Амицур комплекс - Amitsur complex

В алгебре комплекс Амицура - это естественный комплекс, связанный с гомоморфизмом колец . Он был введен Шимшоном Амицуром  ( 1959 ). Когда гомоморфизм строго плоский , комплекс Амицура точен (таким образом определяя разрешение), что является основой теории строго плоского спуска .

Это понятие следует рассматривать как механизм, выходящий за рамки традиционной локализации колец и модулей .

Определение

Пусть - гомоморфизм колец (необязательно коммутативных). Сначала определите косимплициальное множество (где относится , а не ) следующим образом. Определите карты лиц , вставив 1 в i-е место: ${\ displaystyle \ theta \ двоеточие R \ to S}$ ${\ displaystyle C ^ {\ bullet} = S ^ {\ otimes \ bullet +1}}$${\ displaystyle \ otimes}$${\ displaystyle \ otimes _ {R}}$${\ displaystyle \ otimes _ {\ mathbb {Z}}}$${\ displaystyle d ^ {i} \ двоеточие S ^ {\ otimes {n + 1}} \ to S ^ {\ otimes n + 2}}$

${\ displaystyle d ^ {i} (x_ {0} \ otimes \ cdots \ otimes x_ {n}) = x_ {0} \ otimes \ cdots \ otimes x_ {i-1} \ otimes 1 \ otimes x_ {i} \ otimes \ cdots \ otimes x_ {n}.}$

Определите вырождения , умножив i-е и ( i  + 1) -е пятна: ${\ displaystyle s ^ {i} \ двоеточие S ^ {\ otimes n + 1} \ to S ^ {\ otimes n}}$

${\ displaystyle s ^ {i} (x_ {0} \ otimes \ cdots \ otimes x_ {n}) = x_ {0} \ otimes \ cdots \ otimes x_ {i} x_ {i + 1} \ otimes \ cdots \ иногда x_ {n}.}$

Они удовлетворяют «очевидным» косимплициальным тождествам и, следовательно, являются косимплициальным множеством. Затем он определяет комплекс с дополнением , комплекс Амицура : ${\ displaystyle S ^ {\ otimes \ bullet +1}}$${\ displaystyle \ theta}$

${\ displaystyle 0 \ to R \, {\ overset {\ theta} {\ to}} \, S \, {\ overset {\ delta ^ {0}} {\ to}} \, S ^ {\ otimes 2 } \, {\ overset {\ delta ^ {1}} {\ to}} \, S ^ {\ otimes 3} \ to \ cdots}$

куда ${\ displaystyle \ delta ^ {n} = \ sum _ {i = 0} ^ {n + 1} (- 1) ^ {i} d ^ {i}.}$

Точность комплекса Амицур

Совершенно плоский корпус

В приведенных выше обозначениях, если он точно плоский, то теорема Александра Гротендика утверждает, что (расширенный) комплекс точен и, следовательно, является резольвентой. В более общем смысле , если правильно строго плоский, то для каждого левого R - модуля M , ${\ displaystyle \ theta}$${\ displaystyle 0 \ to R {\ overset {\ theta} {\ to}} S ^ {\ otimes \ bullet +1}}$${\ displaystyle \ theta}$

${\ displaystyle 0 \ to M \ to S \ otimes _ {R} M \ to S ^ {\ otimes 2} \ otimes _ {R} M \ to S ^ {\ otimes 3} \ otimes _ {R} M \ в \ cdots}$

точно.

Доказательство :

Шаг 1 : Утверждение верно, если расщепляется как кольцевой гомоморфизм. ${\ displaystyle \ theta \ двоеточие R \ to S}$

Это « расщепление» означает некоторый гомоморфизм ( это ретракция и сечение). Учитывая такое , определим ${\ displaystyle \ theta}$${\ displaystyle \ rho \ circ \ theta = \ operatorname {id} _ {R}}$${\ Displaystyle \ rho \ двоеточие от S \ до R}$${\ displaystyle \ rho}$${\ displaystyle \ theta}$${\ displaystyle \ rho}$

${\ displaystyle h \ двоеточие S ^ {\ otimes n + 1} \ otimes M \ to S ^ {\ otimes n} \ otimes M}$

к

${\ displaystyle {\ begin {align} & h (x_ {0} \ otimes m) = \ rho (x_ {0}) \ otimes m, \\ & h (x_ {0} \ otimes \ cdots \ otimes x_ {n}) \ otimes m) = \ theta (\ rho (x_ {0})) x_ {1} \ otimes \ cdots \ otimes x_ {n} \ otimes m. \ end {выровнено}}}$

Несложное вычисление показывает следующее тождество: с , ${\ displaystyle \ delta ^ {- 1} = \ theta \ otimes \ operatorname {id} _ {M} \ двоеточие M \ to S \ otimes _ {R} M}$

${\ displaystyle h \ circ \ delta ^ {n} + \ delta ^ {n-1} \ circ h = \ operatorname {id} _ {S ^ {\ otimes n + 1} \ otimes M}}$ .

Это означает, что h является гомотопическим оператором и, таким образом, определяет отображение нуля на когомологиях: т. Е. Комплекс точен. ${\ displaystyle \ operatorname {id} _ {S ^ {\ otimes n + 1} \ otimes M}}$

Шаг 2 : Утверждение в целом верно.

Отметим, что это раздел . Таким образом, из шага 1, примененного к гомоморфизму расщепленных колец, следует: ${\ Displaystyle S \ to T: = S \ otimes _ {R} S, \, x \ mapsto 1 \ otimes x}$${\ displaystyle T \ to S, \, x \ otimes y \ mapsto xy}$${\ displaystyle S \ to T}$

${\ displaystyle 0 \ to M_ {S} \ to T \ otimes _ {S} M_ {S} \ to T ^ {\ otimes 2} \ otimes _ {S} M_ {S} \ to \ cdots,}$

где , точно. Так как и т. Д. Под "точно плоский" исходная последовательность является точной. ${\ displaystyle M_ {S} = S \ otimes _ {R} M}$${\ displaystyle T \ otimes _ {S} M_ {S} \ simeq S ^ {\ otimes 2} \ otimes _ {R} M}$${\ Displaystyle \ квадрат}$

Случай дуговой топологии

Бхаргав Бхатт и Питер Шольце  ( 2019 , §8) показывают, что комплекс Амицура является точным, если R и S являются (коммутативными) совершенными кольцами , а отображение требуется, чтобы оно было покрытием в топологии дуги (что является более слабым условием, чем наличие крышка в плоской топологии ).

Рекомендации

• Артин, Майкл (1999), Некоммутативные кольца (заметки к лекциям Беркли) (PDF)
• Амицур, Шимшон (1959), "Простые алгебры и группы когомологий произвольных полей", Труды Американского математического общества , 90 (1): 73–112
• Бхатт, Бхаргав ; Шольце, Питер (2019), Призмы и призматические когомологии , arXiv : 1905.08229
• Комплекс Амицур в nLab