Поле классов Гильберта - Hilbert class field

В теории алгебраических чисел , то Гильберт поле класса Е из числового поля К является максимальная абелева неразветвлено расширение K . Его степень над K равняется число классов K и группа Галуа из Е над К канонический изоморфно идеально группам классов из K с использованием фробениусовыми элементов для простых идеалов в K .

В этом контексте, класс поле Гильберта K не только неразветвлен на конечных точках (классический идеал теоретико интерпретации) , но и в бесконечных местах K . То есть, каждое реальное вложение из K продолжается до реального вложения Е (а не к сложному вложению Е ).

Примеры

• Если кольцо целых чисел K является уникальной областью факторизации , в частности, если , то K является собственным полем классов Гильберта. ${\ Displaystyle К = \ mathbb {Q}}$
• Пусть дискриминант . Поле имеет дискриминант и, следовательно, является всюду неразветвленным расширением поля K , и оно абелево. Используя границу Минковского , можно показать, что K имеет класс номер 2. Следовательно, его поле классов Гильберта равно . Неглавным идеалом K является (2, (1+ √ −15 ) / 2), и в L он становится главным идеалом ((1+ √ 5 ) / 2). ${\ Displaystyle К = \ mathbb {Q} ({\ sqrt {-15}})}$${\ displaystyle -15}$${\ displaystyle L = \ mathbb {Q} ({\ sqrt {-3}}, {\ sqrt {5}})}$${\ displaystyle 225 = (- 15) ^ {2}}$${\ displaystyle L}$
• Поле имеет класс номер 3. Его поле классов Гильберта может быть сформировано путем присоединения корня из x ³ - x - 1, имеющего дискриминант -23. ${\ displaystyle \ mathbb {Q} ({\ sqrt {-23}})}$
• Чтобы понять , почему ветвление в архимедовых простых чисел должно быть принято во внимание, рассмотрят реальный квадратичное поле K , полученный присоединение квадратного корня из 3 в Q . Это поле имеет класс номер 1 и дискриминант 12, но расширение K ( i ) / K дискриминанта 9 = 3 ² не разветвляется на всех простых идеалах в K , поэтому K допускает конечные абелевы расширения степени выше 1, в которых все конечные простые числа из K неразветвлены. Это не противоречит тому, что поле классов Гильберта для K является самим K : каждое собственное конечное абелево расширение K должно ветвиться в каком-то месте, а в расширении K ( i ) / K существует ветвление в архимедовых местах: реальные вложения K распространяется на комплексные (а не на вещественные) вложения K ( i ).
• Согласно теории комплексного умножения , поле классов Гильберта мнимого квадратичного поля порождается значением эллиптической модулярной функции в генераторе кольца целых чисел (как Z -модуль).

История

Существование (узкого) поля классов Гильберта для данного числового поля K было предположено Дэвидом Гильбертом  ( 1902 г. ) и доказано Филиппом Фуртвенглером . Существование поля классов Гильберта является ценным инструментом для изучения структуры идеальной группы классов данного поля.

Дополнительные свойства

Поле классов Гильберта E также удовлетворяет следующему:

• Е является конечным Галуа расширения из K и [ E  : K ] = ч _K , где ч _К является число классов из K .
• Группа классов идеалов из К является изоморфной к группе Галуа из Е над К .
• Каждый идеал из O _K продолжается до главного идеала расширения кольца O _E ( основная теорема идеально подходит ).
• Каждый простой идеал Р из O _K разлагается в произведение ч _K / F простых идеалов в O _E , где F является порядком из [ P ] в идеальных группы классов O _K .

Фактически, E - единственное поле, удовлетворяющее первому, второму и четвертому свойствам.

Явные конструкции

Если K является мнимым квадратичным и является эллиптическим кривым с комплексным умножением на кольце целых чисел из К , то примыкающему к j-инвариант от А до К дает поле класса Гильберта.

Обобщения

В теории поля классов изучается поле классов лучей по заданному модулю , которое является формальным произведением простых идеалов (включая, возможно, архимедовы). Поле классов лучей - это максимальное абелево расширение, не разветвленное за пределами простых чисел, делящих модуль, и удовлетворяющее определенному условию ветвления на простых числах, делящих модуль. Поле классов Гильберта тогда является полем классов лучей относительно тривиального модуля 1 .

Поле узкий класс является полем лучевых классов по отношению к модулю , состоящей из всех бесконечных простых чисел. Например, приведенный выше аргумент показывает, что это узкое поле класса . ${\ Displaystyle \ mathbb {Q} ({\ sqrt {3}}, я)}$${\ displaystyle \ mathbb {Q} ({\ sqrt {3}})}$

Примечания

Рекомендации

• Чайлдресс, Нэнси (2009), теория поля классов , Нью-Йорк: Springer , DOI : 10.1007 / 978-0-387-72490-4 , ISBN   978-0-387-72489-8 , Руководство по ремонту   2462595
• Фуртвенглер, Филипп (1906), "Allgemeiner Existenzbeweis für ден Klassenkörper Эйнес beliebigen algebraischen Zahlkörpers" , Mathematische Annalen , 63 (1): 1-37, DOI : 10.1007 / BF01448421 , СУЛ   37.0243.02 , МР   1511392 , извлекаются 2009-08- 21 год
• Гильберта, Дэвид (1902) [1898], "Убер умереть Теорье дер-relativ Zahlkörper абелевых", Acta Mathematica , 26 (1): 99-131, DOI : 10.1007 / BF02415486
• Дж. С. Милн, Теория поля классов (заметки к курсу доступны на http://www.jmilne.org/math/ ). См. Главу «Введение» в примечаниях, особенно стр. 4.
• Сильверман, Джозеф Х. (1994), Дополнительные темы по арифметике эллиптических кривых , Тексты для выпускников по математике , 151 , Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN   978-0-387-94325-1
• Гра, Жорж (2005), Теория поля классов: от теории к практике , Нью-Йорк: Springer

Эта статья включает материал из поля Existence of Hilbert class на PlanetMath , которое находится под лицензией Creative Commons Attribution / Share-Alike License .