Алгебраическое целое число - Algebraic integer

В теории алгебраических чисел , алгебраическое число является комплексным числом , которое является интегралом над целыми числами. То есть алгебраическое целое число является комплексным корнем некоторого монического многочлена (многочлена, старший коэффициент которого равен 1), коэффициенты которого являются целыми числами. Множество всех алгебраических целых чисел замкнуто относительно сложения, вычитания и умножения и, следовательно, является коммутативным подкольцом комплексных чисел.

Кольцо целых чисел одного числового поля $К$ , обозначаемой $O K$ , является пересечением $K$ и $A$ : это также можно охарактеризовать как максимального порядка поля $K$ . Каждое целое алгебраическое число принадлежит кольцу целых чисел некоторого числового поля. Ряд $α$ является целым алгебраическим тогда и только тогда , когда кольцо $[$ $α$ $]$ является конечно порожден как абелевой группы , который должен сказать, как - модуль . ${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$

Определения

Ниже приведены эквивалентные определения алгебраического целого числа. Пусть $K$ будет поле число (то есть, конечное расширение из , множество рациональных чисел ), другими словами, $K$ $=$ $($ $θ$ $)$ для некоторого алгебраического числа & $thetas$ $\in$ по теореме примитивного элемента . ${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {C}}$

$α \in K$ является целым алгебраическим числом, если существует монический многочлен ${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$ такой, что $f (α) = 0$ .
$α \in K$ - целое алгебраическое число, если минимальный монический многочлен от $α$ надлежит в $[$ $x$ $]$ . ${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$
$α \in K$ - целое алгебраическое число, если $[$ $α$ $]$ конечно порожденный-модуль. ${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$
$& alpha; \in K$ является целым алгебраическимесли существует ненулевой конечно порожденныйподмодуль $M$ $\subset$ такимчто $аш$ $\subseteq$ $М$ . ${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {C}}$

Целые алгебраические числа - это частный случай целых элементов расширения кольца. В частности, целое алгебраическое число является неотъемлемым элементом конечного расширения ${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$ .

Примеры

Единственные алгебраические целые числа, которые встречаются в наборе рациональных чисел, - это целые числа. Другими словами, точки пересечения и $A$ точно совпадают . Рациональное число ${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$ $.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num,.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0 0.1em}.mw-parser-output .sfrac .den{border-top:1px solid}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px} а/б$ не является целым алгебраическим числом, если $b не$ делит $a$ . Обратите внимание, что старший коэффициент полинома $bx - a$ - это целое число $b$ . В качестве другого частного случая квадратный корень из неотрицательного целого числа $n$ является алгебраическим целым числом, но является иррациональным, если $n не$ является полным квадратом . ${\ displaystyle {\ sqrt {n}}}$
Если $d$ - целое число без квадратов, то расширение ) является квадратичным полем рациональных чисел. Кольцо целых алгебраических чисел $O$ $K$ содержит, поскольку оно является корнем монического многочлена $x$ $2$ $-$ $d$ . Более того, если $d$ $\equiv 1$ $mod$ $4$ , то элемент также является целым алгебраическим числом. Он удовлетворяет многочлену $x$ $2$ $-$ $x$ $+$ ${\ Displaystyle К = \ mathbb {Q} ({\ sqrt {d}}}$ ${\ displaystyle {\ sqrt {d}}}$ ${\ textstyle {\ frac {1} {2}} (1 + {\ sqrt {d}})}$ $1 / 4 (1 - d)$ где постоянный член $1 / 4 (1 - d)$ - целое число. Полное кольцо целых чисел генерируется или соответственно. См. Дополнительные сведения о квадратичных целых числах . ${\ displaystyle {\ sqrt {d}}}$ ${\ textstyle {\ frac {1} {2}} (1 + {\ sqrt {d}})}$
Кольцо целых чисел поля ${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$ , $α = 3 \sqrt m$ , имеет следующий интегральный базис , записывая $m = hk 2$ для двух взаимно простых целых чисел $h$ и $k без$ квадратов :

{\ displaystyle {\ begin {case} 1, \ alpha, {\ dfrac {\ alpha ^ {2} \ pm k ^ {2} \ alpha + k ^ {2}} {3k}} & m \ Equiv \ pm 1 {\ bmod {9}} \\ 1, \ alpha, {\ dfrac {\ alpha ^ {2}} {k}} и {\ text {иначе}} \ end {case}}}

Если $ζ n$ является примитивным корнем $n-$ й степени из единицы , то кольцо целых чисел кругового поля $($ $ζ$ $n$ $)$ в точности равно $[$ $ζ$ $n$ $]$ . ${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$
Если $α$ - целое алгебраическое число, то $β = n \sqrt α$ - другое целое алгебраическое число. Полином для $β$ получается заменой $x n$ в полином вместо $α$ .

Не пример

Если $Р (х)$ является примитивным многочленом , который имеет целые коэффициенты , но не унитарные, а $Р$ является неприводимым над , то ни один из корней $P$ не являются алгебраическими целыми числа (но являются алгебраическими числами ). Здесь примитив используется в том смысле, что наивысший общий множитель набора коэффициентов $P$ равен 1; это слабее, чем требование, чтобы коэффициенты были попарно взаимно простыми. ${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$

Факты

Сумма, разность и произведение двух целых алгебраических чисел является целым алгебраическим числом. В общем, их частное нет. Используемый монический полином обычно имеет более высокую степень, чем у исходных алгебраических целых чисел, и может быть найден путем взятия результирующих и разложения на множители. Например, если $x 2 - x - 1 = 0$ , $y 3 - y - 1 = 0$ и $z = xy$ , то исключение $x$ и $y$ из $z - xy = 0$ и полиномов, удовлетворяющих $x$ и $y,$ с использованием результирующего дает $z 6 - 3 z 4 - 4 z 3 + z 2 + z - 1 = 0$ , которое является неприводимым и является моническим уравнением, которому удовлетворяет произведение. (Чтобы увидеть, что $xy$ является корнем $x$ -результанта $z - xy$ и $x 2 - x - 1$ , можно использовать тот факт, что результат содержится в идеале, порожденном его двумя входными полиномами.)
Следовательно, любое число, построенное из целых чисел с корнями, сложением и умножением, является алгебраическим целым числом; но не все алгебраические целые числа так конструктивны: в наивном смысле большинство корней неприводимых квинтик - нет. Это теорема Абеля – Руффини .
Каждый корень монического многочлена, коэффициенты которого являются целыми алгебраическими числами, сам является целым алгебраическим числом. Другими словами, целые алгебраические числа образуют кольцо, целозамкнутое в любом своем расширении.
Кольцо целых алгебраических чисел является областью Безу , как следствие теоремы о главном идеале .
Если монический многочлен, связанный с алгебраическим целым числом, имеет постоянный член 1 или -1, то обратная величина этого алгебраического целого числа также является алгебраическим целым числом и является единицей , элементом группы единиц кольца алгебраических целых чисел.

Смотрите также

использованная литература

^ Маркус, Дэниел А. (1977). Числовые поля (3-е изд.). Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag . гл. 2, стр. 38 и пр. 41. ISBN 978-0-387-90279-1.

Стейн, В. Алгебраическая теория чисел: вычислительный подход (PDF) .

[1] Маркус, Дэниел А. (1977). Числовые поля (3-е изд.). Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag . гл. 2, стр. 38 и пр. 41. ISBN 978-0-387-90279-1.

Languages

In other projects