Класс эквивалентности - Equivalence class

${\ displaystyle a.}$

${\ displaystyle S.}$

${\ displaystyle S}$

${\ Displaystyle \, \ sim \ ,,}$

${\ Displaystyle S / \ sim.}$

Когда набор имеет некоторую структуру (например,

${\ displaystyle S}$

${\ Displaystyle \, \ sim \,}$

Примеры

• Если это множество всех автомобилей, и это

${\ displaystyle X}$

${\ Displaystyle L \ sim M}$

${\ displaystyle L}$

${\ displaystyle M}$

Определение и обозначения

Отношение эквивалентности на множестве является

${\ displaystyle X}$

${\ Displaystyle \, \ sim \,}$

${\ displaystyle X}$

• ${\ Displaystyle а \ сим а}$для всех (

${\ displaystyle a \ sim b}$

${\ displaystyle b \ sim c}$

${\ displaystyle a \ sim c}$

${\ displaystyle a, b, c \ in X}$

Класс эквивалентности элемента часто обозначается или определяется как набор элементов, к которым  относится слово «класс» в термине «класс эквивалентности», как правило, может рассматриваться как синоним слова «

${\ displaystyle a}$

${\ Displaystyle [а]}$

${\ displaystyle [а] _ {\ sim},}$

${\ Displaystyle \ {х \ в Х: а \ сим х \}}$

${\ displaystyle a}$

${\ displaystyle \, \ sim.}$

Множество всех классов эквивалентности относительно отношения эквивалентности обозначается как и называется

${\ displaystyle X}$

${\ displaystyle R}$

${\ Displaystyle х \ mapsto [х]}$

${\ displaystyle X}$

${\ displaystyle X / R,}$

Каждый элемент эквивалентного класса характеризует класс и может использоваться для его представления . Когда такой элемент выбран, его называют представителем класса. Выбор представителя в каждом классе определяет инъекцию от до

${\ Displaystyle X / R}$

${\ displaystyle X / R,}$

Иногда есть раздел, который более «естественен», чем другие. В этом случае представители называются каноническими представителями . Например, в модульной арифметике для каждого целого числа m, большего 1 , сравнение по модулю m является отношением эквивалентности целых чисел, для которых два целых числа a и b эквивалентны - в этом случае говорят, что конгруэнтны - если m делит это, Обозначенный Каждый класс содержит уникальное неотрицательное целое число, меньшее чем, и эти целые числа являются каноническими представителями. ${\ displaystyle ab;}$${\ textstyle a \ Equiv b {\ pmod {m}}.}$${\ displaystyle n,}$

Использование представителей для представления классов позволяет не рассматривать классы явно как множества. В этом случае каноническая сюръекция, отображающая элемент в его класс, заменяется функцией, которая отображает элемент в представителя своего класса. В предыдущем примере, эта функция обозначается и производит остаток от

${\ displaystyle a {\ bmod {m}},}$

Характеристики

Каждый элемент из является членом класса эквивалентности Каждый два классов эквивалентности и является либо равны , либо не

${\ displaystyle x}$

${\ displaystyle X}$

${\ displaystyle [x].}$

${\ Displaystyle [х]}$

${\ displaystyle [y]}$

${\ displaystyle X}$

${\ displaystyle X}$

${\ displaystyle X}$

${\ displaystyle X}$

${\ Displaystyle х \ сим у}$

${\ displaystyle x}$

${\ displaystyle y}$

Из свойств отношения эквивалентности следует, что

$${\ Displaystyle х \ сим у}$$

${\ displaystyle [x] = [y].}$

Другими словами, если - отношение эквивалентности на множестве и и являются двумя элементами, то эти утверждения эквивалентны: ${\ Displaystyle \, \ sim \,}$${\ displaystyle X,}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle y}$${\ displaystyle X,}$

• ${\ Displaystyle х \ сим у}$
• ${\ Displaystyle [х] = [у]}$
• ${\ displaystyle [x] \ cap [y] \ neq \ emptyset.}$

Графическое представление

График примерной эквивалентности с 7 классами

Неориентированный граф может быть связан с любым симметричными относительно на множестве , где вершины являются элементами и две вершины и соединены тогда и только тогда , когда Среди этих графов графики отношений эквивалентности; они характеризуются как графы, в которых

${\ displaystyle X,}$

${\ displaystyle X,}$

${\ displaystyle s}$

${\ displaystyle t}$

${\ displaystyle s \ sim t.}$

Инварианты

Если это отношение эквивалентности на и является свойством элементов таким образом, что всякий раз , когда это верно , если это верно, то свойство называется быть

${\ Displaystyle \, \ sim \,}$

${\ displaystyle X,}$

${\ Displaystyle P (x)}$

${\ displaystyle X}$

${\ displaystyle x \ sim y,}$

${\ Displaystyle P (x)}$

${\ Displaystyle P (y)}$

${\ displaystyle P}$

${\ Displaystyle \, \ sim \ ,,}$

${\ displaystyle \, \ sim.}$

Частный частный случай имеет место, когда является функцией из другого набора ; if каждый раз, когда then называется

${\ displaystyle f}$

${\ displaystyle X}$

${\ displaystyle Y}$

${\ Displaystyle е \ влево (х_ {1} \ вправо) = е \ влево (х_ {2} \ вправо)}$

${\ displaystyle x_ {1} \ sim x_ {2},}$

${\ displaystyle f}$

${\ Displaystyle \, \ sim \ ,,}$

${\ displaystyle \, \ sim.}$

${\ Displaystyle \, \ sim \,}$

${\ Displaystyle \, \ sim \,}$

${\ Displaystyle \, \ sim \,}$

Любая функция сам определяет отношение эквивалентности на в соответствии с которым , если и только если классом эквивалентности есть множество всех элементов , которые получают отображаются на то есть класс является

${\ displaystyle f: от X \ до Y}$

${\ displaystyle X}$

${\ displaystyle x_ {1} \ sim x_ {2}}$

${\ displaystyle f \ left (x_ {1} \ right) = f \ left (x_ {2} \ right).}$

${\ displaystyle x}$

${\ displaystyle X}$

${\ displaystyle f (x),}$

${\ Displaystyle [х]}$

${\ displaystyle f (x).}$

${\ displaystyle f.}$

В более общем смысле , функция может отображать эквивалентные аргументы ( в соответствии с отношением эквивалентности на ) до эквивалентных значений (по отношению эквивалентности на ). Такая функция является

${\ displaystyle \ sim _ {X}}$

${\ displaystyle X}$

${\ displaystyle \ sim _ {Y}}$

${\ displaystyle Y}$

Факторное пространство в топологии

В топологии , фактор - пространство является топологическим пространство формируется на множестве классов эквивалентности отношения эквивалентности на топологическом пространстве, используя топологию исходного пространства для создания топологии на множестве классов эквивалентности.

В абстрактной алгебре , конгруэнции отношение на основном наборе алгебры позволяет алгебре индуцировать алгебру на классах эквивалентности отношения, которое называется фактор - алгебра . В линейной алгебре , фактор - пространство является векторным пространство формируется, принимая фактор - группу , где факторный гомоморфизм является линейным отображением . В более широком смысле, в абстрактной алгебре термин фактор-пространство может использоваться для фактор-модулей , фактор-колец , фактор-групп или любой фактор-алгебры. Однако использование этого термина для более общих случаев может быть по аналогии с орбитами группового действия.

Орбиты действия группы на множестве можно назвать фактор-пространством действия на множестве, особенно когда орбиты действия группы являются правыми смежными классами подгруппы группы, которые возникают из действия подгруппы на множестве. группа при левом переносе или, соответственно, левые смежные классы как орбиты при правом переносе.

Нормальная подгруппа топологической группы, действующая на группу действием сдвига, является факторпространством одновременно в смысле топологии, абстрактной алгебры и групповых действий.

Хотя этот термин может использоваться для любого набора классов эквивалентности отношения эквивалентности, возможно, с дополнительной структурой, цель использования термина, как правило, состоит в том, чтобы сравнить этот тип отношения эквивалентности на множестве либо с отношением эквивалентности, которое индуцирует некоторую структуру на множестве классов эквивалентности от структуры того же вида на орбитах группового действия или на их орбитах. И смысл структуры, сохраняемой отношением эквивалентности, и изучение

${\ displaystyle X,}$

${\ displaystyle X,}$

Смотрите также

• Разделение эквивалентности , метод разработки наборов тестов при тестировании программного обеспечения, основанный на разделении возможных входных данных программы на классы эквивалентности в соответствии с поведением программы на этих входах.
• Однородное пространство , фактор-пространство групп Ли
• Отношение частичной эквивалентности  - математическая концепция для сравнения объектов
• Фактор по отношению эквивалентности
• Трансверсаль (комбинаторика)  - линия, пересекающая систему линий.

Примечания

использованная литература

• Авельсгаард, Кэрол (1989), Основы высшей

дальнейшее чтение

• Сандстрем (2003), Математическое мышление: написание и доказательство , Прентис-Холл
• Смит; Эгген; Святой Андрей (2006), Переход к высшей математике (6-е изд.), Томсон (Брукс / Коул)
• Шумахер, Кэрол (1996), Глава Zero: Основные понятия абстрактной математики , Addison-Wesley, ISBN 0-201-82653-4
• О'Лири (2003), Структура доказательства: с логикой и теорией множеств , Прентис-Холл
• Lay (2001), Анализ с введением в доказательство , Prentice Hall
• Мораш, Рональд П. (1987), Мост к абстрактной математике , Random House, ISBN 0-394-35429-X
• Гилберт; Ванстон (2005), Введение в математическое мышление , Пирсон Прентис-Холл
• Флетчер; Пэтти, Основы высшей математики , PWS-Kent
• Иглевич; Стойл, Введение в математические рассуждения , Макмиллан
• Д'Анджело; Уэст (2000), Математическое мышление: решение проблем и доказательства , Прентис Холл
• Купиллари , Гайки и болты доказательств , Уодсворт
• Бонд, Введение в абстрактную математику , Брукс / Коул
• Барнье; Фельдман (2000), Введение в высшую математику , Прентис Холл
• Эш, Учебник по абстрактной математике , MAA

внешние ссылки

• СМИ, связанные с классами эквивалентности на Викискладе?