Дискриминант поля алгебраических чисел - Discriminant of an algebraic number field

Фундаментальная область кольца целых чисел поля K , полученный из Q присоединения корня из й ³ - х ² - 2 х + 1. Этой фундаментальной области находится внутри K ⊗ _Q R . Дискриминант K равен 49 = 7 ² . Соответственно, объем основного домена равен 7, а K разветвляется только на 7.

В математике , то дискриминант из поля алгебраических чисел является числовым инвариантом , что, грубо говоря, измеряет размер ( кольца целых чисел в) поля алгебраических чисел. Более конкретно, она пропорциональна квадрат объема фундаментальной области кольца целых чисел, и регулирует , которые простые числа имеют разветвленные .

Дискриминант является одним из самых основных инвариантов числового поля, и происходит в нескольких важных аналитических формулах , такие как функциональное уравнение в дедекиндовым дзете функции из K , и формула аналитического числа классов для K . Теорема о Эрмите утверждает , что существует лишь конечное число числа полех ограниченного дискриминанта, однако определение этого количество по - прежнему является открытой проблема , и предмет текущих исследований.

Дискриминант K может быть называют абсолютный дискриминант из K , чтобы отличить его от относительного дискриминанта из с расширением K / L числовых полей. Последний является идеальным в кольце целых чисел L , и подобно абсолютному дискриминант это указывает , какие штрихи разветвленное в K / L . Это обобщение абсолютного дискриминанта, допускающее, чтобы L было больше Q ; В самом деле, когда L = Q , относительный дискриминант K / Q является главным идеалом из Z , порожденной абсолютным дискриминантом K .

Определение

Пусть K - поле алгебраических чисел, а O _K - его кольцо целых чисел . Пусть Ь ₁ , ..., б _п быть целый базис из O _K (т.е. основе в качестве Z - модуль ), и пусть {σ ₁ , ..., σ _п } множество вложений К в комплексные числа (т.е. инъективные гомоморфизмы колец K → C ). Дискриминант из K представляет собой квадрат из определителя из п по п матрицы B , чей ( я , J ) -Посещение является σ _я ( Ь _J ). Символично,

{\ displaystyle \ Delta _ {K} = \ det \ left ({\ begin {array} {cccc} \ sigma _ {1} (b_ {1}) & \ sigma _ {1} (b_ {2}) & \ cdots & \ sigma _ {1} (b_ {n}) \\\ sigma _ {2} (b_ {1}) & \ ddots && \ vdots \\\ vdots && \ ddots & \ vdots \\\ sigma _ {n} (b_ {1}) & \ cdots & \ cdots & \ sigma _ {n} (b_ {n}) \ end {array}} \ right) ^ {2}.}

Эквивалентно, то след от K до Q может быть использован. В частности, определите форму следа как матрицу, чья ( i , j ) -запись равна Tr _{K / Q} ( b _i b _j ). Эта матрица равна B ^T B , поэтому дискриминант K является определителем этой матрицы.

Примеры

Квадратичные поля номер : пусть d быть бесквадратно целым числом , то дискриминант IS ${\ Displaystyle К = \ mathbf {Q} ({\ sqrt {d}})}$

{\ displaystyle \ Delta _ {K} = \ left \ {{\ begin {array} {ll} d & {\ text {if}} d \ Equiv 1 {\ pmod {4}} \\ 4d & {\ text {if }} d \ Equiv 2,3 {\ pmod {4}}. \\\ end {array}} \ right.}

Целое число, которое встречается как дискриминант поля квадратичных чисел, называется фундаментальным дискриминантом .

Циклотомические поля : пусть n > 2 - целое число, пусть ζ _n - примитивный корень n- й степени из единицы , и пусть K _n = Q (ζ _n ) - n- е круговое поле. Дискриминант K _n определяется выражением

{\ displaystyle \ Delta _ {K_ {n}} = (- 1) ^ {\ varphi (n) / 2} {\ frac {n ^ {\ varphi (n)}} {\ displaystyle \ prod _ {p | n} p ^ {\ varphi (n) / (p-1)}}}}

где - функция Эйлера , а произведение в знаменателе - на простые числа p, делящие n .

{\ Displaystyle \ varphi (п)}

Силовые блоки: В случае , когда кольцо целых чисел имеет мощность целочисленный базис , то есть, может быть записано в виде O _K = Z [α], дискриминант K равен дискриминант от минимального многочлена от а. Чтобы убедиться в этом, можно выбрать интегральный базис O _K следующим образом: b ₁ = 1, b ₂ = α, b ₃ = α ² , ..., b _n = α ^{n −1} . Тогда матрица в определении - это матрица Вандермонда, ассоциированная с α _i = σ _i (α), квадрат определителя которой равен

{\ Displaystyle \ prod _ {1 \ Leq я <J \ Leq N} (\ альфа _ {я} - \ альфа _ {j}) ^ {2}}

что и есть определение дискриминанта минимального многочлена.

Пусть K = Q (α) - числовое поле, полученное присоединением к корню α многочлена x ³ - x ² - 2 x - 8. Это оригинальный пример числового поля Ричарда Дедекинда , кольцо целых чисел которого не имеет энергетическая основа. Целочисленный базис равен {1, α, α (α + 1) / 2}, а дискриминант K равен −503.
Повторяющиеся дискриминанты: дискриминант квадратичного поля однозначно идентифицирует его, но в целом это неверно для числовых полей более высокой степени . Например, есть два неизоморфных кубических поля дискриминанта 3969. Они получаются присоединением корня многочлена x ³ - 21 x + 28 или x ³ - 21 x - 35 соответственно.

Основные результаты

Теорема Бриля : знак дискриминанта (-1) ^{г ₂} , где R ₂ представляет собой число комплексных точек из K .
Штрих р разветвляется в K тогда и только тогда , когда р делит Д _К .
Теорема Штикельбергера :

{\ displaystyle \ Delta _ {K} \ Equiv 0 {\ text {или}} 1 {\ pmod {4}}.}

Оценка Минковского : Пусть n обозначает степень расширения K / Q, а r ₂ - количество комплексных точек K , тогда

{\ displaystyle | \ Delta _ {K} | ^ {1/2} \ geq {\ frac {n ^ {n}} {n!}} \ left ({\ frac {\ pi} {4}} \ right ) ^ {r_ {2}} \ geq {\ frac {n ^ {n}} {n!}} \ left ({\ frac {\ pi} {4}} \ right) ^ {n / 2}.}

Теорема Минковского : если K не является Q , то | Δ _K | > 1 (это непосредственно следует из оценки Минковского).
Теорема Эрмита – Минковского : Пусть N - натуральное число. Существует лишь конечное число (с точностью до изоморфизмов) полей алгебраических чисел K с | ∆ _K | < N . Опять же, это следует из оценки Минковского вместе с теоремой Эрмита (что существует только конечное число полей алгебраических чисел с заданным дискриминантом).

История

Ричард Дедекинд показал, что каждое числовое поле обладает целостной базой, что позволило ему определить дискриминант произвольного числового поля.

Определение дискриминанта общего поля алгебраических чисел, K , было дано Дедекиндом в 1871 году. К этому моменту он уже знал связь между дискриминантом и ветвлением.

Теорема Эрмита предшествовала общему определению дискриминанта, доказательство которого было опубликовано Чарльзом Эрмитом в 1857 году. В 1877 году Александр фон Бриль определил знак дискриминанта. Леопольд Кронекер впервые сформулировал теорему Минковского в 1882 году, хотя первое доказательство было дано Германом Минковским в 1891 году. В том же году Минковский опубликовал свою оценку дискриминанта. Ближе к концу девятнадцатого века Людвиг Штикельбергер получил свою теорему о вычете дискриминанта по модулю четыре.

Относительный дискриминант

Дискриминант определено выше , иногда называют как абсолютный дискриминант К , чтобы отличить его от относительного дискриминанта Δ _{K / L} от расширения числового полого K / L , который является идеальным в O _L . Относительно дискриминант определяется способом , аналогичного абсолютного дискриминант, но необходимо учитывать , что идеалы в O _L не могут быть главными , и что не могут представлять собой O _L основы O _K . Пусть {σ ₁ , ..., σ _п } множество вложений К Into C , которые являются тождественно на L . Если b ₁ , ..., b _n - любой базис K над L , пусть d ( b ₁ , ..., b _n ) - квадрат определителя матрицы n на n, для которой ( i , j ) - запись - это σ _i ( b _j ). Затем относительный дискриминант K / L является идеал , порожденный г ( б ₁ , ..., б _п ) как { Ь ₁ , ..., б _п } пробегает все целые базы K / L . (т.е. основания с тем свойством , что б _я ∈ О _К для всех I ) . В качестве альтернативы, относительный дискриминант K / L является нормой из различных по K / L . При L = Q , относительный дискриминант Δ _{K / Q} является главным идеалом Z , порожденный абсолютной дискриминант Δ _K . В башне полей K / L / F относительные дискриминанты связаны соотношением

{\ displaystyle \ Delta _ {K / F} = {\ mathcal {N}} _ {L / F} \ left ({\ Delta _ {K / L}} \ right) \ Delta _ {L / F} ^ {[K: L]}}

где обозначает относительную норму . ${\ displaystyle {\ mathcal {N}}}$

Разветвление

Относительный дискриминант регулирует ветвление данных на дополнительном поле K / L . Простой идеал р из L разветвляется в K , если, и только если, он делит относительный дискриминант Δ _{K / L} . Расширение является неразветвленным тогда и только тогда, когда дискриминант является единичным идеалом. Минковский связанно выше показывает , что нет ни одного нетривиальных неразветвленных расширений Q . Поля больше Q могут иметь неразветвленные расширения: например, для любого поля с номером класса больше единицы его поле класса Гильберта является нетривиальным неразветвленным расширением.

Корневой дискриминант

Корень дискриминант из степени п числового поля K определяется по формуле

{\ displaystyle \ operatorname {rd} _ {K} = | \ Delta _ {K} | ^ {1 / n}.}

Связь между относительными дискриминантами в башне полей показывает, что корневой дискриминант не изменяется в неразветвленном расширении.

Асимптотические нижние оценки

Для неотрицательных рациональных чисел ρ и σ , не одновременно 0, и натурального числа n такого, что пара ( r , 2 s ) = ( ρn , σn ) находится в Z × 2 Z , пусть α _n ( ρ , σ ) - infimum rd _K, поскольку K пробегает числовые поля степени n с r действительными вложениями и 2 s комплексными вложениями, и пусть α ( ρ , σ ) = liminf _{n → ∞} α _n ( ρ , σ ). потом

{\ Displaystyle \ альфа (\ rho, \ sigma) \ geq 60,8 ^ {\ rho} 22,3 ^ {\ sigma}}

,

а из обобщенной гипотезы Римана следует более сильная оценка

{\ Displaystyle \ альфа (\ rho, \ sigma) \ geq 215.3 ^ {\ rho} 44.7 ^ {\ sigma}.}

Существует также нижняя граница, которая выполняется во всех степенях, а не только асимптотически: для полностью вещественных полей корневой дискриминант> 14, за 1229 исключениями.

Асимптотические оценки сверху

С другой стороны, существование бесконечной башни поля классов может дать оценки сверху значений α ( ρ , σ ). Например, башня бесконечных полей классов над Q ( √ - m ) с m = 3 · 5 · 7 · 11 · 19 дает поля сколь угодно большой степени с корневым дискриминантом 2 √ m ≈ 296,276, поэтому α (0,1) < 296,276. Используя аккуратно разветвленные башни, Хаджир и Мэр показали, что α (1,0) <954,3 и α (0,1) <82,2, улучшая предыдущие оценки Мартине.

Отношение к другим величинам

Когда он встроен в , объем основной области O _K равен (иногда используется другая мера, и полученный объем равен , где r ₂ - количество сложных мест в K ). ${\ Displaystyle K \ otimes _ {\ mathbf {Q}} \ mathbf {R}}$ ${\ displaystyle {\ sqrt {| \ Delta _ {K} |}}}$ ${\ displaystyle 2 ^ {- r_ {2}} {\ sqrt {| \ Delta _ {K} |}}}$
Из-за своего появления в этом томе дискриминант также появляется в функциональном уравнении дзета-функции Дедекинда для K и, следовательно, в формуле аналитического числа классов и теореме Брауэра – Зигеля .
Относительно дискриминант K / L является артинами проводником из регулярного представления в группе Галуа из K / L . Это обеспечивает связь с проводниками Артина характеров группы Галуа K / L , называемую формулой проводника-дискриминанта .

Ноты

дальнейшее чтение

Милн, Джеймс С. (1998), Алгебраическая теория чисел , получено 20 августа 2008 г.

Languages

In other projects