Бимодуль - Bimodule

В абстрактной алгебре , бимодуль является абелевой группой , которая является как левой и правым модуль таким образом, что левые и правые умножения совместимы. Помимо естественного появления во многих разделах математики, бимодули играют проясняющую роль в том смысле, что многие отношения между левым и правым модулями становятся проще, когда они выражаются в терминах бимодулей.

Определение

Если R и S являются два кольца , затем R - S - бимодулем является абелевой группой таким образом, что: ${\ Displaystyle (М, +)}$

1. M - левый R -модуль и правый S -модуль.
2. Для всех r в R , s в S и m в M :

${\ Displaystyle (rm) s = r (мс).}$

R - R -бимодуль также известен как R -бимодуль.

Примеры

• Для положительных целых чисел п и т , множества М _{п , м} ( Р ) из п × м матрица из действительных чисел является R - S -бимодуль, где R представляет собой кольцо М _п ( Р ) из п × п матрицы, а S - кольцо M _m ( R ) матриц размера m × m . Сложение и умножение осуществляются с использованием обычных правил сложения матриц и умножения матриц ; высота и ширина матриц были выбраны так, что умножение определено. Обратите внимание, что M _{n , m} ( R ) сам по себе не является кольцом (если n = m ), потому что умножение матрицы размера n × m на другую матрицу размера n × m не определено. Ключевое свойство бимодуля, что ( rx ) s = r ( xs ) , - это утверждение, что умножение матриц ассоциативно .
• Если R - кольцо, то само R можно рассматривать как R - R -бимодуль, считая левое и правое действия умножением - действия коммутируют по ассоциативности. Это может быть продлено до R ^н ( п -кратного прямого произведения из R ).
• Любой двусторонний идеал кольца R является R - R -бимодулем.
• Любой модуль над коммутативным кольцом R автоматически является бимодулем. Например, если M - левый модуль, мы можем определить умножение справа как то же самое, что и умножение слева. (Однако не все R -бимодули возникают таким образом.)
• Если M - левый R -модуль, то M - R - Z -бимодуль, где Z - кольцо целых чисел . Точно так же правые R -модули можно интерпретировать как Z - R -бимодули, и действительно, абелева группа может рассматриваться как Z - Z -бимодуль.
• Если R является Подкольцо из S , то S является R - R -бимодуль. Это также R - S - и S - R -бимодуль.
• Если M - S - R -бимодуль, а N - R - T -бимодуль, то является S - T -бимодулем.${\ displaystyle M \ otimes _ {R} N}$

Дополнительные понятия и факты

Если M и N являются R - S -бимодулями, то отображение f  : M → N является гомоморфизмом бимодулей, если оно является одновременно гомоморфизмом левых R -модулей и правых S -модулей.

R - S -бимодуль фактически то же самое , как левый модуль над кольцом , где находится на противоположной кольцо из S (с умножением обернулись). Гомоморфизмы бимодулей - это то же самое, что гомоморфизмы левых модулей. Используя эти факты, многие определения и утверждения о модулях могут быть немедленно переведены в определения и утверждения о бимодулях. Например, категория всех R - S -бимодулей абелева , и стандартные теоремы об изоморфизме верны для бимодулей. ${\ Displaystyle R \ otimes _ {\ mathbb {Z}} S ^ {op}}$${\ displaystyle S ^ {op}}$${\ Displaystyle R \ otimes _ {\ mathbb {Z}} S ^ {op}}$

Однако в мире бимодулей появляются некоторые новые эффекты, особенно когда речь идет о тензорном произведении : если M - R - S -бимодуль, а N - S - T -бимодуль, то тензорное произведение M и N (взятого над кольцом S ) естественным образом является R - T -бимодулем. Это тензорное произведение бимодулей ассоциативно (с точностью до единственного канонического изоморфизма), поэтому можно построить категорию, объектами которой являются кольца, а морфизмами - бимодули. Фактически это 2-категория каноническим образом - 2 морфизма между R - S -бимодулями M и N являются в точности бимодульными гомоморфизмами, т. Е. Функциями

${\ displaystyle f: M \ rightarrow N}$

удовлетворение

1. ${\ Displaystyle е (т + т ') = е (т) + е (м')}$
2. ${\ displaystyle f (rms) = rf (m) s}$,

для м ∈ M , R ∈ R , и s ∈ S . Сразу проверяется закон перестановки для бимодульных гомоморфизмов, т. Е.

${\ Displaystyle (е '\ otimes g') \ circ (f \ otimes g) = (f '\ circ f) \ otimes (g' ​​\ circ g)}$

выполняется всякий раз, когда определена одна из сторон уравнения (а значит, и другая), и где - обычная композиция гомоморфизмов. В этой интерпретации, категория End ( R ) = Bimod ( R , R ) является именно моноидальной категорией из R - R -bimodules с обычным тензорным произведением над R тензорного произведением категории. В частности, если R - коммутативное кольцо , каждый левый или правый R -модуль канонически является R - R -бимодулем, что дает моноидальное вложение категории R - Mod в Bimod ( R , R ) . Случай, когда R является полем K, является мотивирующим примером симметричной моноидальной категории, и в этом случае R - Mod = K - Vect , категории векторных пространств над K , с обычным тензорным произведением, задающим моноидальную структуру, и с единичной K . Мы также видим, что моноид в Bimod ( R , R ) является в точности R -алгеброй. См. (Street 2003). Более того, если M является R - S -бимодулем и L является T - S -бимодулем, то множество Hom _S ( M , L ) всех гомоморфизмов S -модулей из M в L становится T - R -модулем в некотором естественная мода. Эти утверждения распространяются на производные функторы Ext и Tor . ${\ displaystyle \ otimes = \ otimes _ {K}}$

Профункторы можно рассматривать как категориальное обобщение бимодулей.

Отметим, что бимодули никак не связаны с биалгебрами .

Смотрите также

• профунктор

Ссылки

• Якобсон, Н. (1989). Основная алгебра II . WH Freeman and Company. С. 133–136. ISBN 0-7167-1933-9.