителем" урожайности "является бабушкой и дедушкой по материнской линии", в то время как композиция "является родителем" ", является матерью" урожайности "является бабушкой". В первом случае, если x - родитель y, а y - мать z , то x - прародитель z по материнской линии .

Converse

Если R - бинарное отношение над множествами X и Y, то $R T = {(y, x) | хКу}$ является обратным соотношением из R над Y и X .

Например, = является обратным самому себе, как ≠, а <и> являются обратными друг другу, как и ≤ и ≥. Бинарное отношение равно своему обратному тогда и только тогда, когда оно симметрично .

Дополнение

Если R - бинарное отношение над множествами X и Y, то $R = {(x, y) | не хКа}$ (также обозначается через R или $\neg R$ ) является комплементарным отношением из R над X и Y .

Например, = и ≠ являются дополнениями друг друга, как и ⊆ и ⊈, ⊇ и ⊉, и ∈ и ∉, а для общего количества заказов также <и ≥, и> и ≤.

Дополнение обратного отношения $R T$ является обратным дополнению: ${\ displaystyle {\ overline {R ^ {\ mathsf {T}}}} = {\ bar {R}} ^ {\ mathsf {T}}.}$

Если $X = Y$ , дополнение имеет следующие свойства:

Если отношение симметрично, то и дополнение - тоже.
Дополнение рефлексивного отношения иррефлексивно - и наоборот.
Дополнение к строгому слабому заказу - это полный предварительный заказ, и наоборот.

Ограничение

Если R - бинарное однородное отношение над множеством X и S - подмножество X, то $R | S = {(x, y) | хКа и х \in S и Y \in S}$ является ограничение соотношения изRкSнадX.

Если R - бинарное отношение над множествами X и Y и если S - подмножество X, то $R | S = {(x, y) | xRy и x \in S}$ - этолевое ограничение соотношение изRкSнадXиY.

Если R - бинарное отношение над множествами X и Y и если S - подмножество Y, то $R | S = {(x, y) | xRy и y \in S}$ - этоправое ограничение соотношение изRкSнадXиY.

Если отношение является рефлексивным , иррефлексивным, симметричным , антисимметричным , асимметричным , транзитивным , полным , трихотомическим , частичным , полным порядком , строгим слабым порядком , полным предварительным порядком (слабым порядком) или отношением эквивалентности , то то же самое относится к его ограничениям.

Однако транзитивное замыкание ограничения является подмножеством ограничения транзитивного замыкания, т. Е. В общем случае не равнозначно. Например, ограничение отношения « x является родителем y » женщинами дает отношение « x - мать женщины y »; его переходное закрытие не связывает женщину с бабушкой по отцовской линии. С другой стороны, транзитивное закрытие "является предком" является "является предком"; его ограничение женщинами действительно связывает женщину с ее бабушкой по отцовской линии.

Кроме того, различные концепции полноты (не путать с « полнотой ») не переносятся на ограничения. Так , например, над действительными числами свойство отношения ≤ является то , что каждое непустое подмножество S из R с верхней границей в R имеет минимум верхнюю границу (также называемый супремума) в R . Однако для рациональных чисел этот супремум не обязательно является рациональным, поэтому то же свойство не выполняется при ограничении отношения ≤ на рациональные числа.

Бинарное отношение R над множествами X и Y называется {{em |содержится в отношении S над X и Y , записывается,если R является подмножеством S , то есть для всех,иесли xRy , то xSy . Если R содержится в S и S содержится в R , то R и S , называются равно письменное R = S . Если R содержится в S, но S не содержится в R , то R называется ${\ Displaystyle R \ substeq S,}$ ${\ displaystyle x \ in X}$ ${\ displaystyle y \ in Y,}$ меньше , чемS, написанный $R ⊊ S$ . Например, длярациональных чиселотношение> меньше ≥ и равно композиции $> \circ>.$

Однородное отношение

Однородное отношение (также называемый endorelation ) над множеством X представляет собой бинарное отношение над X и сам, т.е. подмножество декартова произведения $X \times X$ . Это также просто называется (бинарное) отношение над X . Примером гомогенного отношения является отношение родства , где отношение распространяется на людей.

Однородное отношение R над множеством X может быть отождествлено с ориентированным простым графом, допускающим петли , или, если оно симметрично , с неориентированным простым графом, допускающим петли , где X - множество вершин, а R - множество ребер (есть ребро из вершины x в вершину y тогда и только тогда, когда $xRy$ ). Это называется отношением смежности графа.

Множество всех однородных отношений над множеством X - это множество $2$ $X$ $\times$ $X,$ которое является булевой алгеброй, дополненной инволюцией отображения отношения в обратное отношение . Рассматривая композицию отношений как бинарную операцию над , она образует полугруппу с инволюцией . ${\ Displaystyle {\ mathcal {B}} (X)}$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {B}} (X)}$

Особые однородные отношения

Некоторые важные частные однородные отношения над множеством X :

Пустое отношение: $E = \emptyset \subseteq X \times X$ ;
Универсальное соотношение: $U = X \times X$ ;
Отношение идентичности: $I = {(x, x) | x \in X}$ .

Для произвольных элементов x и y элемента X :

$xEy$ держится никогда;
$xUy$ держится всегда;
$xIy$ выполняется тогда и только тогда, когда $x = y$ .

Характеристики

Некоторые важные свойства, которыми может обладать однородное отношение $R$ над множеством $X$ :

Рефлексивный: для всех $x \in X$ , $xRx$ . Например, ≥ - рефлексивное отношение, а> - нет.
Нерефлексивный (или строгий ): для всех $x \in X$ , а не $xRx$ . Например,> - иррефлексивное отношение, а ≥ - нет.

Предыдущие 2 варианта не являются исчерпывающими; например, красное бинарное отношение $y = x 2,$ данное в разделе § Специальные типы бинарных отношений, не является ни иррефлексивным, ни рефлексивным, поскольку оно содержит пару $(0, 0)$ , но не $(2, 2)$ , соответственно.

Симметричный: для всех $x, y \in X$ , если $xRy,$ то $yRx$ . Например, «является кровным родственником» является симметричным отношением, потому что $x$ является кровным родственником $y$ тогда и только тогда, когда $y$ является кровным родственником $x$ .
Антисимметричный: для всех $x, y \in X$ , если $xRy$ и $yRx,$ то $x = y$ . Например, ≥ - антисимметричное отношение; так есть>, но бессмысленно (условие в определении всегда ложно).
Асимметричный: для всех $x, y \in X$ , если $xRy,$ то не $yRx$ . Отношение асимметрично тогда и только тогда, когда оно одновременно антисимметрично и иррефлексивно. Например,> - это асимметричное отношение, а ≥ - нет.

Опять же, предыдущие 3 альтернативы далеко не исчерпывающие; в качестве примера для натуральных чисел отношение $xRy,$ определяемое $x > 2, не$ является ни симметричным, ни антисимметричным, не говоря уже об асимметричном.

Переходный: для всех $x, y, z \in X$ , если $xRy$ и $yRz,$ то $xRz$ . Транзитивное отношение иррефлексивно тогда и только тогда, когда оно асимметрично. Например, «является предком» является транзитивным отношением, а «является родителем» - нет.

Плотный: для всех $x, y \in X$ таких, что $xRy$ , существует некоторый $z \in X$ такой, что $xRz$ и $zRy$ . Это используется в плотных заказах .
Связаны: для всех $x, y \in X$ , если $x \neq y,$ то $xRy$ или $yRx$ . Это свойство иногда называют «общим», что отличается от определений «всего», приведенных в разделе « Особые типы бинарных отношений» .
Сильно связан: для всех $x, y \in X$ , $xRy$ или $yRx$ . Это свойство иногда называют «общим», что отличается от определений «всего», приведенных в разделе « Особые типы бинарных отношений» .
Трихотомический: для всех $x, y \in X$ $выполняется$ ровно одно из $xRy$ , $yRx$ или $x = y$ . Например,> - это трихотомическое отношение, в то время как отношение «делится» на натуральные числа - нет.
Последовательный (или слева ): для всех $x \in X$ существует $y \in X$ такое, что $xRy$ . Например,> - это последовательное отношение над целыми числами. Но это не последовательное отношение по положительным целым числам, потому что в натуральных числах нет $y,$ такого что $1> y$ . Однако <является последовательным отношением к положительным целым числам, рациональным числам и действительным числам. Каждое рефлексивное отношение серийно: для данного $x$ выберите $y = x$ .
Обоснованный: каждое непустое подмножество $S$ из $X$ содержит минимальный элемент по отношению к $R$ . Обоснованность подразумевает условие убывающей цепи (то есть, бесконечная цепочка ... $x n R ... Rx 3 Rx 2 Rx 1$ существовать не может). Если принять аксиому зависимого выбора , оба условия эквивалентны.

Предзаказ

Отношение рефлексивное и переходное.

Общий предварительный заказ (также линейный предварительный заказ или слабый заказ ): Отношение рефлексивное, транзитивное и связное.

Частичный заказ (также, заказ )

Отношение рефлексивное, антисимметричное и транзитивное.

Строгий частичный порядок (также строгий порядок ): Отношение, которое является иррефлексивным, антисимметричным и транзитивным.
Общий порядок (также линейный порядок , простой порядок или цепочка ): Отношение рефлексивное, антисимметричное, транзитивное и связное.
Строгий общий порядок (также строгий линейный порядок , строгий простой порядок или строгая цепочка ): Отношение, которое является иррефлексивным, антисимметричным, транзитивным и связным.

Отношение частичной эквивалентности

Отношение, которое является симметричным и транзитивным.

Отношение эквивалентности: Отношение рефлексивное, симметричное и транзитивное. Это также отношение, которое является симметричным, транзитивным и последовательным, поскольку эти свойства подразумевают рефлексивность.

Операции

Если R является однородным отношением над множеством X, то каждое из следующих отношений является однородным отношением над X :

Рефлексивное закрытие: R ⁼ , определяемый как $R = = {(x, x) | х \in Х} \cup R$ или наименьшее рефлексивное отношение над X , содержащей R . Это может быть доказано , чтобы быть равным пересечение всех рефлекторных отношений , содержащих R .
Рефлексивное сокращение: R ^≠ , определяемый как $R ≠ = R \ {( x , x ) | х ∈ Х }$ или по величине иррефлексивного отношения над X , содержащимся в R .
Переходное закрытие: R ⁺ , определяется как наименьшее транзитивное отношение над X , содержащей R . Это можно видеть, равно пересечению всех транзитивных отношений , содержащих R .
Рефлексивное переходное закрытие: R *, определяется как $R * = (R +) =$ наименьшее предпорядок , содержащий R .
Рефлексивное транзитивное симметричное замыкание: R ^≡ , определяется как наименьшее отношение эквивалентности над X , содержащей R .

Все операции, определенные в разделе § Операции с бинарными отношениями, также применимы к однородным отношениям.

Однородные отношения по собственности
	Рефлексивность	Симметрия	Транзитивность	Связность	Условное обозначение	Пример
Направленный граф					→
Ненаправленный граф		Симметричный
Зависимость	Рефлексивный	Симметричный
Турнир	Нерефлексивный	Антисимметричный				Порядок иерархии
Предзаказ	Рефлексивный		да		≤	Предпочтение
Всего предзаказ	Рефлексивный		да	да	≤
Частичный заказ	Рефлексивный	Антисимметричный	да		≤	Подмножество
Строгий частичный заказ	Нерефлексивный	Антисимметричный	да		<	Строгое подмножество
Общий заказ	Рефлексивный	Антисимметричный	да	да	≤	Алфавитный порядок
Строгий общий порядок	Нерефлексивный	Антисимметричный	да	да	<	Строгий алфавитный порядок
Отношение частичной эквивалентности		Симметричный	да
Отношение эквивалентности	Рефлексивный	Симметричный	да		∼, ≡	Равенство

Примеры

Порядковые отношения , в том числе строгие приказы :
- Больше чем
- Больше или равно
- Меньше, чем
- Меньше или равно
- Делит (равномерно)
- подмножеству из
Отношения эквивалентности :
- Равенство
- Параллельно с (для аффинных пространств )
- Находится в биекции с
- Изоморфный
Отношение толерантности , рефлексивное и симметричное отношение:
- Отношение зависимости, отношение конечной терпимости
- Отношение независимости , дополнение некоторого отношения зависимости
Родственные отношения

Смотрите также

Система рерайтинга аннотаций
Аддитивное отношение , многозначный гомоморфизм между модулями
Категория отношений , категория, имеющая множества как объекты и разнородные бинарные отношения как морфизмы.
Confluence (переписывание терминов) , обсуждает несколько необычных, но фундаментальных свойств бинарных отношений.
Соответствие (алгебраическая геометрия) , бинарное отношение, определяемое алгебраическими уравнениями
Диаграмма Хассе , графическое средство для отображения отношения порядка
Структура заболеваемости, неоднородное отношение между множеством точек и линий
Логика родственников , теория отношений Чарльза Сандерса Пирса
Теория порядка , исследует свойства отношений порядка.

Примечания

использованная литература

Библиография

Кодд, Эдгар Франк (1990). Реляционная модель для управления базами данных: версия 2 (PDF) . Бостон: Эддисон-Уэсли . ISBN 978-0201141924.
Эндертон, Герберт (1977). Элементы теории множеств . Бостон: Academic Press . ISBN 978-0-12-238440-0.
Килп, Мати; Кнауэр, Ульрих; Михалев, Александр (2000). Моноиды, акты и категории: с приложениями к сплетенным изделиям и графам . Берлин: Де Грюйтер . ISBN 978-3-11-015248-7.
Пирс, Чарльз Сандерс (1873). "Описание обозначения логики родственников, являющееся результатом обобщения представлений логического исчисления Буля" . Воспоминания Американской академии искусств и наук . 9 (2): 317–178. DOI : 10.2307 / 25058006 . hdl : 2027 / hvd.32044019561034 . JSTOR 25058006 . Проверено 5 мая 2020 .
Шмидт, Гюнтер (2010). Реляционная математика . Кембридж: Издательство Кембриджского университета . ISBN 978-0-521-76268-7.

Languages

In other projects