Прюфер домен - Prüfer domain

В математике , А домен прюферово является типом коммутативного кольца , обобщающие дедекиндовыми доменов в не нётеровом контексте. Эти кольца обладают хорошими идеальными и модульными свойствами дедекиндовских областей, но обычно только для конечно порожденных модулей . Домены Прюфера названы в честь немецкого математика Хайнца Прюфера .

Примеры

Кольцо целых функций на открытой комплексной плоскости образуют область Прюфера. Кольцо целочисленных многочленов с рациональными числовыми коэффициентами является областью Прюфера, хотя кольцо целочисленных многочленов - нет ( Narkiewicz 1995 , p. 56). В то время как каждое числовое кольцо является областью Дедекинда , их объединение, кольцо алгебраических целых чисел , является областью Прюфера. Так же, как домен Дедекинда является локально дискретным кольцом оценки , домен Прюфера является локальным кольцом оценки , так что домены Прюфера действуют как нётеровы аналоги доменов Дедекинда. Действительно, домен, который является прямым пределом подколец, которые являются доменами Прюфера, является доменом Прюфера ( Fuchs & Salce 2001 , стр. 93–94). ${\ displaystyle C}$ ${\ Displaystyle Z [X]}$

Многие области Прюфера также являются областями Безу , т. Е. Не только проективны конечно порожденные идеалы , они даже свободны (то есть главны ). Например, кольцо аналитических функций на любой некомпактной римановой поверхности является областью Безу ( Helmer 1940 ), а кольцо алгебраических целых чисел - областью Безу.

Определения

Prüfer домен является полунаследственна областью целостности . Эквивалентно, область Прюфера может быть определена как коммутативное кольцо без делителей нуля, в котором любой ненулевой конечно порожденный идеал обратим. Известно много различных характеристик доменов Прюфера. Бурбаки перечисляет их четырнадцать, ( Gilmer 1972 ) около сорока, а ( Fontana, Huckaba & Papick 1997 , p. 2) открывает девять.

В качестве образца, следующие условия на области целостности R эквивалентны R являющуюся область прюферова, т.е. любой конечно порожденный идеал R является проективным :

Идеальная арифметика

Каждый ненулевой конечно порожденный идеал я из R является обратимым : то есть , где и это поле фракций из R . Точно так же любой ненулевой идеал, порожденный двумя элементами, обратим. ${\ Displaystyle \ I \ cdot I ^ {- 1} = R}$ ${\ displaystyle I ^ {- 1} = \ {r \ in q (R): rI \ substeq R \}}$ ${\ Displaystyle \ q (R)}$
Для любых (конечно порожденных) ненулевых идеалов I , J , K из R , следующее Дистрибутивность свойство:

{\ Displaystyle I \ cap (J + K) = (I \ cap J) + (I \ cap K).}

Для любого (конечно порожденного) идеалов Я , J , K из R , следующее Дистрибутивность свойства:

{\ displaystyle I (J \ cap K) = IJ \ cap IK.}

Для любых (конечно порожденных) ненулевых идеалов I , J из R , справедливо следующее свойство:

{\ Displaystyle (I + J) (I \ cap J) = IJ.}

Для любых конечно порожденных идеалов Я , J , K из R , если И.Я. = IK , то J = К или I = 0.

Локализации

Для каждого простого идеала P из R , то локализация Р _Р из R в P является доменом оценки .
Для каждого максимального идеала m в R локализация R _m кольца R в m является областью оценки.
R целозамкнут и каждое надкольцо из R (то есть, кольцо , заключенного между R и его полем частных ) является пересечением локализаций R

Плоскостность

Каждый R -модуль без кручения плоский .
Каждый R -модуль без кручения плоский.
Каждый идеал в R плоский
Каждое оверольцо R является R -плоским
Каждый подмодуль плоского R -модуля плоский.
Если M и N R -модули без кручения, то их тензорное произведение M ⊗ _R N не имеет кручения.
Если I и J - два идеала кольца R, то I ⊗ _R J не имеет кручения.
Подмодуль кручения каждого конечно порожденного модуля является прямым слагаемым , ( Капланским 1960 ).

Интегральное закрытие

Каждый надкольцо является целозамкнуто ${\ displaystyle R}$
${\ displaystyle R}$ целозамкнуто и есть некоторое положительное целое число , такое , что для каждого , в один есть . ${\ displaystyle n}$ ${\ displaystyle a}$ ${\ displaystyle b}$ ${\ displaystyle R}$ ${\ Displaystyle (а, б) ^ {п} = (а ^ {п}, б ^ {п})}$
${\ displaystyle R}$ целозамкнута и каждый элемент поля частного из является корнем полинома в коэффициентах которого генерирует как - модуль, ( Джилмер & Hoffmann 1975 , стр. 81). ${\ displaystyle K}$ ${\ displaystyle R}$ ${\ displaystyle R [x]}$ ${\ displaystyle R}$ ${\ displaystyle R}$

Характеристики

Коммутативное кольцо является дедекиндовым доменом тогда и только тогда, когда оно является прюферовым и нётеровым .
Хотя области Прюфера не обязательно должны быть нётеровыми, они должны быть когерентными , поскольку конечно порожденные проективные модули конечно связаны .
Хотя все идеалы дедекиндовских областей могут быть порождены двумя элементами, для любого положительного целого числа n существуют прюферские области с конечно порожденными идеалами, которые не могут быть порождены менее чем n элементами ( Swan 1984 ). Однако конечно порожденные максимальные идеалы прюферовых областей двупорождены ( Fontana, Huckaba & Papick 1997 , p. 31).
Если R - область Прюфера, а K - ее поле частных , то любое кольцо S такое, что R ⊆ S ⊆ K, является областью Прюфера.
Если R является областью прюферово, К является его полем частных , и L представляет собой алгебраическое расширение поля из К , то целое замыкание R в L является областью прюферово, ( Fuchs & Salce 2001 , стр. 93).
Конечно порожденный модуль M над областью Прюфера является проективным тогда и только тогда, когда он не имеет кручения. Фактически, это свойство характеризует прюферские домены.
(Gilmer-Hoffmann Теорема) Предположим , что область целостности, поле частных, и является целым замыканием из в . Тогда есть область прюферово тогда и только тогда , когда каждый элемент является корнем многочлена в по меньшей мере один из коэффициентов которого является блоком из , ( Джилмер & Hoffmann 1975 , теорема 2). ${\ displaystyle R}$ ${\ displaystyle K}$ ${\ displaystyle S}$ ${\ displaystyle R}$ ${\ displaystyle K}$ ${\ displaystyle S}$ ${\ displaystyle K}$ ${\ Displaystyle R [X]}$ ${\ displaystyle R}$
Коммутативная область является дедекиндовской областью тогда и только тогда, когда подмодуль кручения является прямым слагаемым, когда он ограничен (ограниченность M означает, что rM = 0 для некоторого r в R ) ( Chase 1960 ). Аналогично, коммутативная область является областью Прюфера тогда и только тогда, когда подмодуль кручения является прямым слагаемым всякий раз, когда он конечно порожден ( Kaplansky 1960 ).

Обобщения

В более общем смысле кольцо Прюфера - это коммутативное кольцо, в котором любой ненулевой конечно порожденный идеал, состоящий только из ненулевых делителей, обратим (то есть проективен).

Коммутативное кольцо называется арифметическим , если для любого максимального идеала т в R , локализация R _м от R на м является цепным кольцом . Согласно этому определению арифметическая область - это область Прюфера.

Некоммутативные правые или левые полунаследственные области также могут рассматриваться как обобщения областей Прюфера.

Смотрите также

Разделенный домен

Languages

In other projects