Алгебраическая K -теория -Algebraic K-theory

Алгебраические К -теория является предметной области в области математики со связями к геометрии , топологии , теории колец и теории чисел . Геометрическим, алгебраическим и арифметическим объектам присваиваются объекты, называемые K -группами. Это группы в смысле абстрактной алгебры . Они содержат подробную информацию об исходном объекте, но, как известно, их сложно вычислить; например, важной нерешенной проблемой является вычисление K -групп целых чисел .

K -теория была изобретена в конце 1950-х годов Александром Гротендиком в его исследовании теории пересечений на алгебраических многообразиях . На современном языке Гротендик определил только K ₀ , нулевую K -группу, но даже у этой единственной группы есть множество приложений, таких как теорема Гротендика – Римана – Роха . Теория пересечений по-прежнему является движущей силой в развитии (высшей) алгебраической K- теории благодаря ее связям с мотивационными когомологиями и, в частности, с группами Чжоу . Предмет также включает классические теоретико-числовые темы, такие как квадратичная взаимность и вложения числовых полей в действительные числа и комплексные числа , а также более современные проблемы, такие как построение высших регуляторов и специальных значений L- функций .

Первыми были открыты нижние K -группы в том смысле, что были найдены адекватные описания этих групп в терминах других алгебраических структур. Например, если F - поле , то K ₀ ( F ) изоморфно целым числам Z и тесно связано с понятием размерности векторного пространства . Для коммутативного кольца R , группа K ₀ ( R ) связана с группой Пикара из R , и когда R является кольцом целых чисел в числовом поле, это обобщает классическую конструкцию из группы классов . Группа K ₁ ( R ) тесно связана с группой единиц R ^× , и если R является полем, это в точности группа единиц. Для числового поля F группа K ₂ ( F ) связана с теорией полей классов , символом Гильберта и разрешимостью квадратных уравнений над пополнениями. Напротив, нахождение правильного определения высших K -групп колец было трудным достижением Дэниела Квиллена , и многие из основных фактов о высших K -группах алгебраических многообразий не были известны до работы Роберта Томасона .

История

История K -теории подробно описана Чарльзом Вейбелем .

Группа Гротендика K ₀

В XIX веке Бернхард Риман и его ученик Густав Рох доказали то, что сейчас известно как теорема Римана – Роха . Если X - риманова поверхность, то множества мероморфных функций и мероморфных дифференциальных форм на X образуют векторные пространства. Линейное расслоение на X определяет подпространства этих векторных пространств, и если X проективен, то эти подпространства конечномерны. Риман-Рох теорема утверждает , что разница в размерах между этими подпространствами равна степенью расслоения (мерой закрученности) плюс один минус рода X . В середине 20 века теорема Римана – Роха была обобщена Фридрихом Хирцебрухом на все алгебраические многообразия. В формулировке Хирцебруха, теорема Хирцебруха – Римана – Роха , теорема стала утверждением об эйлеровых характеристиках : эйлерова характеристика векторного расслоения на алгебраическом многообразии (которая представляет собой знакопеременную сумму размерностей его групп когомологий) равна эйлеровой характеристике тривиального расслоения плюс поправочный коэффициент, полученный из характеристических классов векторного расслоения. Это обобщение, потому что на проективной римановой поверхности эйлерова характеристика линейного расслоения равна разнице в размерах, упомянутой ранее, эйлерова характеристика тривиального расслоения равна единице минус род, а единственный нетривиальный характеристический класс - это степень.

Предмет K -теории получил свое название от конструкции Александра Гротендика 1957 года, которая появилась в теореме Гротендика – Римана – Роха , его обобщении теоремы Хирцебруха. Пусть X - гладкое алгебраическое многообразие. Каждому векторному расслоению на X Гротендик ставит в соответствие инвариант - его класс . Множество всех классов на X было названо K ( X ) из немецкого Klasse . По определению K ( X ) - фактор свободной абелевой группы на классах изоморфизма векторных расслоений на X , а значит, это абелева группа. Если базисный элемент, соответствующий векторному расслоению V , обозначить [ V ], то для каждой короткой точной последовательности векторных расслоений:

${\ Displaystyle 0 \ к V '\ к V \ к V' '\ к 0,}$

Гротендик ввел соотношение [ V ] = [ V ′ ] + [ V ″ ] . Эти генераторы и отношения определяют K ( X ), и они подразумевают, что это универсальный способ назначать инварианты векторным расслоениям способом, совместимым с точными последовательностями.

Гротендик придерживался точки зрения, согласно которой теорема Римана – Роха является утверждением о морфизмах многообразий, а не о самих многообразиях. Он доказал , что существует гомоморфизм из K ( X ) к группам Ch из X , поступающей от характера Черен и Тодд класса из X . Кроме того, он доказал, что собственный морфизм f  : X → Y к гладкому многообразию Y определяет гомоморфизм f *  : K ( X ) → K ( Y ), называемый прямым вызовом . Это дает два способа определения элемента в группе Чоу Y из векторного расслоения на X : начиная с X , можно сначала вычислить продвижение вперед в K -теории, а затем применить характер Черна и класс Тодда Y , или можно сначала примените характер Черна и класс Тодда для X, а затем вычислите прямой ход для групп Чоу. Теорема Гротендика – Римана – Роха утверждает, что они равны. Когда Y - точка, векторное расслоение - это векторное пространство, класс векторного пространства - это его размерность, а теорема Гротендика – Римана – Роха специализируется на теореме Хирцебруха.

Группа K ( X ) теперь известна как K ₀ ( X ). После замены векторных расслоений проективными модулями K ₀ также стал определен для некоммутативных колец, где он имел приложения к представлениям групп . Атья и Хирцебрух быстро перенесли конструкцию Гротендика в топологию и использовали ее для определения топологической K-теории . Топологическая K -теория была одним из первых примеров необычной теории когомологий : она связывает с каждым топологическим пространством X (удовлетворяющим некоторым мягким техническим ограничениям) последовательность групп K _n ( X ), которые удовлетворяют всем аксиомам Эйленберга – Стинрода, кроме нормализации аксиома. Однако определение алгебраических многообразий гораздо более жесткое, а гибкие конструкции, используемые в топологии, были недоступны. В то время как группа K _0, казалось, удовлетворяла необходимым свойствам, чтобы быть началом теории когомологий алгебраических многообразий и некоммутативных колец, четкого определения высшего K _n ( X ) не существовало . Даже когда такие определения были разработаны, технические проблемы, связанные с ограничениями и склейкой, обычно вынуждали определять K _n только для колец, а не для разновидностей.

К ₀ , К ₁ и К ₂

Хотя изначально это не было известно, группа, связанная с K _1, уже была представлена ​​в другом контексте. Анри Пуанкаре попытался определить числа Бетти многообразия в терминах триангуляции. Однако в его методах был серьезный пробел: Пуанкаре не мог доказать, что две триангуляции многообразия всегда дают одни и те же числа Бетти. Совершенно очевидно, что числа Бетти не изменились при разбиении триангуляции, и поэтому было ясно, что любые две триангуляции, которые имеют общее подразделение, имеют одинаковые числа Бетти. Что было неизвестно, так это то, что любые две триангуляции допускали общее подразделение. Эта гипотеза стала гипотезой, известной как Hauptvermutung (примерно «основная гипотеза»). Тот факт, что триангуляции устойчивы при подразделении, побудил Дж. Х. К. Уайтхеда ввести понятие простого гомотопического типа . Простая гомотопическая эквивалентность определяется в терминах добавления симплексов или клеток к симплициальному комплексу или клеточному комплексу таким образом, что каждый дополнительный симплекс или деформация клетки втягиваются в подразделение старого пространства. Частично мотивация для этого определения состоит в том, что подразделение триангуляции является простым гомотопическим эквивалентом исходной триангуляции, и поэтому две триангуляции, которые имеют общее подразделение, должны быть простым гомотопическим эквивалентом. Уайтхед доказал, что простая гомотопическая эквивалентность является более тонким инвариантом, чем гомотопическая эквивалентность, путем введения инварианта, называемого кручением . Кручение гомотопической эквивалентности принимает значения в группе, которая теперь называется группой Уайтхеда и обозначается Wh ( π ), где π - фундаментальная группа двух комплексов. Уайтхед нашел примеры нетривиального кручения и тем самым доказал, что некоторые гомотопические эквивалентности непросты. Через группа Уайтхед была обнаружена быть фактором K ₁ ( Z П ), где Z π является интегралом группового кольцом из П . Позже Джон Милнор использовал кручение Рейдемейстера , инвариант, связанный с кручением Уайтхеда, чтобы опровергнуть Hauptvermutung.

Первое адекватное определение K ₁ кольца было сделано Хайманом Бассом и Стивеном Шануэлем . В топологической K -теории K ₁ определяется с помощью векторных расслоений на надстройке пространства. Все такие векторные расслоения происходят из конструкции сцепления , когда два тривиальных векторных расслоения на двух половинах пространства склеиваются по общей полосе пространства. Эти данные склейки выражаются с использованием общей линейной группы , но элементы этой группы, происходящие из элементарных матриц (матриц, соответствующих элементарным операциям со строками или столбцами), определяют эквивалентные склейки. Исходя из этого, определение Басса – Шенуэля для K ₁ кольца R имеет вид GL ( R ) / E ( R ) , где GL ( R ) - бесконечная общая линейная группа (объединение всех GL _n ( R )) и E ( R ) - подгруппа элементарных матриц. Они также дали определение K ₀ гомоморфизма колец и доказали, что K ₀ и K ₁ могут быть помещены вместе в точную последовательность, аналогичную точной последовательности относительной гомологии.

Работа в K -теория этого периода достиг кульминации в книге Басса Алгебраическая K -теория . В дополнение к последовательному изложению известных на тот момент результатов, Басс улучшил многие формулировки теорем. Особо следует отметить, что Басс, основываясь на своей более ранней работе с Мерти, предоставил первое доказательство того, что теперь известно как фундаментальная теорема алгебраической K- теории . Это четыре перспективы точная последовательность , относящаяся К ₀ кольцевому R на K _- из R , кольцо многочленов R [ т ], и локализация R [ т , т ^-1 ]. Басс признал, что эта теорема полностью описывает K ₀ в терминах K ₁ . Применяя это описание рекурсивно, он произвел отрицательные K -группы K _−n ( R ). В независимой работе Макс Каруби дал другое определение отрицательных K -групп для определенных категорий и доказал, что его определения дают те же самые группы, что и Басса.

Следующим важным достижением в этой области стало определение K ₂ . Стейнберг изучил универсальные центральные расширения группы Шевалле над полем и дал явное представление этой группы в терминах образующих и соотношений. В случае группы E _n ( k ) элементарных матриц универсальное центральное расширение теперь записывается как St _n ( k ) и называется группой Стейнберга . Весной 1967 года Джон Милнор определил K ₂ ( R ) как ядро ​​гомоморфизма St ( R ) → E ( R ) . Группа K ₂ расширила некоторые точные последовательности, известные для K ₁ и K ₀ , и нашла поразительные приложения в теории чисел. Хайдей Мацумото «s 1968 тезиса показал , что для поля Р , К ₂ ( F ) был изоморфно:

${\ Displaystyle F ^ {\ times} \ otimes _ {\ mathbf {Z}} F ^ {\ times} / \ langle x \ otimes (1-x) \ двоеточие x \ in F \ setminus \ {0,1 \ } \ rangle.}$

Этому соотношению также удовлетворяет символ Гильберта , который выражает разрешимость квадратных уравнений над локальными полями . В частности, Джон Тейт смог доказать, что K ₂ ( Q ) по существу построена вокруг закона квадратичной взаимности .

Высшие K -группы

В конце 1960-х - начале 1970-х годов было предложено несколько определений высшей K- теории . Свон и Герстен дали определения K _n для всех n , и Герстен доказал, что его теории и теории Свана эквивалентны, но не было известно, что эти две теории удовлетворяют всем ожидаемым свойствам. Нобиле и Вильямайор также предложили определение высших K -групп. Каруби и Вильямайор определили K -группы с хорошим поведением для всех n , но их эквивалент K ₁ иногда был собственным фактором Bass – Schanuel K ₁ . Их K -группы теперь называются KV _n и связаны с гомотопически-инвариантными модификациями K -теории.

Отчасти вдохновленный теоремой Мацумото, Милнор дал определение высших K -групп поля. Он называл свое определение «чисто специальным », и оно не казалось ни обобщающим для всех колец, ни правильным определением высшей K -теории полей. Много позже Нестеренко, Суслин и Тотаро обнаружили, что K- теория Милнора на самом деле является прямым слагаемым истинной K- теории поля. В частности, K -группы имеют фильтрацию, называемую весовой фильтрацией , а K -теория поля Милнора является высшей градуированной по весу частью K -теории. Кроме того, Томасон обнаружил, что не существует аналога K- теории Милнора для общего разнообразия.

Первое определение высшей K- теории, получившее широкое признание, было дано Дэниелом Квилленом . В рамках работы Квиллена над гипотезой Адамса в топологии он построил отображения классифицирующих пространств BGL ( F _q ) в гомотопический слой ψ ^q - 1 , где ψ ^q - q- я операция Адамса, действующая на классифицирующем пространстве BU . Эта карта является ациклической, и после небольшого изменения BGL ( F _q ) для создания нового пространства BGL ( F _q ) ⁺ карта стала гомотопической эквивалентностью. Эта модификация получила название плюсовой конструкции . Было известно, что операции Адамса связаны с классами Черна и K -теорией со времен работы Гротендика, и поэтому Квиллен был вынужден определить K- теорию R как гомотопические группы BGL ( R ) ⁺ . Это не только восстановило K ₁ и K ₂ , но и связь K -теории с операциями Адамса позволила Квиллену вычислить K -группы конечных полей.

Классифицирующее пространство BGL подключено, поэтому определение Квиллена не дает правильного значения для K ₀ . Кроме того, он не дал отрицательных K -групп. Поскольку у K ₀ было известное и общепринятое определение, эту трудность можно было обойти, но это оставалось технически неудобным. Концептуально проблема заключалась в том, что определение возникло из GL , который классически являлся источником K ₁ . Поскольку GL знает только о склейке векторных расслоений, а не о самих векторных расслоениях, было невозможно описать K ₀ .

Вдохновленный беседами с Квилленом, Сигал вскоре представил другой подход к построению алгебраической K- теории под названием Γ-объектов. Подход Сигала является гомотопическим аналогом конструкции K ₀ Гротендика . Если Гротендик работал с классами изоморфизма связок, Сигал работал с самими связками и использовал изоморфизмы связок как часть своих данных. Это приводит к спектру , гомотопические группы которого являются высшими K -группами (включая K ₀ ). Однако подход Сигала был способен наложить соотношения только для точных последовательностей, а не для общих точных последовательностей. В категории проективных модулей над кольцом каждая короткая точная последовательность расщепляется, и поэтому Γ-объекты могут использоваться для определения K -теории кольца. Однако в категории векторных расслоений на многообразии и в категории всех модулей над кольцом есть нерасщепляемые короткие точные последовательности, поэтому подход Сигала применим не ко всем интересующим случаям.

Весной 1972 года Квиллен нашел другой подход к построению высшей K- теории, который оказался чрезвычайно успешным. Это новое определение началось с точной категории , категории, удовлетворяющей определенным формальным свойствам, аналогичным, но немного более слабым, чем свойства, которым удовлетворяет категория модулей или векторных расслоений. Из этого он построил вспомогательную категорию с помощью нового устройства под названием его « Q -строительство .» Подобно Γ-объектам Сигала, Q-конструкция уходит корнями в определение K ₀ , данное Гротендиком . Однако, в отличие от определения Гротендика, Q -конструкция строит категорию, а не абелеву группу, и, в отличие от Γ-объектов Сигала, Q-конструкция работает непосредственно с короткими точными последовательностями. Если С является абелевой категорией, то КК является категорией с теми же объектами , как C , но чьи морфизмы определены в терминах коротких точных последовательностей в С . K -группа точной категории являются гомотопическими группами Ома BQC , в пространстве петель в геометрической реализации (принимая пространство петель корректируют индексирование). Квиллен дополнительно доказал свою « теорему + = Q », что два его определения K -теории согласуются друг с другом. Это дало правильное K ₀ и привело к более простым доказательствам, но все же не дало никаких отрицательных K -групп.

Все абелевы категории являются точными категориями, но не все точные категории абелевы. Поскольку Квиллен мог работать в этой более общей ситуации, он мог использовать точные категории в качестве инструментов в своих доказательствах. Эта техника позволила ему доказать многие основные теоремы алгебраической K -теории. Кроме того, было возможно доказать, что более ранние определения Свона и Герстена были эквивалентны определениям Квиллена при определенных условиях.

K -теория теперь оказалась теорией гомологий колец и теорией когомологий многообразий. Однако многие из его основных теорем содержали гипотезу о регулярности рассматриваемого кольца или многообразия. Одним из основных ожидаемых отношений была длинная точная последовательность ( так называемый «локализация последовательности») , связывающее K -теория многообразия X и открытое подмножество U . Квиллену не удалось полностью доказать существование последовательности локализации. Однако он смог доказать его существование для связанной теории, называемой G- теорией (или иногда K '-теорией). G -теория была определена на ранних этапах развития предмета Гротендиком. Гротендик определил G ₀ ( X ) для многообразия X как свободную абелеву группу на классах изоморфизма когерентных пучков на X по модулю отношений, возникающих из точных последовательностей когерентных пучков. В категориальной структуре, принятой более поздними авторами, K -теория многообразия - это K- теория своей категории векторных расслоений, а ее G -теория - это K -теория своей категории когерентных пучков. Квиллен смог не только доказать существование точной последовательности локализации для G -теории, он смог доказать, что для регулярного кольца или многообразия K -теория равна G -теории, и, следовательно, K -теория регулярных многообразий имеет точную последовательность локализации. Поскольку эта последовательность была фундаментальной для многих фактов по предмету, гипотезы регулярности пронизывали ранние работы над высшей K- теорией.

Приложения алгебраической K -теории в топологии

Самым ранним приложением алгебраической K -теории к топологии было построение Уайтхедом кручения Уайтхеда. Близкая конструкция была найдена CTC Wall в 1963 году. Уолл обнаружил, что пространство π, в котором доминирует конечный комплекс, имеет обобщенную эйлерову характеристику, принимающую значения в частном от K ₀ ( Z π ), где π - фундаментальная группа пространства . Этот инвариант называется препятствием конечности Уолла, потому что X гомотопически эквивалентно конечному комплексу тогда и только тогда, когда инвариант обращается в нуль. Лоран Зибенманн в своей диссертации нашел инвариант, аналогичный инварианту Уолла, который препятствует тому, чтобы открытое многообразие было внутренностью компактного многообразия с краем. Если два многообразия с краем M и N имеют изоморфные интерьеров (в ТОП, PL, или DIFF соответственно), то изоморфизм между ними определяет ч -cobordism между M и N .

Кручение Уайтхеда в конечном итоге было переосмыслено в более прямом К- теоретическом смысле. Это переосмысление произошло благодаря изучению h- кобордизмов . Два n -мерных многообразия M и N являются h -кобордантными, если существует ( n + 1) -мерное многообразие с краем W , край которого является несвязным объединением M и N и для которого включения M и N в W гомотопически эквивалентности (в категориях TOP, PL или DIFF). Теорема Стивена Смейла о h- кобордизме утверждает, что если n ≥ 5 , W компактно, а M , N и W односвязны, то W изоморфен цилиндру M × [0, 1] (в TOP, PL, или DIFF в зависимости от ситуации). Эта теорема доказала гипотезу Пуанкаре для n ≥ 5 .

Если M и N не предполагаются односвязными, то h -кобордизм не обязательно должен быть цилиндром. Теорема о s- кобордизме, независимо от Мазура, Столлингса и Бардена, объясняет общую ситуацию: h -кобордизм является цилиндром тогда и только тогда, когда кручение Уайтхеда включения M ⊂ W обращается в нуль. Это обобщает теорему о h- кобордизме, поскольку из простых гипотез связности следует, что соответствующая группа Уайтхеда тривиальна. Фактически из теоремы о s- кобордизме следует, что существует биективное соответствие между классами изоморфизмов h -кобордизмов и элементами группы Уайтхеда.

Очевидный вопрос, связанный с существованием h -кобордизмов, - это их единственность. Естественное понятие эквивалентности - изотопия . Жан Серф доказал, что для односвязных гладких многообразий M размерности не менее 5 изотопия h -кобордизмов - это то же самое, что и более слабое понятие, называемое псевдоизотопией. Хэтчер и Вагонер изучили компоненты пространства псевдоизотопий и связали его с фактором K ₂ ( Z π ).

Правильный контекст для теоремы о s- кобордизме - это классифицирующее пространство h -кобордизмов. Если М является САТ многообразие, то Н ^CAT ( М ) представляет собой пространство , которое классифицирует пучки ч -cobordisms на М . Теорема о s- кобордизме может быть переинтерпретирована как утверждение, что множество компонент связности этого пространства является группой Уайтхеда π ₁ ( M ). Это пространство содержит строго больше информации, чем группа Уайтхеда; например, связная компонента тривиального кобордизма описывает возможные цилиндры на M и, в частности, является препятствием к единственности гомотопии между многообразием и M × [0, 1] . Рассмотрение этих вопросов привело Вальдхаузена к введению своей алгебраической K -теории пространств. Алгебраическая К -теория М является пространство ( М ) , которая определяется таким образом , что она играет по существу той же роль , что для высших К -группам как K ₁ ( Z тг ₁ ( М )) делает для M . В частности, Вальдхаузен показал, что существует отображение из A ( M ) в пространство Wh ( M ), которое обобщает отображение K ₁ ( Z π ₁ ( M )) → Wh ( π ₁ ( M )) и гомотопический слой которого имеет вид теория гомологии.

Чтобы полностью развить A- теорию, Вальдхаузен добился значительного технического прогресса в основах K- теории . Waldhausen представил Вальдхаузен категорию , а для категории Вальдхаузен C он ввел симплициальную категорию S _⋅ C ( S для Segal) определяется в терминах цепей корасслоений в C . Это освободило основы K- теории от необходимости прибегать к аналогам точных последовательностей.

Алгебраическая топология и алгебраическая геометрия в алгебраической K -теории

Квиллен предложил своему ученику Кеннет Браун , что можно было бы создать теорию пучков из спектров которых K -теория обеспечили бы пример. Пучок спектров K -теории будет ассоциировать с каждым открытым подмножеством многообразия K- теорию этого открытого подмножества. Браун разработал такую ​​теорию для своей диссертации. Одновременно с этим у Герстена возникла та же идея. На конференции в Сиэтле осенью 1972 года они вместе обнаружили спектральную последовательность, сходящуюся от когомологий пучка пучка K _n -групп на X к K -группе тотального пространства. Теперь это называется спектральной последовательностью Брауна – Герстена . ${\ displaystyle {\ mathcal {K}} _ {n}}$

Спенсер Блох , под влиянием работы Герстена на пучков K -групп, доказано , что на регулярной поверхности, группа когомологий изоморфна Чоу группы CH ² ( X ) коразмерности 2 циклов на X . Вдохновленный этим, Герстена высказал предположение , что для регулярного локального кольца R с Фракцию поля F , K _н ( R ) впрыскивает в K _н ( F ) для всех п . Вскоре Квиллен доказал, что это верно, когда R содержит поле, и, используя это, он доказал, что ${\ Displaystyle Н ^ {2} (Х, {\ mathcal {K}} _ {2})}$

${\ displaystyle H ^ {p} (X, {\ mathcal {K}} _ {p}) \ cong \ operatorname {CH} ^ {p} (X)}$

для всех р . Это известно как формула Блоха . Хотя с тех пор в гипотезе Герстена был достигнут прогресс, общий случай остается открытым.

Лихтенбаум предположил, что специальные значения дзета-функции числового поля могут быть выражены через K -группы кольца целых чисел поля. Было известно, что эти особые значения связаны с этальными когомологиями кольца целых чисел. Поэтому Квиллен обобщил гипотезу Лихтенбаума, предсказав существование спектральной последовательности, подобной спектральной последовательности Атьи – Хирцебруха в топологической K -теории. Предлагаются спектральная последовательность Квиллена бы начать с этальными когомологий кольца R , а в достаточно высокой степени , и после завершения в отличном л обратит в R , примыкает к л -адическому завершению К -теории R . В случае, изученном Лихтенбаумом, спектральная последовательность вырождается, что приводит к гипотезе Лихтенбаума.

Необходимость локализации в простом l подсказала Браудеру, что должен существовать вариант K -теории с конечными коэффициентами. Он ввел группы K _n ( R ; Z / l Z ) с K- теорией, которые были Z / l Z -векторными пространствами, и нашел аналог элемента Ботта в топологической K -теории. Соул использовал эту теорию для построения «этальных классов Черна », аналог топологических классов Черна, которые преобразовали элементы алгебраической K- теории в классы этальных когомологий . В отличие от алгебраической K -теории, этальные когомологии хорошо вычислимы, поэтому этальные классы Черна предоставили эффективный инструмент для обнаружения существования элементов в K- теории. Затем Уильям Дж. Дуайер и Эрик Фридлендер изобрели аналог K -теории для этальной топологии, названный этальной K- теорией. Для многообразий, определенных над комплексными числами, этальная K -теория изоморфна топологической K -теории. Более того, этальная K -теория допускает спектральную последовательность, аналогичную той, которую предположил Квиллен. Примерно в 1980 году Томасон доказал, что после обращения ботта алгебраическая K -теория с конечными коэффициентами стала изоморфной этальной K -теории.

На протяжении 1970-х и начала 1980-х K -теория единичных многообразий все еще не имела адекватных оснований. Хотя считалось, что K- теория Квиллена дает правильные группы, не было известно, обладают ли эти группы всеми предполагаемыми свойствами. Для этого пришлось переформулировать алгебраическую K- теорию. Это было сделано Томасоном в длинной монографии, которую он приписал своему мертвому другу Томасу Тробо, который, по его словам, дал ему ключевую идею во сне. Томасон объединил построение K -теории Вальдхаузена с основами теории пересечений, описанными в шестом томе « Семинарии геометрии в Альжебрике дю Буа Мари» Гротендика . Там K ₀ описывалось в терминах комплексов пучков на алгебраических многообразиях. Томасон обнаружил, что если работать с производной категорией пучков, существует простое описание того, когда комплекс пучков может быть расширен от открытого подмножества разнообразия до всего многообразия. Применив конструкцию K -теории Вальдхаузена к производным категориям, Томасон смог доказать, что алгебраическая K- теория обладает всеми ожидаемыми свойствами теории когомологий.

В 1976 году Кейт Деннис открыл совершенно новую технику вычисления K- теории, основанную на гомологии Хохшильда . Это было основано на существовании отображения следов Денниса, гомоморфизма от K -теории к гомологиям Хохшильда. В то время как карта следов Денниса казалась успешной для вычислений K -теории с конечными коэффициентами, она была менее успешной для рациональных вычислений. Гудвилли, мотивированный своим «исчислением функторов», предположил существование теории, промежуточной между K- теорией и гомологиями Хохшильда. Он назвал эту теорию топологическими гомологиями Хохшильда, потому что ее основное кольцо должно быть сферным спектром (рассматриваемым как кольцо, операции которого определены только с точностью до гомотопии). В середине 1980-х Бокстедт дал определение топологических гомологий Хохшильда, которое удовлетворяло почти всем гипотетическим свойствам Гудвилли, и это сделало возможным дальнейшие вычисления K -групп. Версия Бокстедта карты следов Денниса была преобразованием спектров K → THH . Это преобразование учитывало неподвижные точки действия окружности на THH , что предполагало связь с циклическими гомологиями . В ходе доказательства алгебраической K -теории аналога гипотезы Новикова Бокстедт, Сян и Мадсен ввели топологические циклические гомологии, которые имеют такое же отношение к топологическим гомологиям Хохшильда, как циклические гомологии к гомологиям Хохшильда. Карта трассировки Денниса с топологическими факторами гомологии Хохшильда посредством топологической циклической гомологии обеспечивает еще более подробный инструмент для вычислений. В 1996 году Дандас, Гудвилли и Маккарти доказали, что топологические циклические гомологии имеют в точном смысле ту же локальную структуру, что и алгебраическая K -теория, так что, если возможно вычисление в K- теории или топологических циклических гомологиях, то возможно множество других "близких" "расчеты следуют.

Нижние K -группы

Первыми были открыты нижние K -группы, которым были даны различные специальные описания, которые остаются полезными. Пусть A - кольцо .

К ₀

Функтор K ₀ переводит кольцо A в группу Гротендика множества классов изоморфизма его конечно порожденных проективных модулей , рассматриваемых как моноид относительно прямой суммы. Любой гомоморфизм колец A → B дает отображение K ₀ ( A ) → K ₀ ( B ), отображая (класс) проективный A -модуль M в M ⊗ _A B , делая K ₀ ковариантным функтором.

Если кольцо A коммутативно, мы можем определить подгруппу в K ₀ ( A ) как множество

${\ displaystyle {\ tilde {K}} _ {0} \ left (A \ right) = \ bigcap \ limits _ {{\ mathfrak {p}} {\ text {простой идеал}} A} \ mathrm {Ker } \ dim _ {\ mathfrak {p}},}$

куда :

${\ displaystyle \ dim _ {\ mathfrak {p}}: K_ {0} \ left (A \ right) \ to \ mathbf {Z}}$

- это отображение, переводящее каждый (класс a) конечно порожденный проективный A -модуль M в ранг свободного -модуля (этот модуль действительно свободен, как и любой конечно порожденный проективный модуль над локальным кольцом). Эта подгруппа называется пониженной нулевой К-теории из A . ${\ Displaystyle А _ {\ mathfrak {p}}}$${\ Displaystyle М _ {\ mathfrak {p}}}$${\ displaystyle {\ tilde {K}} _ {0} \ left (A \ right)}$

Если B - кольцо без элемента единицы , мы можем расширить определение K ₀ следующим образом. Пусть A = B ⊕ Z - расширение B до кольца с единицей, полученное присоединением к единице (0,1). Существует короткая точная последовательность B → → Z и определим К ₀ ( В ) , чтобы быть ядром соответствующей карте К ₀ ( A ) → K ₀ ( Z ) = Z .

Примеры

• (Проективные) модули над полем k являются векторными пространствами, а K ₀ ( k ) изоморфен Z по размерности .
• Конечно порожденные проективные модули над локальным кольцом A свободны, поэтому в этом случае снова K ₀ ( A ) изоморфен Z по рангу .
• Для А дедекиндово домена , К ₀ ( ) = Pic ( ) ⊕ Z , где Pic ( ) является группой Пикара из A ,

Алгебро-геометрический вариант этой конструкции применяется к категории алгебраических многообразий ; он связывает с данным алгебраическим многообразием X в Гротендик K -группа категории локально свободных пучки (или когерентных пучков) на X . Учитывая компактное топологическое пространство X , то топологическое К -теория К ^{верхней} ( Х ) из (реальных) векторных расслоений над X совпадает с K ₀ кольца непрерывных вещественных функций на X .

Относительный K ₀

Пусть I - идеал в A, и определим "дубль" как подкольцо декартова произведения A × A :

${\ Displaystyle D (A, I) = \ {(x, y) \ in A \ times A: xy \ in I \} \.}$

Относительно К-группа определена в терминах «двойной»

${\ Displaystyle K_ {0} (A, I) = \ ker \ left ({K_ {0} (D (A, I)) \ rightarrow K_ {0} (A)} \ right) \.}$

где отображение индуцировано проекцией по первому множителю.

Относительный K ₀ ( A , I ) изоморфен K ₀ ( I ), рассматривая I как кольцо без единицы. Независимость от A является аналогом теоремы об удалении в гомологиях.

K ₀ как кольцо

Если A - коммутативное кольцо, то тензорное произведение проективных модулей снова проективно, и поэтому тензорное произведение индуцирует умножение, превращающее K ₀ в коммутативное кольцо с классом [ A ] в качестве единицы. Внешнее произведение аналогично индуцирует λ-кольцевую структуру. Группа Пикара вкладывается как подгруппа группы единиц K ₀ ( A ) ^∗ .

К ₁

Хайман Bass условии , что это определение, которое обобщает группу единиц кольца: K ₁ ( A ) является абелианизация из бесконечной линейной группы :

${\ displaystyle K_ {1} (A) = \ operatorname {GL} (A) ^ {\ mbox {ab}} = \ operatorname {GL} (A) / [\ operatorname {GL} (A), \ operatorname { GL} (A)]}$

Здесь

${\ Displaystyle \ OperatorName {GL} (A) = \ Operatorname {colim} \ OperatorName {GL} (n, A)}$

является прямым пределом группы GL ( n ), которая вкладывается в GL ( n  + 1) как верхнюю левую блочную матрицу , и является ее коммутаторной подгруппой . Определите элементарную матрицу , которая представляет собой сумму единичной матрицы и одного недиагонального элемента (это подмножество элементарных матриц, используемых в линейной алгебре ). Тогда лемма Уайтхеда утверждает, что группа E ( A ), порожденная элементарными матрицами, равна коммутатору [GL ( A ), GL ( A )]. Действительно, группа GL ( ) / Е ( ) была впервые определена и изучена Whitehead, и называется группой Уайтхеда из кольца A . ${\ displaystyle [\ Operatorname {GL} (A), \ Operatorname {GL} (A)]}$

Относительный K ₁

Относительно К-группа определена в терминах «двойной»

${\ Displaystyle K_ {1} (A, I) = \ ker \ left ({K_ {1} (D (A, I)) \ rightarrow K_ {1} (A)} \ right) \.}$

Есть естественная точная последовательность

${\ displaystyle K_ {1} (A, I) \ rightarrow K_ {1} (A) \ rightarrow K_ {1} (A / I) \ rightarrow K_ {0} (A, I) \ rightarrow K_ {0} ( A) \ rightarrow K_ {0} (A / I) \.}$

Коммутативные кольца и поля

Для А коммутативное кольцо , можно определить определитель DET: GL ( ) → A * к группе единиц из А , которая обращается в нуль на Е ( А ) , и , таким образом , опускается к карте DET: К ₁ ( A ) → A * . Поскольку E ( A ) ◅ SL ( A ), можно также определить специальную группу Уайтхеда S K ₁ ( A ): = SL ( A ) / E ( A ). Это отображение разделяется с помощью отображения A * → GL (1, A ) → K ₁ ( A ) (единица в верхнем левом углу) и, следовательно, находится на и имеет специальную группу Уайтхеда в качестве ядра, что дает расщепленную короткую точную последовательность :

${\ Displaystyle 1 \ к SK_ {1} (A) \ к K_ {1} (A) \ к A ^ {*} \ к 1,}$

который является частным от обычной расщепленной короткой точной последовательности, определяющей специальную линейную группу , а именно

${\ displaystyle 1 \ to \ operatorname {SL} (A) \ to \ operatorname {GL} (A) \ to A ^ {*} \ to 1.}$

Определитель разделяется путем включения группы единиц A * = GL ₁ ( A ) в общую линейную группу GL (A) , поэтому K ₁ ( A ) разделяется как прямая сумма группы единиц и специальной группы Уайтхеда: К ₁ ( А ) ≅ А * ⊕ СК ₁ ( А ).

Когда A - евклидова область (например, поле или целые числа), S K ₁ ( A ) обращается в нуль, и детерминантное отображение является изоморфизмом из K ₁ ( A ) в A ^∗ . В целом это неверно для PID, что обеспечивает одну из редких математических особенностей евклидовых доменов, которая не распространяется на все PID. Явный PID, для которого SK _{1 не} равен нулю, был дан Ишебеком в 1980 г. и Грейсоном в 1981 г. Если A - дедекиндова область, поле частных которой является полем алгебраических чисел (конечное расширение рациональных чисел), то Милнор (1971 , следствие 16.3) ) показывает, что S K ₁ ( A ) обращается в нуль.

Исчезновение SK ₁ можно интерпретировать как утверждение, что K ₁ порождается образом GL ₁ в GL. Когда это не удается, можно спросить, генерируется ли K ₁ изображением GL ₂ . Для дедекиндовской области это так: действительно, K ₁ порождается изображениями GL ₁ и SL ₂ в GL. Подгруппу SK _1, порожденную SL _2, можно изучать с помощью символов Меннике . Для дедекиндовских областей со всеми конечными факторами по максимальным идеалам SK ₁ - периодическая группа.

Для некоммутативного кольца определитель, вообще говоря, не может быть определен, но отображение GL ( A ) → K ₁ ( A ) является обобщением определителя.

Центральные простые алгебры

В случае центральной простой алгебры A над полем F , то приведенная норма предусматривает обобщение определителя дает отображение K ₁ ( A ) → F ^* и S K ₁ ( A ) может быть определен как ядро. Теорема Ванга утверждает, что если A имеет простую степень, то S K ₁ ( A ) тривиально, и это можно расширить до бесквадратной степени. Ван также показал, что S K ₁ ( A ) тривиальна для любой центральной простой алгебры над числовым полем, но Платонов привел примеры алгебр с квадратом простого числа, для которых S K ₁ ( A ) нетривиальна.

К ₂

Джон Милнор нашел правильное определение K ₂ : это центр из Steinberg группы St ( A ) от A .

Его также можно определить как ядро карты

${\ Displaystyle \ varphi \ двоеточие \ OperatorName {St} (A) \ to \ mathrm {GL} (A),}$

или как множитель Шура группы элементарных матриц .

Для поля K ₂ определяется символами Стейнберга : это приводит к теореме Мацумото.

Можно вычислить, что K ₂ равно нулю для любого конечного поля. Вычисление K ₂ ( Q ) сложно: Тейт доказал

${\ Displaystyle K_ {2} (\ mathbf {Q}) = (\ mathbf {Z} / 4) ^ {*} \ times \ prod _ {p {\ text {нечетное простое число}}} (\ mathbf {Z} / p) ^ {*} \}$

и заметил, что доказательство последовало за первым доказательством Гаусса закона квадратичной взаимности .

Для неархимедовых локальных полей группа K ₂ ( F ) является прямой суммой конечной циклической группы , скажем, порядка m , и делимой группы K ₂ ( F ) ^m .

Имеем K ₂ ( Z ) = Z / 2, и, вообще говоря, K ₂ конечно для кольца целых чисел числового поля.

Кроме того, мы имеем K ₂ ( Z / n ) = Z / 2, если n делится на 4, а в противном случае - ноль.

Теорема Мацумото

Теорема Мацумото утверждает, что для поля k вторая K- группа задается формулой

${\ displaystyle K_ {2} (k) = k ^ {\ times} \ otimes _ {\ mathbf {Z}} k ^ {\ times} / \ langle a \ otimes (1-a) \ mid a \ not = 0,1 \ rangle.}$

Оригинальная теорема Мацумото носит еще более общий характер: для любой корневой системы она дает представление о неустойчивой K-теории. Это представление отличается от представленного только для симплектических корневых систем. Для несимплектических корневых систем неустойчивая вторая K-группа относительно корневой системы является в точности стабильной K-группой для GL ( A ). Неустойчивые вторые K-группы (в данном контексте) определяются путем взятия ядра универсального центрального расширения группы Шевалле универсального типа для данной корневой системы. Эта конструкция дает ядро ​​расширения Стейнберга для систем корней A _n ( n  > 1) и, в пределе, стабильных вторых K -групп.

Длинные точные последовательности

Если A - дедекиндовская область с полем дробей F, то существует длинная точная последовательность

${\ displaystyle K_ {2} F \ rightarrow \ oplus _ {\ mathbf {p}} K_ {1} A / {\ mathbf {p}} \ rightarrow K_ {1} A \ rightarrow K_ {1} F \ rightarrow \ oplus _ {\ mathbf {p}} K_ {0} A / {\ mathbf {p}} \ rightarrow K_ {0} A \ rightarrow K_ {0} F \ rightarrow 0 \}$

где р пробегает все простые идеалы А .

Также существует расширение точной последовательности для относительных K ₁ и K ₀ :

${\ Displaystyle K_ {2} (A) \ rightarrow K_ {2} (A / I) \ rightarrow K_ {1} (A, I) \ rightarrow K_ {1} (A) \ cdots \.}$

Сопряжение

На K ₁ существует пара со значениями в K ₂ . Даны коммутирующие матрицы X и Y над A , возьмем элементы x и y из группы Стейнберга с X , Y в качестве изображений. Коммутатор является элементом K ₂ . Карта не всегда сюръективна. ${\ displaystyle xyx ^ {- 1} y ^ {- 1}}$

Милнор К -теория

Вышеприведенное выражение для K ₂ поля k привело Милнора к следующему определению «высших» K -групп с помощью

${\ displaystyle K _ {*} ^ {M} (k): = T ^ {*} (k ^ {\ times}) / (a ​​\ otimes (1-a)),}$

Таким образом , как градуированные части частного от деления тензорной алгебры в мультипликативной группе к ^× по двусторонний идеалу , порожденные

${\ Displaystyle \ left \ {a \ otimes (1-a): \ a \ neq 0,1 \ right \}.}$

Для n = 0,1,2 они совпадают с нижеследующими, но для n 3 в целом отличаются. Например, у нас есть K^M
_n( F _q ) = 0 для n ≧ 2, но K _n F _q отличен от нуля для нечетных n (см. Ниже).

Тензорное произведение на тензорной алгебре индуцирует продукт делает в градуированное кольцо , которое градуированное коммутативное . ${\ displaystyle K_ {m} \ times K_ {n} \ rightarrow K_ {m + n}}$${\ Displaystyle К _ {*} ^ {M} (F)}$

Изображения элементов в называются символами , обозначаются . Для целого m, обратимого в k, существует отображение ${\ displaystyle a_ {1} \ otimes \ cdots \ otimes a_ {n}}$${\ Displaystyle К_ {п} ^ {M} (к)}$${\ Displaystyle \ {а_ {1}, \ ldots, а_ {п} \}}$

${\ displaystyle \ partial: k ^ {*} \ rightarrow H ^ {1} (k, \ mu _ {m})}$

где обозначает группу корней степени m из единицы в некотором сепарабельном расширении k . Это распространяется на ${\ displaystyle \ mu _ {m}}$

${\ displaystyle \ partial ^ {n}: k ^ {*} \ times \ cdots \ times k ^ {*} \ rightarrow H ^ {n} \ left ({k, \ mu _ {m} ^ {\ otimes n }}\Правильно)\ }$

удовлетворяющие определяющим соотношениям K-группы Милнора. Следовательно, ее можно рассматривать как карту , называемую картой символов Галуа . ${\ Displaystyle \ partial ^ {п}}$${\ Displaystyle К_ {п} ^ {M} (к)}$

Связь между этальными (или Галуа ) когомологиями поля и K-теорией Милнора по модулю 2 - это гипотеза Милнора , доказанная Владимиром Воеводским . Аналогичным утверждением для нечетных простых чисел является гипотеза Блоха-Като , доказанная Воеводским, Ростом и другими.

Высшая K -теория

Принятые определения высших K -групп были даны Квилленом (1973) после нескольких лет, в течение которых было предложено несколько несовместимых определений. Целью программы было найти определения K ( R ) и K ( R , I ) в терминах классифицирующих пространств так, чтобы R ⇒ K ( R ) и ( R , I ) ⇒ K ( R , I ) были функторами в гомотопическая категория пространств и длинный точная последовательность для относительных K-групп возникают как длинная точная гомотопическому последовательность из более расслоений K ( R , I ) →  K ( R ) →  K ( R / I ).

Квиллен дал две конструкции, «плюс-конструкцию» и « Q-конструкцию », которые впоследствии были модифицированы различными способами. Две конструкции дают одни и те же K-группы.

+ -Конструкция

Одно возможное определение высшей алгебраической K -теории колец было дано Квилленом.

${\ displaystyle K_ {n} (R) = \ pi _ {n} (B \ operatorname {GL} (R) ^ {+}),}$

Здесь π _п является гомотопической группой , GL ( R ) является прямым пределом из общих линейных групп над R для размера матрицы , стремящейся к бесконечности, B является классифицирующим пространством построения теории гомотопий , а ⁺ является Квиллен плюс строительство . Первоначально он обнаружил эту идею при изучении групповых когомологий и отметил, что некоторые из его вычислений были связаны с . ${\ Displaystyle GL_ {п} (\ mathbb {F} _ {q})}$${\ Displaystyle К_ {1} (\ mathbb {F} _ {q})}$

Это определение справедливо только для n  > 0, поэтому часто определяют высшую алгебраическую K -теорию через

${\ displaystyle K_ {n} (R) = \ pi _ {n} (B \ operatorname {GL} (R) ^ {+} \ times K_ {0} (R))}$

Поскольку BGL ( R ) ⁺ линейно соединен, а K ₀ ( R ) дискретен, это определение не отличается в более высоких степенях, а также справедливо для n  = 0.

Q -конструкция

Q -строительство дает те же результаты, что и + -строительство, но применяется и в более общих ситуациях. Более того, определение более прямое в том смысле, что K -группы, определенные с помощью Q-конструкции , по определению функториальны. Этот факт не является автоматическим в плюс-конструкции.

Предположим , это точная категория ; ассоциированный с новой категорией , объекты которой являются объектами, а морфизмы из M ′ в M ″ являются классами изоморфизма диаграмм ${\ displaystyle P}$${\ displaystyle P}$${\ displaystyle QP}$${\ displaystyle P}$

${\ displaystyle M '\ longleftarrow N \ longrightarrow M' ',}$

где первая стрелка - допустимый эпиморфизм, а вторая стрелка - допустимый мономорфизм . Обратите внимание, что морфизмы в аналогичны определениям морфизмов в категории мотивов , где морфизмы задаются как соответствия, такие что${\ displaystyle QP}$${\ Displaystyle Z \ подмножество X \ раз Y}$

${\ Displaystyle X \ leftarrow Z \ rightarrow Y}$

- это диаграмма, на которой стрелка слева является покрывающим отображением (следовательно, сюръективным), а стрелка справа инъективна. Эта категория может быть превращена в топологическое пространство с помощью классифицируя пространства конструкции , которая определяется как геометрическая реализация на нерв из . Тогда i-я K -группа точной категории определяется как ${\ displaystyle BQP}$${\ displaystyle QP}$${\ displaystyle P}$

${\ Displaystyle К_ {я} (P) = \ pi _ {я + 1} (\ mathrm {BQ} P, 0)}$

с фиксированным нулевым объектом . Обратите внимание, что классифицирующее пространство группоида сдвигает гомотопические группы на одну степень вверх, отсюда и сдвиг в градусах для того, чтобы быть пространством. ${\ displaystyle 0}$${\ displaystyle B {\ mathcal {G}}}$${\ displaystyle K_ {i}}$${\ displaystyle \ pi _ {я + 1}}$

Это определение совпадает с приведенным выше определением K ₀ ( P ). Если P - категория конечно порожденных проективных R -модулей , это определение согласуется с приведенным выше определением BGL ⁺ для K _n ( R ) для всех n . В более общем плане , на схеме X , тем выше К -группы X определяются так, чтобы быть К -группы (точной категории) локально свободных когерентных пучков на X .

Также используется следующий вариант: вместо конечно порожденных проективных (= локально свободных) модулей взять конечно порожденные модули. Получающиеся K -группы обычно обозначаются G _n ( R ). Когда R - нётерово правильное кольцо , то G- и K -теории совпадают. Действительно, глобальная размерность регулярных колец конечна, т. Е. Любой конечно порожденный модуль имеет конечную проективную резольвенту P _* → M , и простой аргумент показывает, что каноническое отображение K ₀ (R) → G ₀ (R) является изоморфизмом , с [ M ] = Σ ± [ P _n ]. Этот изоморфизм распространяется и на высшие K -группы.

S -строительство

Третья конструкция групп K- теории - это S -конструкция Вальдхаузена . Это относится к категориям с кофибрациями (также называемыми категориями Вальдхаузена ). Это более общее понятие, чем точные категории.

Примеры

В то время как алгебраическая K- теория Квиллена дала глубокое понимание различных аспектов алгебраической геометрии и топологии, K-группы оказались особенно трудными для вычисления, за исключением нескольких изолированных, но интересных случаев. (См. Также: K-группы поля .)

Алгебраические K -группы конечных полей

Первое и одно из наиболее важных вычислений высших алгебраических K -групп кольца было выполнено самим Квилленом для случая конечных полей :

Если F _q - конечное поле с q элементами, то:

• К ₀ ( F _q ) = Z ,
• K _{2 i} ( F _q ) = 0 для i ≥1,
• K _{2 i –1} ( F _q ) = Z / ( q ⁱ  - 1) Z для i  ≥ 1. 

Рик Джардин  ( 1993 ) опроверг вычисления Квиллена с использованием различных методов.

Алгебраические K -группы колец целых чисел

Квиллен доказал, что если A - кольцо целых алгебраических чисел в поле алгебраических чисел F (конечное расширение рациональных чисел), то алгебраические K-группы A конечно порождены. Арманд Борель использовал это для вычисления K _i ( A ) и K _i ( F ) по модулю кручения. Например, для целых Z Борель доказал, что (по модулю кручения)

• K _i ( Z ) /tors.=0 для положительного i, если i = 4k + 1 с положительным k
• K _{4 k +1} ( Z ) /tors.= Z для положительного k .

Подгруппы кручения группы K _{2 i +1} ( Z ) и порядки конечных групп K _{4 k +2} ( Z ) были недавно определены, но являются ли последние группы циклическими и являются ли группы K _{4 k} ( Z ) исчезают, зависит от гипотезы Вандивера о группах классов круговых целых чисел. Для получения более подробной информации см. Гипотезу Квиллена – Лихтенбаума .

Заявки и открытые вопросы

Алгебраические K -группы используются в гипотезах о специальных значениях L-функций и формулировке некоммутативной основной гипотезы теории Ивасавы, а также при построении высших регуляторов .

Гипотеза Паршина касается высших алгебраических K -групп для гладких многообразий над конечными полями и утверждает, что в этом случае группы обращаются в нуль с точностью до кручения.

Другая фундаментальная гипотеза Хаймана Басса ( гипотеза Басса ) утверждает, что все группы G _n ( A ) конечно порождены, когда A - конечно порожденная Z -алгебра. (Группы G _n ( A ) являются K -группами категории конечно порожденных A -модулей)

Смотрите также

• Формула Блоха
• Основная теорема алгебраической K -теории
• Основные теоремы алгебраической K -теории
• K -теория
• K -теория категории
• K -группа поля
• K -теория спектр
• Гипотеза красного смещения
• Топологическая K -теория
• Жесткость ( K -теория)

Примечания

использованная литература

• Bass, Хайман (1968), алгебраическая K -теория , Математика Лекция Примечание Серия, Нью - Йорк-Амстердам: WA Benjamin, Inc., Zbl  0174,30302
• Фридлендер, Эрик ; Грейсон, Дэниел, ред. (2005), Справочник по K-теории , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , DOI : 10.1007 / 3-540-27855-9 , ISBN 978-3-540-30436-4, Руководство по ремонту  2182598
• Фридлендер, Эрик М .; Weibel, Charles W. (1999), Обзор алгебраической K -теории , World Sci. Publ., River Edge, NJ, стр. 1–119, MR  1715873
• Жиль, Филипп; Самуэли, Тамаш (2006), Центральные простые алгебры и когомологии Галуа , Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 101 , Cambridge: Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-86103-8, Zbl  1137,12001
• Гра, Жорж (2003), Теория поля классов. От теории к практике , Монографии Springer по математике, Берлин: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-44133-5, Zbl  1019,11032
• Джардин, Джон Фредерик (1993), "К-теории конечных полей, вновь", K-теория , 7 (6): 579-595, DOI : 10.1007 / BF00961219 , MR  1268594
• Лам, Цит-Юэн (2005), Введение в квадратичные формы над полями , Аспирантура по математике, 67 , Американское математическое общество , ISBN 978-0-8218-1095-8, Руководство по ремонту  2104929 , Zbl  1068.11023
• Леммермейер, Франц (2000), Законы взаимности. От Эйлера до Эйзенштейна , Монографии Springer по математике, Берлин: Springer-Verlag , DOI : 10.1007 / 978-3-662-12893-0 , ISBN 978-3-540-66957-9, Руководство по ремонту  1761696 , Zbl  0949.11002
• Милнор, Джон Уиллард (1970), «Алгебраическая K- теория и квадратичные формы», Inventiones Mathematicae , 9 (4): 318–344, Bibcode : 1970InMat ... 9..318M , doi : 10.1007 / BF01425486 , ISSN  0020- 9910 , Руководство MR  0260844
• Милнор, Джон Уиллард (1971), Введение в алгебраическую K-теорию , Annals of Mathematics Studies, 72 , Princeton, NJ: Princeton University Press , MR  0349811 , Zbl  0237.18005 (нижние K-группы)
• Куиллен, Дэниел (1973), "Высшая алгебраическая K-теория. I", Алгебраическая K-теория, I: Высшие K-теории (Proc. Conf., Battelle Memorial Inst., Сиэтл, Вашингтон, 1972) , Лекционные заметки в Математика, 341 , Берлин, Нью - Йорк: Springer-Verlag ., стр 85-147, DOI : 10.1007 / BFb0067053 , ISBN 978-3-540-06434-3, Руководство по ремонту  0338129
• Куиллен, Дэниел (1975), "Высшая алгебраическая K-теория", Труды Международного конгресса математиков (Ванкувер, Британская Колумбия, 1974), Vol. 1 , Монреаль, Квебек: Канад. Математика. Конгресс, стр. 171–176, MR  0422392 (Q-конструкция Квиллена)
• Quillen, Daniel (1974), "Высшая K-теория для категорий с точными последовательностями", Новые разработки в топологии (Proc. Sympos. Algebraic Topology, Oxford, 1972) , London Math. Soc. Lecture Note Ser., 11 , Cambridge University Press , стр. 95–103, MR  0335604 (отношение Q-конструкции к плюс-конструкции)
• Розенберг, Джонатан (1994), Алгебраическая K-теория и ее приложения , Тексты для выпускников по математике , 147 , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , DOI : 10.1007 / 978-1-4612-4314-4 , ISBN 978-0-387-94248-3, MR  1282290 , Zbl  0801.19001. Опечатки
• Зайлер, Вольфганг (1988), «λ-кольца и операции Адамса в алгебраической K-теории», в Rapoport, M .; Schneider, P .; Шаппахер, Н. (ред.), Гипотезы Бейлинсона о специальных значениях L-функций , Бостон, Массачусетс: Academic Press, ISBN 978-0-12-581120-0
• Сильвестр, Джон Р. (1981), Введение в алгебраическую K-теорию , Серия математических статей Чепмена и Холла, Лондон, Нью-Йорк: Чепмен и Холл , ISBN 978-0-412-22700-4, Zbl  0468,18006
• Вейбель, Чарльз (2005), «Алгебраическая K-теория колец целых чисел в локальных и глобальных полях» (PDF) , Справочник по K-теории , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , стр. 139–190, doi : 10.1007 / 3-540-27855-9_5 , ISBN 978-3-540-23019-9, MR  2181823 (обзорная статья)
• Weibel, Чарльз (1999), Развитие алгебраической К-теории до 1980 , Современная математика, 243 , Providence, RI: Американское математическое общество . С. 211-238, DOI : 10,1090 / conm / 243/03695 , MR  1732049

дальнейшее чтение

• Луис-Пуэбла, Эмилио; Лодей, Жан-Луи; Жилле, Анри; Суле, Кристоф; Снайт, Виктор (1992), Высшая алгебраическая K-теория: обзор , Лекционные заметки по математике, 1491 , Берлин, Гейдельберг: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-55007-5, Zbl  0746,19001
• Магурн, Брюс А. (2009), Алгебраическое введение в K-теорию , Энциклопедия математики и ее приложений, 87 (исправленное издание в мягкой обложке), Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-10658-0
• Шринивас, В. (2008), алгебраическая K -теория , Современная классика Birkhäuser (Мягкая обложка Перепечатка 1996 2 - е изд.), Boston, MA: Birkhäuser , ISBN 978-0-8176-4736-0, Zbl  1125,19300
• Вейбель, К., K-книга: введение в алгебраическую K-теорию

Педагогические ссылки

• Высшая алгебраическая K-теория: обзор
• Розенберг, Джонатан (1994), Алгебраическая K-теория и ее приложения , Тексты для выпускников по математике , 147 , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , DOI : 10.1007 / 978-1-4612-4314-4 , ISBN 978-0-387-94248-3, MR  1282290 , Zbl  0801.19001. Опечатки
• Вейбель, Чарльз (2013), K-книга: введение в алгебраическую K-теорию , Аспирантура по математике , 145 , AMS

Исторические ссылки

• Атья, Майкл Ф .; Хирцебрух, Фридрих (1961), Векторные расслоения и однородные пространства , Proc. Симпозиумы. Pure Math., 3 , Американское математическое общество , стр. 7–38.
• Барден, Деннис (1964). О строении и классификации дифференциальных многообразий (Диссертация). Кембриджский университет .
• Басс, Хайман ; Мурти, член парламента (1967). «Группы Гротендика и группы Пикара абелевых групповых колец». Анналы математики . 86 (1): 16–73. DOI : 10.2307 / 1970360 . JSTOR  1970360 .
• Басс, Хайман ; Шануэль, С. (1962). «Гомотопическая теория проективных модулей» . Бюллетень Американского математического общества . 68 (4): 425–428. DOI : 10.1090 / s0002-9904-1962-10826-х .
• Басс, Хайман (1968). Алгебраическая K -теория . Бенджамин.
• Блох, Спенсер (1974). « K ₂ алгебраических циклов». Анналы математики . 99 (2): 349–379. DOI : 10.2307 / 1970902 . JSTOR  1970902 .
• Бокстедт М. Топологические гомологии Хохшильда . Препринт, Билефельд, 1986.
• Бокстедт М., Хсианг В.К., Мадсен И. Круговой след и алгебраическая K- теория пространств . Изобретать. Матем., 111 (3) (1993), 465–539.
• Борель, Арман ; Серр, Жан-Пьер (1958). "Теорема Римана – Роха" . Бюллетень математического общества Франции . 86 : 97–136. DOI : 10,24033 / bsmf.1500 .
• Браудер, Уильям (1978), Алгебраическая K -теория с коэффициентами Z / p, Конспект лекций по математике, 657 , Springer – Verlag, стр. 40–84
• Браун, К., Gersten С., Алгебраическая K -теория как генерализованная пучок когомологий , алгебраическая K-теория I, Лекции по математике., Т. 341, Springer-Verlag, 1973, стр. 266–292.
• Серф, Жан (1970). "La stratification naturelle des espaces de fonctions Differenceables reelles et le Theoreme de la pseudo-isotopie" . Публикации Mathématiques de l'IHÉS . 39 : 5–173. DOI : 10.1007 / BF02684687 .
• Деннис, Р.К., Высшая алгебраическая K- теория и гомологии Хохшильда , неопубликованный препринт (1976).
• Герстен, S (1971). «О функторе К ₂ » . J. Алгебра . 17 (2): 212–237. DOI : 10.1016 / 0021-8693 (71) 90030-5 .
• Гротендик, Александр, Классы фасада и теоремы Римана – Роха , заметки на мимеографе, Принстон, 1957.
• Хэтчер, Аллен ; Вагонер, Джон (1973), «Псевдоизотопии компактных многообразий», Astérisque , 6 , MR  0353337
• Каруби, Макс (1968). "Foncteurs derives et K -theorie. Категории фильтров". Comptes Rendus de l'Académie des Sciences, Série AB . 267 : A328 – A331.
• Каруби, Макс ; Вилламайор, О. (1971). "K-теория алгебры и K-теория топология" . Математика. Сканд . 28 : 265–307. DOI : 10,7146 / math.scand.a-11024 .
• Мацумото, Хидея (1969). "Sur les sous-groupes aritmetiques des groupes semi-simples deployes" . Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure . 2 : 1–62. DOI : 10,24033 / asens.1174 .
• Мазур, Барри (1963). «Дифференциальная топология с точки зрения простой теории гомотопий» (PDF) . Публикации Mathématiques de l'IHÉS . 15 : 5–93.
• Милнор, Дж (1970). «Алгебраическая K- теория и квадратичные формы». Изобретать. Математика . 9 (4): 318–344. Bibcode : 1970InMat ... 9..318M . DOI : 10.1007 / bf01425486 .
• Милнор Дж. Введение в алгебраическую K- теорию . Пресс, 1971.
• Нобиле А., Вильямайор О. Sur la K -theorie algebrique , Annales Scientifiques de l'Ecole Normale Supérieure , 4e serie, 1 , no. 3, 1968, 581–616.
• Квиллен, Даниэль, Когомологии групп , Proc. ICM Nice 1970, т. 2, Gauthier-Villars, Paris, 1971, 47–52.
• Квиллен, Дэниел, Высшая алгебраическая K- теория I , Алгебраическая K- теория I, Конспект лекций по математике, т. 341, Springer Verlag, 1973, 85–147.
• Квиллен, Дэниел, Высшая алгебраическая K- теория , Proc. Междунар. Congress Math., Ванкувер, 1974, т. Я, Канад. Математика. Soc., 1975, с. 171–176.
• Сегал, Грэм (1974). «Категории и теории когомологий» . Топология . 13 (3): 293–312. DOI : 10.1016 / 0040-9383 (74) 90022-6 .
• Зибенманн, Ларри, Препятствие к нахождению границы для открытого многообразия размерности больше пяти , Диссертация, Принстонский университет (1965).
• Смейл, S (1962). «О строении многообразий». Амер. J. Math . 84 (3): 387–399. DOI : 10.2307 / 2372978 . JSTOR  2372978 .
• Steinberg, R., Generateurs,, Relations et retements de groupes algebriques , ́Colloq . Theorie des Groupes Algebriques, Gauthier-Villars, Paris, 1962, стр. 113–127. (Французкий язык)
• Свон, Ричард, Неабелева гомологическая алгебра и K-теория , Proc. Симпозиумы. Чистая математика, т. XVII, 1970, с. 88–123.
• Томасон, RW, Алгебраическая K- теория и этальные когомологии , Ann. Научный. Ec. Норма. Как дела. 18 , 4д серия (1985), 437–552; erratum 22 (1989), 675–677.
• Томасон, Р. У., Принципы науки и небытие единого K - глобальная теория Милнора , Топология 31 , вып. 3, 1992, 571–588.
• Томасон, Роберт В .; Тробо, Томас (1990), "Высшая алгебраическая K-теория схем и производных категорий", Grothendieck Festschrift, Vol. III , Прогр. . Математика, 88 , Бостон, Массачусетс: Birkhäuser Бостон, стр 247-435,. Дои : 10.1007 / 978-0-8176-4576-2_10 , ISBN 978-0-8176-3487-2, Руководство по ремонту  1106918
• Вальдхаузен Ф. Алгебраическая K -теория топологических пространств . I , по алгебраической и геометрической топологии (Proc. Sympos. Pure Math., Stanford Univ., Stanford, CA, 1976), Часть 1, стр. 35–60, Proc. Симпозиумы. Чистая математика, XXXII, амер. Математика. Soc., Провиденс, Род-Айленд, 1978.
• Вальдхаузен Ф. Алгебраическая K- теория пространств в алгебраической и геометрической топологии (Нью-Брансуик, штат Нью-Джерси, 1983) , Конспект лекций по математике, т. 1126 (1985), 318–419.
• Уолл, СТС (1965). «Условия конечности для CW-комплексов». Анналы математики . 81 (1): 56–69. DOI : 10.2307 / 1970382 . JSTOR  1970382 .
• Уайтхед, JHC (1941). «О матрицах инцидентов, ядрах и гомотопических типах». Анналы математики . 42 (5): 1197–1239. DOI : 10.2307 / 1970465 . JSTOR  1970465 .
• Уайтхед, JHC (1950). «Простые гомотопические типы». Амер. J. Math . 72 (1): 1–57. DOI : 10.2307 / 2372133 . JSTOR  2372133 .
• Уайтхед, JHC (1939). «Симплициальные пространства, ядра и m-группы». Proc. Лондонская математика. Soc . 45 : 243–327. DOI : 10.1112 / ПНИЛИ / s2-45.1.243 .

внешние ссылки

• Архив препринтов теории K