Радикал Якобсона - Jacobson radical

В математике , более конкретно теория колец , то Jacobson радикал из кольца является идеальной , состоящим из тех элементов , в том аннигиляции всех простых правых - модули . Бывает, что замена «левого» вместо «правого» в определении дает тот же идеал, и поэтому понятие симметрично влево-вправо. Радикал Джекобсона кольца часто обозначается символом или ; в этой статье будет предпочтительнее первое обозначение, поскольку оно позволяет избежать путаницы с другими радикалами кольца . Радикал Джекобсона назван в честь Натана Джейкобсона , который первым изучил его для произвольных колец в ( Jacobson 1945 ). ${\ displaystyle R}$${\ displaystyle R}$${\ displaystyle R}$${\ Displaystyle J (R)}$${\ displaystyle rad (R)}$

Радикал Джекобсона кольца имеет множество внутренних характеристик, включая несколько определений, которые успешно распространяют это понятие на кольца без единицы . Радикал модуля расширяет определение Jacobson радикал , чтобы включать в себя модули. Радикал Джекобсона играет важную роль во многих результатах теории колец и модулей, таких как лемма Накаямы .

Определения

Существует несколько эквивалентных определений и характеристик радикала Джекобсона, но полезно рассмотреть определения, основанные на том, является ли кольцо коммутативным или нет.

Коммутативный падеж

В коммутативном случае радикал Джекобсона коммутативного кольца определяется как пересечение всех максимальных идеалов . Если обозначить как множество всех максимальных идеалов в, то${\ displaystyle R}$${\ displaystyle {\ mathfrak {m}}}$${\ displaystyle {\ text {Specm}} (R)}$${\ displaystyle R}$

${\ Displaystyle J (R) = \ bigcap _ {{\ mathfrak {m}} \ in {\ text {Specm}} (R)} {\ mathfrak {m}}}$

Это определение можно использовать для явных вычислений в ряде простых случаев, например, для локальных колец , которые имеют единственный максимальный идеал, колец Артина и их произведений. См. Раздел примеров для явных вычислений. ${\ displaystyle (R, {\ mathfrak {p}})}$

Некоммутативный / общий случай

Для общего кольца с единицей радикал Джекобсона определяется как идеал всех элементов, таких что всякий раз является простым модулем. Это,${\ displaystyle R}$${\ Displaystyle J (R)}$${\ displaystyle r \ in R}$${\ displaystyle rM = 0}$${\ displaystyle M}$

Это эквивалентно определению в коммутативных случае для коммутативного кольца , потому что простые модули над коммутативными кольцами имеют формы для некоторых максимального идеала , и только уничтожители в в , то есть . ${\ displaystyle R}$${\ Displaystyle R / {\ mathfrak {m}}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {m}} \ in {\ text {Specm}} (R)}$${\ Displaystyle R / {\ mathfrak {m}}}$${\ displaystyle R}$${\ displaystyle {\ mathfrak {m}}}$${\ displaystyle {\ text {Ann}} _ {R} (R / {\ mathfrak {m}}) = {\ mathfrak {m}}}$

Мотивация

Понимание радикала Джекобсона лежит в нескольких различных случаях: а именно в его приложениях и результирующих геометрических интерпретациях и его алгебраических интерпретациях.

Геометрические приложения

Хотя Джекобсон первоначально представил свой радикал как метод построения теории радикалов для произвольных колец, одной из мотивирующих причин, почему радикал Джекобсона рассматривается в коммутативном случае, является лемма Накаямы . Это технический инструмент для изучения конечно порожденных модулей над коммутативными кольцами, который имеет простую геометрическую интерпретацию: если у нас есть векторное расслоение над топологическим пространством и мы выберем точку , то любой базис можно расширить до базиса сечений для какое-то соседство . ${\ displaystyle E \ to X}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle p \ in X}$${\ displaystyle E | _ {p}}$${\ displaystyle E | _ {U} \ to U}$${\ Displaystyle р \ в U \ подмножество X}$

Другое приложение - в случае конечно порожденных коммутативных колец, значение имеет вид${\ displaystyle R}$

для некоторого базового кольца (например, поля или кольца целых чисел). В этом случае нильрадикал и радикал Джекобсона совпадают. Это означает, что мы можем интерпретировать радикал Джекобсона как меру того, насколько далек идеал, определяющий кольцо , от определения кольца функций на алгебраическом многообразии в силу теоремы Гильберта Нуллстеллензаца . Это связано с тем, что алгебраические многообразия не могут иметь кольцо функций с бесконечно малыми величинами: это структура, которая рассматривается только в теории схем . ${\ displaystyle k}$${\ displaystyle I}$${\ displaystyle R}$

Эквивалентные характеристики

Радикал Джекобсона кольца имеет различные внутренние и внешние характеристики. Следующие эквивалентности появляются во многих текстах по некоммутативной алгебре, таких как ( Anderson 1992 , §15) , (

Isaacs 1994 , §13B) и ( Lam 2001 , Ch 2). ошибка harv: цель отсутствует: CITEREFAnderson1992 ( справка )ошибка harv: цель отсутствует: CITEREFIsaacs1994 ( справка )

Ниже приведены эквивалентные характеристики радикала Джекобсона в кольцах с единицей (характеристики для колец без единицы приводятся сразу после):

• ${\ Displaystyle J (R)}$равно пересечению всех максимальных правых идеалов кольца. Эквивалентность вытекает из того факта, что для всех максимальных правых идеалов M , R / M является простым правым R -модулем и что фактически все простые правые R-модули изоморфны одному из этих типов посредством отображения из R в S, заданного с помощью г  ↦ хт для любого генератора х из S . Также верно, что это равен пересечению всех максимальных левых идеалов внутри кольца. Эти характеризации являются внутренними по отношению к кольцу, так как нужно только найти максимальные правые идеалы кольца. Например, если кольцо

локально и имеет единственный максимальный правый идеал , то этот единственный максимальный правый идеал является точным . Максимальные идеалы в определенном смысле искать легче, чем аннигиляторы модулей. Однако эта характеристика недостаточна, потому что она бесполезна при вычислительной работе с . Лево-правая симметрия этих двух определений примечательна и имеет различные интересные следствия. Эта симметрия означает , в отличии от отсутствия симметрии в цоколях из R , потому что может случиться так, что SOC ( R _R ) не равна SOC ( _R R ). Если R не является коммутативным кольцом, не обязательно совпадает с пересечением всех максимальных двусторонних идеалов R . Например, если V - счетная прямая сумма копий поля k и R  = End ( V ) (кольцо эндоморфизмов V как k -модуль), то, поскольку известно, что он регулярный по фон Нейману , но существует ровно один максимальный двусторонний идеал в R, состоящий из эндоморфизмов с конечномерным образом. ( Лам 2001 , стр. 46, Пример 3.15)${\ Displaystyle J (R)}$${\ Displaystyle J (R)}$${\ Displaystyle J (R)}$${\ Displaystyle J (R)}$${\ Displaystyle J (R) = 0}$${\ displaystyle R}$

${\ Displaystyle J (R)}$равна сумме всех лишних правых идеалов (или симметрично, сумма всех лишних левых идеалов) от R . Сравнивая это с предыдущим определением, сумма лишних правых идеалов равна пересечению максимальных правых идеалов. Это явление отражается двояко для правого цоколя R ; soc ( R _R ) - это сумма минимальных правых идеалов и пересечение существенных правых идеалов . Фактически, эти два отношения справедливы для радикалов и цоколей модулей в целом.

Как определено в введении, составляет пересечение всех

аннигиляторов из простых правых R - модулей, однако это также верно , что это пересечение аннуляторов простых левых модулей. Идеал, который является аннулятором простого модуля, известен как примитивный идеал , и поэтому его переформулировка утверждает, что радикал Джекобсона является пересечением всех примитивных идеалов. Эта характеризация полезна при изучении модулей над кольцами. Например, если U является правым R - модуль, а V представляет собой максимальный подмодуль из U , U · J ( R ) содержится в V , где U · J ( R ) обозначает все продукты элементов J ( R ) ( «скаляры») с элементами в U , справа. Это следует из того факта, что фактор-модуль U / V прост и, следовательно, аннулируется J ( R ).${\ Displaystyle J (R)}$

J ( R ) - единственный правый идеал R, максимальный, обладающий тем свойством, что каждый элемент квазирегулярен справа (или, что эквивалентно, квазирегулярен слева). Эта характеристика радикала Джекобсона полезна как с точки зрения вычислений, так и с точки зрения интуиции. Кроме того, эта характеризация полезна при изучении модулей над кольцом. Лемма Накаямы, пожалуй, самый известный пример этого. Хотя каждый элемент J ( R ) обязательно является квазирегулярным , не каждый квазирегулярный элемент обязательно является членом J ( R ).

Хотя не каждая квазирегулярная элемент в , можно показать , что

у в том и только тогда , когда х является левым квазирегулярной для всех х в R . ( Лам 2001 , с. 50)${\ Displaystyle J (R)}$${\ Displaystyle J (R)}$

${\ Displaystyle J (R)}$есть множество элементов х ∈ R таким образом, что каждый элемент 1 + RXR является единицей: . Фактически, находится в радикале Джекобсона тогда и только тогда, когда 1 +

xy обратимо для любого , тогда и только тогда, когда 1+ yx обратимо для любого . Это означает, что xy и yx ведут себя аналогично нильпотентному элементу z с z ^{n +1} = 0 и .${\ Displaystyle \ OperatorName {J} (R) = \ {x \ in R \ mid 1 + RxR \ subset R ^ {\ times} \}}$${\ displaystyle y \ in R}$${\ displaystyle x \ in R}$${\ displaystyle x \ in R}$${\ displaystyle (1 + z) ^ {- 1} = 1-z + z ^ {2} - \ cdots \ pm z ^ {n}}$

Для колец без единицы возможно R  = J ( R ); однако равенство J ( R / J ( R )) = {0} по-прежнему выполняется. Следующие эквивалентные характеристики J ( R ) для колец без единицы ( Лам 2001 , стр. 63):

• Понятие левой квазирегулярности можно обобщить следующим образом. Вызов элемент в

R левый обобщенный Квазирегулярные , если существует C в R такое , что с + - са  = 0. Тогда J ( R ) состоит из любого элемента а , для которых ра осталось обобщенную Квазирегулярные для всех г в R . Можно проверить, что это определение совпадает с предыдущим квазирегулярным определением для колец с единицей.

Для кольца без единицы определение левого простого модуля M изменяется, добавляя условие, что R • M  ≠ 0. При таком понимании J ( R ) может быть определено как пересечение всех аннуляторов простых левых R- модулей, или просто R, если простых левых R- модулей нет. Кольца без единицы без простых модулей действительно существуют, и в этом случае R  = J ( R ), и кольцо называется радикальным кольцом . Используя обобщенную квазирегулярную характеристику радикала, становится ясно, что если найти кольцо с ненулевым J ( R ), то J ( R ) будет радикальным кольцом, если рассматривать его как кольцо без единицы.

Примеры

Коммутативные примеры

• Для кольца целых чисел его радикал Джекобсона является нулевым идеалом, так как он задается пересечением каждого идеала, порожденного простым числом . Поскольку , и мы берем бесконечное пересечение, у которого нет общих элементов, кроме всех максимальных идеалов, у нас есть вычисление.${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$${\ Displaystyle J (\ mathbb {Z}) = (0)}$${\ displaystyle (p)}$${\ displaystyle (p_ {1}) \ cap (p_ {2}) = (p_ {1} \ cdot p_ {2})}$${\ displaystyle 0}$
• Для локального кольца радикал Джекобсона прост . Это важный случай, поскольку он используется при применении леммы Накаямы. В частности, это означает , если у нас есть алгебраическое векторное расслоение над схемой или алгебраического многообразием , и мы фиксируем основу для каких - то момент , то это базисных подъемников к набору генераторов для всех секций для некоторых окрестностей из .${\ displaystyle (R, {\ mathfrak {p}})}$${\ Displaystyle J (R) = {\ mathfrak {p}}}$${\ displaystyle E \ to X}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle E | _ {p}}$${\ displaystyle p \ in X}$${\ displaystyle E | _ {U} \ to U}$${\ displaystyle U}$${\ displaystyle p}$
• Если - поле и кольцо

формальных степенных рядов , то состоит из тех степенных рядов, постоянный член которых равен нулю, т. Е. Степенных рядов в идеале .${\ displaystyle k}$${\ Displaystyle R = К [[X_ {1}, \ точки, X_ {n}]]}$${\ Displaystyle J (R)}$${\ Displaystyle (X_ {1}, \ ldots, X_ {n})}$

В случае кольца Артина , например , радикал Джекобсона равен .${\ displaystyle \ mathbb {C} [t_ {1}, t_ {2}] / (t_ {1} ^ {4}, t_ {1} ^ {2} t_ {2} ^ {2}, t_ {2 } ^ {9})}$${\ Displaystyle (т_ {1}, т_ {2})}$

Предыдущий пример можно было бы распространить на кольцо , дав .${\ Displaystyle R = \ mathbb {C} [t_ {2}, t_ {3}, \ ldots] / (t_ {2} ^ {2}, t_ {3} ^ {3}, \ ldots)}$${\ Displaystyle J (R) = (t_ {2}, t_ {3}, \ ldots)}$

Радикал Джекобсон кольца Z / 12 Z 6 Z / 12 Z , который является пересечением максимальных идеалов 2 Z / 12 Z и 3 Z / 12 Z .

Рассмотрим кольцо, в котором второй является локализацией первичным идеалом . Тогда радикал Джекобсона тривиален, поскольку максимальные идеалы порождаются элементом вида для .${\ displaystyle \ mathbb {C} [t] \ otimes _ {\ mathbb {C}} \ mathbb {C} [x_ {1}, x_ {2}] _ {x_ {1} ^ {2} + x_ { 2} ^ {2} -1}}$${\ Displaystyle \ mathbb {C} [x_ {1}, x_ {2}]}$${\ displaystyle {\ mathfrak {p}} = (x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} -1)}$${\ displaystyle (tz) \ otimes (x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} -1)}$${\ Displaystyle г \ в \ mathbb {C}}$

Некоммутативные примеры

• Кольца, для которых J ( R ) равно {0}, называются полупримитивными кольцами или иногда «полупростыми кольцами Джекобсона». Радикал Джекобсона любого поля , любого регулярного кольца фон Неймана и любого левого или правого примитивного кольца равен {0}. Радикал Джекобсона целых чисел равен {0}.
• Если К является поле и R представляет собой кольцо все верхнего треугольного п матрицу с размерностью п матриц с элементами из К , то J ( R ) состоит из всех верхних треугольных матриц с нулями на главной диагонали.
• Начнем с конечного ациклического колчана Γ и поля K и рассмотрим алгебру

колчанов K  Γ (как описано в статье о колчане ). Радикал Джекобсона этого кольца порождается всеми путями в Γ длины ≥ 1.

Радикал Джекобсона C * -алгебры равен {0}. Это следует из теоремы Гельфанда – Наймарка и того факта, что для C * -алгебры топологически неприводимое * -представление в гильбертовом пространстве алгебраически неприводимо, так что его ядро ​​является примитивным идеалом в чисто алгебраическом смысле (см. Спектр C * -алгебра ).

Характеристики

• Если R является единицей и не является тривиальным кольцом {0}, радикал Джекобсона всегда отличен от R, поскольку кольца с единицей всегда имеют максимальные правые идеалы . Однако некоторые важные теоремы и гипотезы теории колец рассматривают случай, когда J ( R ) = R - «Если R - ниль-кольцо (то есть каждый из его элементов нильпотентен), то кольцо многочленов R [ x ] равно его радикал Якобсон? " эквивалентно открытой гипотезе Кете . ( Смоктунович 2006 , с. 260, §5)
• Для любого идеала I, содержащегося в J ( R ),

  J ( R / I ) = J ( R ) / I .

• В частности, радикал Джекобсона кольца R / J ( R ) равен нулю. Кольца с нулевым радикалом Джекобсона называются полупримитивными кольцами .
• Кольцо полупросто тогда и только тогда, когда оно артиново и его радикал Джекобсона равен нулю.
• Если f  : R → S - сюръективный гомоморфизм колец , то f (J ( R )) ⊆ J ( S ).
• Если R представляет собой кольцо с единицей , и М представляет собой конечное число образующих влево R - модуль с J ( R ) М = М , то М = 0 ( леммы Накаяма ).
• J ( R ) содержит все центральные нильпотентные элементы, но не содержит идемпотентных элементов, кроме 0.
• J ( R ) содержит каждый нильидеал из R . Если R артиново слева или справа , то J ( R ) - нильпотентный идеал .
  На самом деле это можно сделать сильнее: если
  $${\ displaystyle \ left \ {0 \ right \} = T_ {0} \ substeq T_ {1} \ substeq \ dotsb \ substeq T_ {k} = R}$$

  
  является композиционным рядом для правого R -модуля R (такой ряд обязательно существует, если R артиново справа, и есть аналогичный левый композиционный ряд, если R артиново слева), то
  $${\ Displaystyle \ влево (J \ влево (R \ вправо) \ вправо) ^ {k} = 0.}$$

  
  Заметим, однако, что в общем случае радикал Джекобсона не обязательно должен состоять только из нильпотентных элементов кольца.
• Если R коммутативно и конечно порождена как алгебра над полем либо или Z , то J ( R ) равен нильрадикал из R .
• Радикал Джекобсона кольца (с единицей) является его наибольшим лишним правым (то есть левым) идеалом.

Смотрите также

• Подгруппа Фраттини
• Нильрадикал
• Радикальный модуль
• Радикальный идеал

Заметки

Рекомендации

• Андерсон, Фрэнк У .; Фуллер, Кент Р. (1992), Кольца и категории модулей , Тексты для выпускников по математике , 13 (2-е изд.), Нью-Йорк: Springer-Verlag, стр. X + 376, doi : 10.1007 / 978-1-4612- 4418-9 , ISBN 0-387-97845-3, Руководство по ремонту  1245487
• Atiyah, MF; Макдональд, И.Г. (1969), Введение в коммутативную алгебру , Addison-Wesley Publishing Co., стр. Ix + 128, MR  0242802
• Бурбаки, Н. Элементы математики .
• Херштейн, И. Н. (1994) [1968], Некоммутативные кольца , Математические монографии Каруса, 15 , Вашингтон, округ Колумбия: Математическая ассоциация Америки , стр. Xii + 202, ISBN 0-88385-015-X, MR  1449137Перепечатка оригинала 1968 года; С послесловием Лэнса В. Смолла.
• Айзекс, И.М. (1994), Алгебра: выпускной курс (1-е изд.), Издательство Brooks / Cole Publishing Company, ISBN 0-534-19002-2
• Jacobson, Натан (1945), "Радикал и пол-простота для произвольных колец", Американский журнал математики , 67 : 300-320, DOI : 10,2307 / 2371731 , ISSN  0002-9327 , МР  0012271
• Лам, Т.Ю. (2001), Первый курс по некоммутативным кольцам , Тексты для выпускников по математике, 131 (2-е изд.), Springer-Verlag, стр. Xx + 385, DOI : 10.1007 / 978-1-4419-8616-0 , ISBN 0-387-95183-0, MR  1838439
• Пирс, Ричард С. (1982), Ассоциативные алгебры , Тексты для выпускников по математике, 88 , Springer-Verlag, стр.  Xii + 436 , ISBN 0-387-90693-2, Руководство по ремонту  0674652 Исследования по истории современной науки, 9
• Смоктунович, Агата (2006), "Некоторые результаты в некоммутативной теории колец", Международный конгресс математиков, Vol. II (PDF) , Европейское математическое общество , стр. 259–269, ISBN 978-3-03719-022-7, Руководство по ремонту  2275597

Внешние ссылки

• Интуитивный пример радикала Джекобсона