Завершение кольца - Completion of a ring

В абстрактной алгебре , завершение является одной из нескольких связанных функторов на кольцах и модулях , которые приводят в полных топологических кольцах и модулях . Завершение похоже на локализацию , и вместе они являются одними из самых основных инструментов в анализе коммутативных колец . Полные коммутативные кольца имеют более простую структуру, чем общие, и к ним применима лемма Гензеля . В алгебраической геометрии пополнение кольца функций R в пространстве X концентрируется на формальной окрестности точки X : эвристически это окрестность настолько мала, что все ряды Тейлора с центром в этой точке сходятся. Алгебраическое завершение строится способом , аналогичное завершение в виде метрического пространства с последовательностями Коши , и согласно с ним в том случае , когда R имеет метрику задается неархимедовом абсолютного значения .

Общая конструкция

Предположим, что E - абелева группа с убывающей фильтрацией

${\ Displaystyle E = F ^ {0} E \ supset F ^ {1} E \ supset F ^ {2} E \ supset \ cdots \,}$

подгрупп. Затем определяется завершение (относительно фильтрации) как обратный предел :

${\ displaystyle {\ widehat {E}} = \ varprojlim (E / F ^ {n} E). \,}$

Это снова абелева группа. Обычно E - аддитивная абелева группа. Если E имеет дополнительную алгебраическую структуру, совместимую с фильтрацией, например E - это фильтрованное кольцо , фильтрованный модуль или фильтрованное векторное пространство , то его завершение снова является объектом с той же структурой, которая завершена в топологии, определяемой фильтрацией. . Эта конструкция применима как к коммутативным, так и к некоммутативным кольцам . Как и следовало ожидать, когда пересечение равняется нулю, получается полное топологическое кольцо . ${\ displaystyle F ^ {i} E}$

Топология Крулля

В коммутативной алгебре , фильтрация на коммутативное кольцо R по степеням правильного идеала Я определяет топологию Крулля (после того, как Wolfgang Крулля ) или I -адической топологии на R . Особенно важен случай максимального идеала , например выделенного максимального идеала оценочного кольца . Основой открытых окрестностей 0 в R даются полномочиями I ^п , которые вложены и образуют убывающую фильтрацию на R : ${\ displaystyle I = {\ mathfrak {m}}}$

${\ displaystyle F ^ {0} R = R \ supset I \ supset I ^ {2} \ supset \ cdots, \ quad F ^ {n} R = I ^ {n}.}$

(Открытые окрестности любого г ∈ R задаются смежности г + I ^п .) Завершение является обратным пределом из фактор - колец ,

${\ displaystyle {\ widehat {R}} _ {I} = \ varprojlim (R / I ^ {n})}$

произносится "RI шляпа". Ядро канонического отображения П от кольца до его завершения является пересечением полномочий I . Таким образом, π инъективно тогда и только тогда, когда это пересечение сводится к нулевому элементу кольца; по теореме Крулля о пересечении это случай любого коммутативного нётерова кольца, которое является либо областью целостности, либо локальным кольцом .

Существует родственная топология на R - модулях, называемых также Krull или я - адическая топология . Базисом открытых окрестностей модуля M служат множества вида

${\ displaystyle x + I ^ {n} M \ quad {\ text {for}} x \ in M.}$

Пополнение R -модуля M является обратным пределом частных

${\ displaystyle {\ widehat {M}} _ {I} = \ varprojlim (M / I ^ {n} M).}$

Эта процедура превращает любой модуль над R в полный топологический модуль над . ${\ displaystyle {\ widehat {R}} _ {I}}$

Примеры

• Кольцо целых p -адических чисел получается дополнением кольца целых чисел в идеале ( p ).${\ Displaystyle \ mathbb {Z} _ {p}}$${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$

• Пусть Р = К [ х ₁ , ..., х _п ] быть кольцо многочленов в п переменных над полем K и максимальный идеал , порожденный переменными. Затем завершение является кольцо К [[ х ₁ , ..., х _п ]] из формальных степенных рядов в п переменных над K .${\ Displaystyle {\ mathfrak {m}} = (x_ {1}, \ ldots, x_ {n})}$${\ displaystyle {\ widehat {R}} _ {\ mathfrak {m}}}$

• Принимая во внимание нётерово кольцо и идеальное -адическая завершение представляет собой изображение из кольца формальных степенных рядов, в частности, образ сюръекции${\ displaystyle R}$${\ displaystyle I = (f_ {1}, \ ldots, f_ {n}),}$${\ displaystyle I}$${\ displaystyle R}$

${\ displaystyle {\ begin {case} R [[x_ {1}, \ ldots, x_ {n}]] \ to {\ widehat {R}} _ {I} \\ x_ {i} \ mapsto f_ {i } \ end {case}}}$

Ядро идеальное ${\ displaystyle (x_ {1} -f_ {1}, \ ldots, x_ {n} -f_ {n}).}$

Пополнения также могут быть использованы для анализа локальной структуры особенностей одного схемы . Например, аффинные схемы, связанные с кривой узловой кубической плоскости, имеют похожие особенности в начале координат при просмотре их графиков (обе выглядят как знак плюса). Обратите внимание, что во втором случае любая окрестность начала координат Зарисского по-прежнему является неприводимой кривой. Если мы используем завершения, то мы смотрим на «достаточно маленькую» окрестность, где узел состоит из двух компонентов. Взятие локализаций этих колец вдоль идеала и завершение дает и, соответственно, где - формальный квадратный корень в Более явно, степенной ряд: ${\ Displaystyle \ mathbb {C} [х, у] / (ху)}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {C} [х, у] / (у ^ {2} -x ^ {2} (1 + х))}$${\ Displaystyle (х, у)}$${\ Displaystyle \ mathbb {C} [[х, у]] / (ху)}$${\ Displaystyle \ mathbb {C} [[х, у]] / ((у + и) (ю))}$${\ displaystyle u}$${\ Displaystyle х ^ {2} (1 + х)}$${\ displaystyle \ mathbb {C} [[x, y]].}$

${\ displaystyle u = x {\ sqrt {1 + x}} = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {n} (2n)!} {(1- 2n) (n!) ^ {2} (4 ^ {n})}} x ^ {n + 1}.}$

Поскольку оба кольца задаются пересечением двух идеалов, порожденных однородным многочленом степени 1, мы можем алгебраически увидеть, что особенности «выглядят» одинаково. Это связано с тем, что такая схема представляет собой объединение двух неравных линейных подпространств аффинной плоскости.

Характеристики

1. Пополнение - это функториальная операция: непрерывное отображение топологических колец f :  R  →  S порождает отображение их пополнений,

${\ displaystyle {\ widehat {f}}: {\ widehat {R}} \ to {\ widehat {S}}.}$

Более того, если M и N - два модуля над одним топологическим кольцом R и f :  M  →  N - непрерывное отображение модулей, то f однозначно продолжается до отображения пополнений:

${\ displaystyle {\ widehat {f}}: {\ widehat {M}} \ to {\ widehat {N}},}$

где модули над${\ displaystyle {\ widehat {M}}, {\ widehat {N}}}$${\ displaystyle {\ widehat {R}}.}$

2. завершение нётерова кольца R представляет собой плоский модуль над R .

3. Пополнение конечно порожденного модуля M над нётеровым кольцом R может быть получено расширением скаляров :

${\ displaystyle {\ widehat {M}} = M \ otimes _ {R} {\ widehat {R}}.}$

Вместе с предыдущим свойством это означает, что функтор пополнения конечно порожденных R -модулей точен : он сохраняет короткие точные последовательности . В частности, факторизация колец коммутирует с пополнением, что означает, что для любой факторной R -алгебры существует изоморфизм ${\ displaystyle R / I}$

${\ displaystyle {\ widehat {R / I}} \ cong {\ widehat {R}} / {\ widehat {I}}.}$

4. Структурная теорема Коэна (равнохарактерный случай). Пусть R быть полным локальным нётеровым коммутативное кольцо с максимальным идеалом и полем вычетов K . Если R содержит поле, то ${\ displaystyle {\ mathfrak {m}}}$

${\ Displaystyle R \ simeq К [[x_ {1}, \ ldots, x_ {n}]] / I}$

для некоторого n и некоторого идеала I (Эйзенбуд, теорема 7.7).

Смотрите также

• Формальная схема
• Бесконечное целое число
• Локально компактное поле
• Кольцо Зарисского
• Линейная топология
• Квази-несмешанное кольцо

Цитаты

использованная литература