Модель Дебая - Debye model

Статистическая механика
Термодинамика Кинетическая теория
Статистика частиц Теорема спин-статистики Идентичные частицы Максвелл – Больцманн Бозе-Эйнштейн Ферми – Дирак Парастатистика Статистика Anyonic Статистика косы
Термодинамические ансамбли NVE Microcanonical NVT Canonical µVT Большой канонический НПХ Изоэнтальпийно-изобарический NPT Изотермический-изобарный
Модели Дебай Эйнштейн Я пою Potts
Потенциал Внутренняя энергия Энтальпия Свободная энергия Гельмгольца Свободная энергия Гиббса Большой потенциал / свободная энергия Ландау
Ученые Максвелл Больцман Гиббс Эйнштейн Эренфест фон Нейман Толман Дебай Ферми Bose
v т е

В термодинамике и физике твердого тела , то модель Дебая является метод , разработанный Дебай в 1912 г. для оценки фононный вклад в теплоемкость (теплоемкость) в твердое вещество . Он обрабатывает вибрации на атомную решетке (тепло) в качестве фононов в коробке, в отличии от модели Эйнштейна , который обрабатывает твердый , как многие отдельных, невзаимодействующие квантовые гармонические осцилляторы . Модель Дебая правильно предсказывает низкотемпературную зависимость теплоемкости, которая пропорциональна - закону Дебая T ³ . Как и модель Эйнштейна , она также восстанавливает закон Дюлонга – Пети при высоких температурах. Но из-за упрощающих предположений его точность страдает при промежуточных температурах. ${\ displaystyle T ^ {3}}$

Вывод

Модель Дебая - это твердотельный эквивалент закона Планка о излучении черного тела , в котором электромагнитное излучение рассматривается как фотонный газ . Модель Дебая рассматривает атомные колебания как фононы в ящике (ящик является твердым телом). Большинство этапов расчета идентичны, поскольку оба являются примерами безмассового бозе-газа с линейным соотношением дисперсии.

Рассмотрим куб из стороны . От частицы в коробчатом изделии резонирующие моды звуковых возмущений внутри коробки (учитывая пока только те, которые выровнены по одной оси) имеют длины волн, определяемые выражением ${\ displaystyle L}$

${\ Displaystyle \ лямбда _ {п} = {2L \ над п} \ ,,}$

где - целое число. Энергия фонона равна ${\ displaystyle n}$

${\ Displaystyle E_ {п} \ = ч \ ню _ {п} \ ,,}$

где находится постоянная Планка и частота фонона. Делая приближение, что частота обратно пропорциональна длине волны, мы имеем: ${\ displaystyle h}$${\ displaystyle \ nu _ {n}}$

${\ displaystyle E_ {n} = h \ nu _ {n} = {hc _ {\ rm {s}} \ over \ lambda _ {n}} = {hc_ {s} n \ over 2L} \ ,,}$

в котором скорость звука внутри твердого тела. В трех измерениях мы будем использовать: ${\ displaystyle c_ {s}}$

${\ displaystyle E_ {n} ^ {2} = {p_ {n} ^ {2} c _ {\ rm {s}} ^ {2}} = \ left ({hc _ {\ rm {s}} \ over 2L } \ right) ^ {2} \ left (n_ {x} ^ {2} + n_ {y} ^ {2} + n_ {z} ^ {2} \ right) \ ,,}$

в котором - величина трехмерного импульса фонона. ${\ displaystyle p_ {n}}$

Приближение, согласно которому частота обратно пропорциональна длине волны (что дает постоянную скорость звука), подходит для фононов низкой энергии, но не для фононов высоких энергий (см. Статью о фононах ). Это несогласие является одним из ограничений Модель Дебая, а соответствует некорректности результатов при промежуточных температурах, тогда как как при низких, так и при высоких температурах они точны.

Теперь давайте посчитаем полную энергию в коробке,

${\ displaystyle E = \ sum _ {n} E_ {n} \, {\ bar {N}} (E_ {n}) \ ,,}$

где - количество фононов в ящике с энергией . Другими словами, полная энергия равна сумме энергии, умноженной на количество фононов с этой энергией (в одном измерении). В трех измерениях у нас есть: ${\ displaystyle {\ bar {N}} (E_ {n})}$${\ displaystyle E_ {n}}$

${\ displaystyle U = \ sum _ {n_ {x}} \ sum _ {n_ {y}} \ sum _ {n_ {z}} E_ {n} \, {\ bar {N}} (E_ {n} ) \ ,.}$

Здесь модель Дебая и закон Планка излучения черного тела различаются. В отличие от электромагнитного излучения в коробке, есть конечное число фононов энергетических состояний , так как фонон не может быть сколь угодно высокие частоты. Его частота ограничена средой его распространения - атомной решеткой твердого тела. Рассмотрим иллюстрацию поперечного фонона ниже.

Разумно предположить, что минимальная длина волны фонона в два раза больше расстояния между атомами, как показано на нижнем рисунке. В твердом теле есть атомы. Наше твердое тело представляет собой куб, что означает, что на каждом ребре есть атомы. Разделение атомов тогда дается выражением , а минимальная длина волны равна ${\ displaystyle N}$${\ displaystyle {\ sqrt [{3}] {N}}}$${\ displaystyle L / {\ sqrt [{3}] {N}}}$

${\ displaystyle \ lambda _ {\ rm {min}} = {2L \ over {\ sqrt [{3}] {N}}} \ ,,}$

создание максимального количества мод (бесконечное для фотонов ) ${\ displaystyle n}$

${\ displaystyle n _ {\ rm {max}} = {\ sqrt [{3}] {N}} \ ,.}$

Это число ограничивает верхний предел тройной энергетической суммы

${\ displaystyle U = \ sum _ {n_ {x}} ^ {\ sqrt [{3}] {N}} \ sum _ {n_ {y}} ^ {\ sqrt [{3}] {N}} \ сумма _ {n_ {z}} ^ {\ sqrt [{3}] {N}} E_ {n} \, {\ bar {N}} (E_ {n}) \ ,.}$

Для медленно меняющихся функций с хорошим поведением сумму можно заменить интегралом (также известный как приближение Томаса – Ферми )

${\ Displaystyle U \ приблизительно \ int _ {0} ^ {\ sqrt [{3}] {N}} \ int _ {0} ^ {\ sqrt [{3}] {N}} \ int _ {0} ^ {\ sqrt [{3}] {N}} E (n) \, {\ bar {N}} \ left (E (n) \ right) \, dn_ {x} \, dn_ {y} \, dn_ {z} \ ,.}$

До сих пор не упоминалось о числе фононов с энергией. Фононы подчиняются статистике Бозе – Эйнштейна . Их распределение дается известной формулой Бозе – Эйнштейна ${\ displaystyle {\ bar {N}} (E)}$${\ Displaystyle E \ ,.}$

${\ displaystyle \ langle N \ rangle _ {BE} = {1 \ over e ^ {E / kT} -1} \ ,.}$

Поскольку фонон имеет три возможных состояния поляризации (одно продольное и два поперечных, которые приблизительно не влияют на его энергию), приведенную выше формулу необходимо умножить на 3,

${\ displaystyle {\ bar {N}} (E) = {3 \ over e ^ {E / kT} -1} \ ,.}$

(Фактически используется эффективная скорость звука , т. Е. Температура Дебая (см. Ниже) пропорциональна , точнее , тому, где различают продольную и поперечную скорости звуковой волны (вклад 1/3 и 2/3, соответственно). Температура Дебая или эффективная скорость звука является мерой твердости кристалла.) ${\ displaystyle c_ {s}: = c _ {\ rm {eff}}}$${\ displaystyle T _ {\ rm {D}}}$${\ displaystyle c _ {\ rm {eff}}}$${\ displaystyle T _ {\ rm {D}} ^ {- 3} \ propto c _ {\ rm {eff}} ^ {- 3}: = (1/3) c _ {\ rm {long}} ^ {- 3 } + (2/3) c _ {\ rm {trans}} ^ {- 3}}$

Подстановка в интеграл энергии дает

${\ Displaystyle U = \ int _ {0} ^ {\ sqrt [{3}] {N}} \ int _ {0} ^ {\ sqrt [{3}] {N}} \ int _ {0} ^ {\ sqrt [{3}] {N}} E (n) \, {3 \ over e ^ {E (n) / kT} -1} \, dn_ {x} \, dn_ {y} \, dn_ {z} \ ,.}$

Легкость, с которой эти интегралы вычисляются для фотонов , объясняется тем фактом, что частота света, по крайней мере, полуклассически, не связана. Как показано на рисунке выше, это неверно для фононов . Чтобы аппроксимировать этот тройной интеграл, Дебай использовал сферические координаты

${\ displaystyle \ (n_ {x}, n_ {y}, n_ {z}) = (n \ sin \ theta \ cos \ phi, n \ sin \ theta \ sin \ phi, n \ cos \ theta)}$

и аппроксимировали куб восьмой частью сферы

${\ Displaystyle U \ приблизительно \ int _ {0} ^ {\ pi / 2} \ int _ {0} ^ {\ pi / 2} \ int _ {0} ^ {R} E (n) \, {3 \ over e ^ {E (n) / kT} -1} n ^ {2} \ sin \ theta \, dn \, d \ theta \, d \ phi \ ,,}$

где - радиус этой сферы, который находится путем сохранения числа частиц в кубе и в восьмой части сферы. Объем куба - это объемы элементарной ячейки, ${\ displaystyle R}$${\ displaystyle N}$

${\ Displaystyle N = {1 \ более 8} {4 \ более 3} \ pi R ^ {3} \ ,,}$

итак получаем:

${\ Displaystyle R = {\ sqrt [{3}] {6N \ over \ pi}} \ ,.}$

Замена правильного интеграла интегрированием по сфере вносит в модель еще один источник неточности.

Интеграл энергии принимает вид

${\ Displaystyle U = {3 \ pi \ over 2} \ int _ {0} ^ {R} \, {hc_ {s} n \ over 2L} {n ^ {2} \ over e ^ {hc _ {\ rm {s}} n / 2LkT} -1} \, dn}$

Изменение переменной интегрирования на , ${\ displaystyle x = {hc _ {\ rm {s}} n \ более 2LkT}}$

${\ displaystyle U = {3 \ pi \ over 2} kT \ left ({2LkT \ over hc _ {\ rm {s}}} \ right) ^ {3} \ int _ {0} ^ {hc _ {\ rm { s}} R / 2LkT} {x ^ {3} \ over e ^ {x} -1} \, dx}$

Чтобы упростить появление этого выражения, определите температуру Дебая ${\ displaystyle T _ {\ rm {D}}}$

${\ displaystyle T _ {\ rm {D}} \ {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ {hc _ {\ rm {s}} R \ over 2Lk} = {hc _ {\ rm {s} } \ over 2Lk} {\ sqrt [{3}] {6N \ over \ pi}} = {hc _ {\ rm {s}} \ over 2k} {\ sqrt [{3}] {{6 \ over \ pi } {N \ over V}}}}$

Где объем кубического бокса . ${\ displaystyle V}$${\ displaystyle L}$

Во многих источниках температура Дебая описывается как сокращение для некоторых констант и переменных, зависящих от материала. Однако, как показано ниже, она примерно равна энергии фонона моды с минимальной длиной волны, и поэтому мы можем интерпретировать температуру Дебая как температуру, при которой возбуждается мода с самой высокой частотой (и, следовательно, каждая мода). ${\ displaystyle kT _ {\ rm {D}}}$

Продолжая, у нас есть удельная внутренняя энергия:

${\ displaystyle {\ frac {U} {Nk}} = 9T \ left ({T \ over T _ {\ rm {D}}} \ right) ^ {3} \ int _ {0} ^ {T _ {\ rm {D}} / T} {x ^ {3} \ over e ^ {x} -1} \, dx = 3TD_ {3} \ left ({T _ {\ rm {D}} \ over T} \ right) \ ,,}$

где - (третья) функция Дебая . ${\ Displaystyle D_ {3} (х)}$

Дифференцируя по, получаем безразмерную теплоемкость: ${\ displaystyle T}$

${\ displaystyle {\ frac {C_ {V}} {Nk}} = 9 \ left ({T \ over T _ {\ rm {D}}} \ right) ^ {3} \ int _ {0} ^ {T_ {\ rm {D}} / T} {x ^ {4} e ^ {x} \ over \ left (e ^ {x} -1 \ right) ^ {2}} \, dx \ ,.}$

Эти формулы относятся к модели Дебая при всех температурах. Более элементарные формулы, приведенные ниже, дают асимптотику в пределе низких и высоких температур. Как уже упоминалось, это поведение точное, в отличие от промежуточного поведения. Существенной причиной точности при низких и высоких энергиях, соответственно, является то, что модель Дебая дает (i) точное дисперсионное соотношение на низких частотах и ​​(ii) соответствует точной плотности состояний , касающейся количества колебаний на частоту интервал. ${\ Displaystyle Е (\ ню)}$ ${\ Displaystyle (\ инт г (\ ню) \, {\ тм {д \ ню}} \ эквив 3N) \,}$

Вывод Дебая

Дебай вывел свое уравнение несколько иначе и проще. Используя механику сплошной среды , он обнаружил, что количество колебательных состояний с частотой меньше определенного значения было асимптотически относительно

${\ Displaystyle п \ sim {1 \ более 3} \ nu ^ {3} VF \ ,,}$

в котором объем и коэффициент, который он рассчитал из коэффициентов упругости и плотности. Комбинируя эту формулу с ожидаемой энергией гармонического осциллятора при температуре T (уже использованной Эйнштейном в его модели), мы получим энергию ${\ displaystyle V}$${\ displaystyle F}$

${\ Displaystyle U = \ int _ {0} ^ {\ infty} \, {h \ nu ^ {3} VF \ over e ^ {h \ nu / kT} -1} \, d \ nu \ ,,}$

если колебательные частоты продолжаются до бесконечности. Эта форма дает поведение, правильное при низких температурах. Но Дебай понял, что для N атомов не может быть ничего, кроме колебательных состояний. Он сделал предположение, что в атомном твердом теле спектр частот колебательных состояний будет продолжать следовать вышеуказанному правилу, вплоть до максимальной частоты, выбранной так, чтобы общее количество состояний было : ${\ displaystyle T ^ {3}}$${\ displaystyle 3N}$${\ displaystyle \ nu _ {m}}$${\ displaystyle 3N}$

${\ Displaystyle 3N = {1 \ более 3} \ nu _ {m} ^ {3} VF \ ,.}$

Дебай знал, что это предположение не совсем верно (более высокие частоты расположены ближе, чем предполагалось), но оно гарантирует правильное поведение при высокой температуре ( закон Дюлонга – Пети ). Тогда энергия определяется как:

${\ Displaystyle U = \ int _ {0} ^ {\ nu _ {m}} \, {h \ nu ^ {3} VF \ over e ^ {h \ nu / kT} -1} \, d \ nu \ ,,}$

${\ displaystyle = VFkT (kT / h) ^ {3} \ int _ {0} ^ {T _ {\ rm {D}} / T} \, {x ^ {3} \ over e ^ {x} -1 } \, dx \ ,,}$

где есть .${\ displaystyle T _ {\ rm {D}}}$${\ displaystyle h \ nu _ {m} / k}$

${\ displaystyle = 9NkT (T / T _ {\ rm {D}}) ^ {3} \ int _ {0} ^ {T _ {\ rm {D}} / T} \, {x ^ {3} \ over е ^ {х} -1} \, dx \ ,,}$

${\ Displaystyle = 3NkTD_ {3} (Т _ {\ rm {D}} / T) \ ,,}$

где - функция, получившая название функции Дебая третьего порядка . ${\ displaystyle D_ {3}}$

Другой вывод

Сначала мы выводим распределение частот колебаний; следующий вывод основан на Приложении VI от. Рассмотрим трехмерное изотропное упругое тело с N атомами в форме прямоугольного параллелепипеда с длинами сторон . Упругая волна будет подчиняться волновому уравнению и будет плоской волной ; рассмотрим волновой вектор и определим . Обратите внимание, что у нас есть ${\ displaystyle L_ {x}, L_ {y}, L_ {z}}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {k} = (k_ {x}, k_ {y}, k_ {z})}$${\ displaystyle l_ {x} = {\ frac {k_ {x}} {| \ mathbf {k} |}}, l_ {y} = {\ frac {k_ {y}} {| \ mathbf {k} | }}, l_ {z} = {\ frac {k_ {z}} {| \ mathbf {k} |}}}$

${\ displaystyle l_ {x} ^ {2} + l_ {y} ^ {2} + l_ {z} ^ {2} = 1.}$

( 1 )

Решения волнового уравнения :

${\ Displaystyle и (Икс, Y, Z, T) = \ грех (2 \ пи \ ню т) \ грех \ влево ({\ гидроразрыва {2 \ пи l_ {х} х} {\ лямбда}} \ вправо) \ sin \ left ({\ frac {2 \ pi l_ {y} y} {\ lambda}} \ right) \ sin \ left ({\ frac {2 \ pi l_ {z} z} {\ lambda}} \ право)}$

а с граничными условиями при имеем ${\ displaystyle u = 0}$${\ displaystyle x, y, z = 0, x = L_ {x}, y = L_ {y}, z = L_ {z}}$

${\ displaystyle {\ frac {2l_ {x} L_ {x}} {\ lambda}} = n_ {x}; {\ frac {2l_ {y} L_ {y}} {\ lambda}} = n_ {y} ; {\ frac {2l_ {z} L_ {z}} {\ lambda}} = n_ {z}}$

( 2 )

где положительные целые числа. Подставляя ( 2 ) в ( 1 ), а также используя дисперсионное соотношение , имеем ${\ displaystyle n_ {x}, n_ {y}, n_ {z}}$ ${\ displaystyle c_ {s} = \ lambda \ nu}$

${\ displaystyle {\ frac {n_ {x} ^ {2}} {(2 \ nu L_ {x} / c_ {s}) ^ {2}}} + {\ frac {n_ {y} ^ {2} } {(2 \ nu L_ {y} / c_ {s}) ^ {2}}} + {\ frac {n_ {z} ^ {2}} {(2 \ nu L_ {z} / c_ {s}) ) ^ {2}}} = 1.}$

Вышеприведенное уравнение для фиксированной частоты описывает восьмую часть эллипса в «пространстве мод» (восьмую, потому что они положительны). Таким образом, количество мод с частотой меньше, чем равно количеству целых точек внутри эллипса, которое в пределе (то есть для очень большого параллелепипеда) может быть аппроксимировано объемом эллипса. Следовательно, количество мод с частотой в диапазоне равно ${\ displaystyle \ nu}$${\ displaystyle n_ {x}, n_ {y}, n_ {z}}$${\ displaystyle \ nu}$${\ Displaystyle L_ {x}, L_ {y}, L_ {z} \ to \ infty}$${\ Displaystyle N (\ nu)}$${\ displaystyle [0, \ nu]}$

${\ displaystyle N (\ nu) = {\ frac {1} {8}} {\ frac {4 \ pi} {3}} \ left ({\ frac {2 \ nu} {c _ {\ mathrm {s}) }}} \ right) ^ {3} L_ {x} L_ {y} L_ {z} = {\ frac {4 \ pi \ nu ^ {3} V} {3c _ {\ mathrm {s}} ^ {3 }}},}$

( 3 )

где - объем параллелепипеда. Обратите внимание на то, что скорость волны в продольном направлении отличается от поперечного направления, и что волны могут быть поляризованы в одну сторону в продольном направлении и двумя способами в поперечном направлении; таким образом мы определяем . ${\ Displaystyle V = L_ {x} L_ {y} L_ {z}}$${\ displaystyle {\ frac {3} {c_ {s} ^ {3}}} = {\ frac {1} {c _ {\ text {long}} ^ {3}}} + {\ frac {2} { c _ {\ text {trans}} ^ {3}}}}$

Следуя выведению из, мы определяем верхний предел частоты вибрации ; поскольку в твердом теле N атомов, имеется 3N квантовых гармонических осцилляторов (по 3 для каждого направления x, y, z), колеблющихся в диапазоне частот . Следовательно, мы можем определить так: ${\ displaystyle \ nu _ {D}}$${\ displaystyle [0, \ nu _ {D}]}$${\ displaystyle \ nu _ {D}}$

${\ Displaystyle 3N = N (\ nu _ {\ rm {D}}) = {\ frac {4 \ pi \ nu _ {\ rm {D}} ^ {3} V} {3c _ {\ rm {s} } ^ {3}}}}$.

( 4 )

Определив , где k - постоянная Больцмана, а h - постоянная Планка , и подставив ( 4 ) в ( 3 ), получим ${\ displaystyle \ nu _ {\ rm {D}} = {\ frac {kT _ {\ rm {D}}} {h}}}$

${\ Displaystyle N (\ Nu) = {\ frac {3Nh ^ {3} \ nu ^ {3}} {k ^ {3} T _ {\ rm {D}} ^ {3}}},}$

( 5 )

это определение более стандартное. Мы можем найти вклад энергии для всех осцилляторов, колеблющихся с частотой . Квантовые гармонические осцилляторы могут иметь энергии, при которых, используя статистику Максвелла-Больцмана , число частиц с энергией равно ${\ displaystyle \ nu}$${\ Displaystyle E_ {я} = (я + 1/2) час \ ню}$${\ Displaystyle я = 0,1,2, \ dotsc}$${\ displaystyle E_ {i}}$

${\ displaystyle n_ {i} = {\ frac {1} {A}} e ^ {- E_ {i} / (kT)} = {\ frac {1} {A}} e ^ {- (i + 1 / 2) h \ nu / (kT)}}$.

Тогда вклад энергии для осцилляторов с частотой равен ${\ displaystyle \ nu}$

${\ displaystyle dU (\ nu) = \ sum _ {i = 0} ^ {\ infty} E_ {i} {\ frac {1} {A}} e ^ {- E_ {i} / (kT)}}$.

( 6 )

Отметив, что (поскольку существуют моды, колеблющиеся с частотой ), мы имеем ${\ Displaystyle \ сумма _ {я = 0} ^ {\ infty} n_ {я} = dN (\ nu)}$${\ Displaystyle дН (\ ню)}$${\ displaystyle \ nu}$

${\ displaystyle {\ frac {1} {A}} e ^ {- 1 / 2h \ nu / (kT)} \ sum _ {i = 0} ^ {\ infty} e ^ {- ih \ nu / (kT )} = {\ frac {1} {A}} e ^ {- 1 / 2h \ nu / (kT)} {\ frac {1} {1-e ^ {- h \ nu / (kT)}}} = dN (\ nu)}$

Сверху мы можем получить выражение для 1 / A; подставляя его в ( 6 ), имеем

${\ displaystyle dU = dN (\ nu) e ^ {1 / 2h \ nu / (kT)} (1-e ^ {- h \ nu / (kT)}) \ sum _ {i = 0} ^ {\ infty} h \ nu (i + 1/2) e ^ {- h \ nu (i + 1/2) / (kT)} =}$

${\ Displaystyle = dN (\ Nu) (1-е ^ {- ч \ Nu / (kT)}) \ сумма _ {я = 0} ^ {\ infty} ч \ Nu (я + 1/2) е ^ {-h \ nu i / (kT)} = dN (\ nu) h \ nu \ left ({\ frac {1} {2}} + (1-e ^ {- h \ nu / (kT)}) \ sum _ {i = 0} ^ {\ infty} ie ^ {- h \ nu i / (kT)} \ right) =}$

${\ displaystyle dN (\ nu) h \ nu \ left ({\ frac {1} {2}} + {\ frac {1} {e ^ {h \ nu / (kT)} - 1}} \ right) }$

Интегрирование по ν дает

${\ displaystyle U = {\ frac {9Nh ^ {4}} {k ^ {3} T _ {\ rm {D}} ^ {3}}} \ int _ {0} ^ {\ nu _ {D}} \ left ({\ frac {1} {2}} + {\ frac {1} {e ^ {h \ nu / (kT)} - 1}} \ right) \ nu ^ {3} d \ nu}$

Предел низкой температуры

Температура твердого тела Дебая считается низкой, если она приводит к ${\ displaystyle T \ ll T _ {\ rm {D}}}$

${\ displaystyle {\ frac {C_ {V}} {Nk}} \ sim 9 \ left ({T \ over T _ {\ rm {D}}} \ right) ^ {3} \ int _ {0} ^ { \ infty} {x ^ {4} e ^ {x} \ over \ left (e ^ {x} -1 \ right) ^ {2}} \, dx}$

Этот определенный интеграл можно вычислить точно:

${\ displaystyle {\ frac {C_ {V}} {Nk}} \ sim {12 \ pi ^ {4} \ over 5} \ left ({T \ over T _ {\ rm {D}}} \ right) ^ {3}}$

В пределе низких температур ограничения модели Дебая, упомянутые выше, не применяются, и она дает правильное соотношение между (фононной) теплоемкостью, температурой, коэффициентами упругости и объемом, приходящимся на атом (последние величины содержатся в Температура Дебая).

Предел высокой температуры

Говорят, что температура твердого тела Дебая высока, если . Использование if приводит к ${\ displaystyle T \ gg T _ {\ rm {D}}}$${\ Displaystyle е ^ {х} -1 \ приблизительно х}$${\ Displaystyle | х | \ ll 1}$

${\ displaystyle {\ frac {C_ {V}} {Nk}} \ sim 9 \ left ({T \ over T _ {\ rm {D}}} \ right) ^ {3} \ int _ {0} ^ { T _ {\ rm {D}} / T} {x ^ {4} \ over x ^ {2}} \, dx}$

${\ displaystyle {\ frac {C_ {V}} {Nk}} \ sim 3 \ ,.}$

Это закон Дюлонга – Пети , и он довольно точен, хотя он не учитывает ангармонизм, который вызывает дальнейшее повышение теплоемкости. Общая теплоемкость твердого тела, если оно является проводником или полупроводником , также может содержать значительный вклад от электронов.

Дебай против Эйнштейна

Итак, насколько близко модели Дебая и Эйнштейна соответствуют эксперименту? Удивительно близко, но Дебай верен при низких температурах, а Эйнштейн - нет.

Насколько разные модели? Чтобы ответить на этот вопрос, естественно построить их на одном наборе осей ... за исключением одной. И модель Эйнштейна, и модель Дебая обеспечивают функциональную форму теплоемкости. Это модели , и ни одна модель не обходится без масштаба. Масштаб соотносит модель с ее реальным аналогом. Видно, что масштаб модели Эйнштейна, который задается

${\ displaystyle C_ {V} = 3Nk \ left ({\ epsilon \ over kT} \ right) ^ {2} {e ^ {\ epsilon / kT} \ over \ left (e ^ {\ epsilon / kT} -1 \ right) ^ {2}}}$

есть . А масштаб модели Дебая - температура Дебая. И то и другое обычно находят путем подгонки моделей к экспериментальным данным. (Температуру Дебая теоретически можно рассчитать, исходя из скорости звука и размеров кристалла.) Поскольку эти два метода подходят к проблеме с разных сторон и с разной геометрией, шкалы Эйнштейна и Дебая не совпадают, то есть ${\ displaystyle \ epsilon / k}$${\ displaystyle T _ {\ rm {D}}}$

${\ Displaystyle {\ epsilon \ над k} \ neq T _ {\ rm {D}} \ ,,}$

это означает, что их построение на одном наборе осей не имеет смысла. Это две модели одного и того же, но разного масштаба. Если определить температуру Эйнштейна как

${\ Displaystyle Т _ {\ rm {E}} \ {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ {\ epsilon \ over k} \ ,,}$

тогда можно сказать

${\ Displaystyle Т _ {\ rm {E}} \ neq T _ {\ rm {D}} \ ,,}$

и, чтобы связать эти два, мы должны найти соотношение

${\ displaystyle {\ frac {T _ {\ rm {E}}} {T _ {\ rm {D}}}} =?}$

Эйнштейна твердый состоит из одного -Частоты квантовых гармонических осцилляторов , . Эта частота, если бы она действительно существовала, была бы связана со скоростью звука в твердом теле. Если представить себе распространение звука как последовательность ударов атомов друг о друга, то становится очевидным, что частота колебаний должна соответствовать минимальной длине волны, поддерживаемой атомной решеткой . ${\ displaystyle \ epsilon = \ hbar \ omega = h \ nu}$${\ displaystyle \ lambda _ {min}}$

${\ displaystyle \ nu = {c _ {\ rm {s}} \ over \ lambda} = {c _ {\ rm {s}} {\ sqrt [{3}] {N}} \ over 2L} = {c_ { \ rm {s}} \ over 2} {\ sqrt [{3}] {N \ over V}}}$

что делает температуру Эйнштейна

${\ displaystyle T _ {\ rm {E}} = {\ epsilon \ over k} = {h \ nu \ over k} = {hc _ {\ rm {s}} \ over 2k} {\ sqrt [{3}] {N \ over V}} \ ,,}$

и искомое соотношение, следовательно,

${\ displaystyle {T _ {\ rm {E}} \ over T _ {\ rm {D}}} = {\ sqrt [{3}] {\ pi \ over 6}} \ = 0.805995977 ...}$

Теперь обе модели можно построить на одном графике. Обратите внимание, что это соотношение является кубическим корнем из отношения объема одного октанта трехмерной сферы к объему содержащего его куба, который является просто поправочным коэффициентом, используемым Дебаем при аппроксимации интеграла энергии выше.

С другой стороны, соотношение двух температур можно рассматривать как отношение одной частоты Эйнштейна, на которой колеблются все осцилляторы, и максимальной частоты Дебая. Тогда единственная частота Эйнштейна может рассматриваться как среднее значение частот, доступных для модели Дебая.

Таблица температур Дебая

Несмотря на то, что модель Дебая не совсем верна, она дает хорошее приближение для низкотемпературной теплоемкости изолирующих кристаллических твердых тел, где другие вклады (например, высокомобильные электроны проводимости) пренебрежимо малы. Для металлов вклад электронов в тепло пропорционален , что при низких температурах преобладает над результатом Дебая для колебаний решетки. В этом случае можно сказать, что модель Дебая приближает только решеточный вклад в теплоемкость. В следующей таблице приведены температуры Дебая для нескольких чистых элементов и сапфира: ${\ displaystyle T}$${\ displaystyle T ^ {3}}$

Алюминий 0428 К Бериллий 1440 К Кадмий 0209 К Цезий 0038 К Углерод 2230 К Хром 0630 К

Медь 0343 К Германий 0374 К Золото 0170 К Железо 0470 К Свинец 0105 К Марганец 0410 К

Никель 0450 К Платина 0240 К Рубидий 0056 К Сапфир 1047 К Селен 0090 К Кремний 0645 К

Серебряный 0215 К Тантал 0240 К Олово (белое) 0200 К Титан 0420 К Вольфрам 0400 К Цинк 0327 К

Подгонка модели Дебая к экспериментальным данным часто феноменологически улучшается, позволяя температуре Дебая становиться зависимой от температуры; например, значение для водяного льда увеличивается примерно с 222 K до 300 K при изменении температуры от абсолютного нуля до примерно 100 K.

Распространение на другие квазичастицы

Для других бозонных квазичастиц , например для магнонов (квантованных спиновых волн) в ферромагнетиках вместо фононов (квантованных звуковых волн), легко получить аналогичные результаты. В этом случае на низких частотах будут другие дисперсионные соотношения , например, в случае магнонов вместо фононов (с ). У одного также разная плотность состояний (например, ). Как следствие, в ферромагнетиках один получает магнонный вклад в теплоемкость, , которая доминирует при достаточно низкие температуры фононного вклада, . В металлах, напротив, основной вклад в теплоемкость при низких температурах вносят электроны. Это фермионное , и рассчитывается различными методами, восходящие к Зоммерфельду «s модели свободных электронов . ${\ Displaystyle Е (\ ню) \ пропто к ^ {2}}$${\ Displaystyle Е (\ ню) \ propto k}$${\ Displaystyle к = 2 \ пи / \ лямбда}$${\ Displaystyle \ int г (\ ню) {\ rm {d}} \ ню \ эквив N \,}$${\ Displaystyle \ Delta C _ {\, {\ rm {V | \, magnon}}} \, \ propto T ^ {3/2}}$${\ displaystyle \, \ Delta C _ {\, {\ rm {V | \, phonon}}} \ propto T ^ {3}}$${\ displaystyle \ propto T}$

Распространение на жидкости

Долгое время считалось, что теория фононов не способна объяснить теплоемкость жидкостей, поскольку жидкости поддерживают только продольные, но не поперечные фононы, которые в твердых телах отвечают за 2/3 теплоемкости. Однако эксперименты по рассеянию Бриллюэна с нейтронами и рентгеновскими лучами , подтвердив интуицию Якова Френкеля , показали, что поперечные фононы действительно существуют в жидкостях, хотя и ограничены частотами выше порога, называемого частотой Френкеля . Поскольку большая часть энергии содержится в этих высокочастотных модах, простой модификации модели Дебая достаточно, чтобы получить хорошее приближение к экспериментальной теплоемкости простых жидкостей.

Частота Дебая

Частота Дебая (Символ: или ) является параметром модели Дебая. Он относится к угловой частоте отсечки для волн гармонической цепочки масс, используемой для описания движения ионов в кристаллической решетке и, более конкретно, для правильного прогнозирования постоянной теплоемкости в таких кристаллах при высоких температурах ( Дюлонг –Петит закон ). Термин был впервые введен Питером Дебаем в 1912 году. ${\ displaystyle \ omega _ {\ rm {Дебай}}}$${\ displaystyle \ omega _ {\ rm {D}}}$

На протяжении всей статьи предполагаются периодические граничные условия .

Определение

Предполагая, что дисперсионное соотношение имеет вид

${\ Displaystyle \ omega = v _ {\ rm {s}} | \ mathbf {k} |}$,

с к скорости звука в кристалле; и k волновой вектор, значение частоты Дебая будет следующим: ${\ displaystyle v _ {\ rm {s}}}$

Для одномерной одноатомной цепочки частота Дебая равна

${\ displaystyle \ omega _ {\ rm {D}} = v _ {\ rm {s}} \ pi / a = v _ {\ rm {s}} \ pi N / L = v _ {\ rm {s}} \ пи \ лямбда}$,

с расстоянием между двумя соседними атомами в цепочке, когда система находится в основном состоянии (в данном случае это означает, что ни один из атомов не движется относительно друг друга); общее количество атомов в цепочке; и размер (объем) системы (длина цепочки); и - линейная числовая плотность . Там , где имеет место следующее соотношение: . ${\ displaystyle a}$${\ displaystyle N}$${\ displaystyle L}$${\ displaystyle \ lambda}$${\ displaystyle L = Na}$

Для двумерной одноатомной квадратной решетки частота Дебая равна

${\ displaystyle \ omega _ {\ rm {D}} ^ {2} = {\ frac {4 \ pi} {a ^ {2}}} v _ {\ rm {s}} ^ {2} = {\ frac {4 \ pi N} {A}} v _ {\ rm {s}} ^ {2} \ Equiv 4 \ pi \ sigma v _ {\ rm {s}} ^ {2}}$,

где и такие же, как и раньше; - размер (площадь) поверхности; и плотность поверхности . ${\ displaystyle a}$${\ displaystyle N}$${\ Displaystyle А \ экв L ^ {2} {=} Na ^ {2}}$${\ displaystyle \ sigma}$

Для трехмерного одноатомного примитивного кубического кристалла частота Дебая равна

${\ displaystyle \ omega _ {\ rm {D}} ^ {3} = {\ frac {6 \ pi ^ {2}} {a ^ {3}}} v _ {\ rm {s}} ^ {3} = {\ frac {6 \ pi ^ {2} N} {V}} v _ {\ rm {s}} ^ {3} \ Equiv 6 \ pi ^ {2} \ rho v _ {\ rm {s}} ^ {3}}$,

где и такие же, как и раньше; размер системы; и плотность объема . ${\ displaystyle a}$${\ displaystyle N}$${\ Displaystyle V \ Equiv L ^ {3} = Na ^ {3}}$${\ displaystyle \ rho}$

Скорость звука в кристалле может зависеть (среди прочего) от массы атомов, силы их взаимодействия, давления на систему и / или поляризации волны (продольной или поперечной), но в следующем Сначала мы предположим, что скорость звука одинакова для любой поляризации (однако это предположение не имеет далеко идущих последствий).

Предполагаемое соотношение дисперсии легко доказывается неверным для одномерной цепочки масс, но в модели Дебая это не оказалось проблемой.

Отношение к температуре Дебая

Температура Дебая , еще один параметр в модели Дебая, связана с частотой Дебая соотношением${\ displaystyle \ theta _ {\ rm {D}}}$

${\ displaystyle \ theta _ {\ rm {D}} = {\ frac {\ hbar} {k _ {\ rm {B}}}} \ omega _ {\ rm {D}},}$

где приведенная постоянная Планка и является постоянной Больцмана . ${\ displaystyle \ hbar}$${\ Displaystyle к _ {\ rm {B}}}$

Вывод Дебая

Трехмерный кристалл

В выводе Дебая теплоемкости он суммирует все возможные режимы системы. То есть: включая разные направления и поляризации . Он предположил, что общее количество мод на поляризацию равно (с количеством масс в системе), или на математическом языке ${\ displaystyle 3N}$${\ displaystyle N}$

${\ Displaystyle \ сумма _ {\ rm {режимы}} 3 = 3N}$,

где по обе стороны от трех поляризаций, поэтому сумма проходит по всем модам для одной конкретной поляризации. Дебай сделал это предположение, потому что из классической механики знал, что количество мод на поляризацию в цепочке масс всегда должно быть равно количеству масс в цепочке. ${\ displaystyle 3}$

Левая часть теперь должна быть сделана явной, чтобы показать, как она зависит от частоты Дебая (здесь просто введена как частота среза, то есть: более высокие частоты, чем частота Дебая, не могут существовать), чтобы выражение для нее могло быть найденным.

Прежде всего, предположив, что он очень большой ( >> 1, с размером системы в любом из трех направлений), наименьший волновой вектор в любом направлении может быть аппроксимирован выражением:, с . Волновые векторы меньшего размера не могут существовать из-за периодических граничных условий . Таким образом, сумма будет равна 4${\ displaystyle L}$${\ displaystyle L}$${\ displaystyle L}$${\ displaystyle dk_ {i} = 2 \ pi / L}$${\ displaystyle i = x, y, z}$

${\ displaystyle \ sum _ {\ rm {mode}} 3 = {\ frac {3V} {(2 \ pi) ^ {3}}} \ iiint d \ mathbf {k}}$,

где ; размер системы; и интеграл (как суммирование) по всем возможным режимам, который считается конечной областью (ограниченной частотой среза). ${\ Displaystyle \ mathbf {k} \ Equiv (k_ {x}, k_ {y}, k_ {z})}$${\ Displaystyle V \ Equiv L ^ {3}}$

Тройной интеграл можно было бы переписать как единый интеграл по всем возможным значениям модуля (см .: Якобиан для сферических координат ). Результат ${\ displaystyle \ mathbf {k}}$

${\ displaystyle {\ frac {3V} {(2 \ pi) ^ {3}}} \ iiint d \ mathbf {k} = {\ frac {3V} {2 \ pi ^ {2}}} \ int _ { 0} ^ {k _ {\ rm {D}}} | \ mathbf {k} | ^ {2} d \ mathbf {k}}$,

с модулем волнового вектора, соответствующим дебаевской частоте, поэтому . ${\ Displaystyle к _ {\ rm {D}}}$${\ Displaystyle к _ {\ rm {D}} = \ omega _ {\ rm {D}} / v _ {\ rm {s}}}$

Поскольку мы знаем, что дисперсионное соотношение равно , его можно записать в виде интеграла по всем возможным${\ Displaystyle \ omega = v _ {\ rm {s}} | \ mathbf {k} |}$${\ displaystyle \ omega}$

${\ displaystyle {\ frac {3V} {2 \ pi ^ {2}}} \ int _ {0} ^ {k _ {\ rm {D}}} | \ mathbf {k} | ^ {2} d \ mathbf {k} = {\ frac {3V} {2 \ pi ^ {2} v _ {\ rm {s}} ^ {3}}} \ int _ {0} ^ {\ omega _ {\ rm {D}} } \ omega ^ {2} d \ omega}$,

После решения интеграла снова приравнивается к нахождению ${\ displaystyle 3N}$

${\ displaystyle {\ frac {V} {2 \ pi ^ {2} v _ {\ rm {s}} ^ {3}}} \ omega _ {\ rm {D}} ^ {3} = 3N}$.

Вывод:

${\ displaystyle \ omega _ {\ rm {D}} ^ {3} = {\ frac {6 \ pi ^ {2} N} {V}} v _ {\ rm {s}} ^ {3}}$.

Одномерная цепочка в трехмерном пространстве

Такой же вывод можно сделать для одномерной цепочки атомов. Количество мод остается неизменным, поскольку поляризации по-прежнему три. Так

${\ Displaystyle \ сумма _ {\ rm {режимы}} 3 = 3N}$.

Остальная часть вывода аналогична предыдущему, поэтому снова переписывается левая часть;

${\ displaystyle \ sum _ {\ rm {mode}} 3 = {\ frac {3L} {2 \ pi}} \ int _ {- k _ {\ rm {D}}} ^ {k _ {\ rm {D} }} dk = {\ frac {3L} {\ pi v _ {\ rm {s}}}} \ int _ {0} ^ {\ omega _ {\ rm {D}}} d \ omega}$.

На последнем этапе умножение на два происходит потому, что результат отрицательный, но не результат. Мы продолжаем; ${\ displaystyle k}$${\ displaystyle \ omega}$

${\ displaystyle {\ frac {3L} {\ pi v _ {\ rm {s}}}} \ int _ {0} ^ {\ omega _ {\ rm {D}}} d \ omega = {\ frac {3L } {\ pi v _ {\ rm {s}}}} \ omega _ {\ rm {D}} = 3N}$.

Вывод:

${\ displaystyle \ omega _ {\ rm {D}} = {\ frac {\ pi v _ {\ rm {s}} N} {L}}}$.

Двумерный кристалл

Такой же вывод можно было бы сделать для двумерного кристалла. Опять же, количество мод остается неизменным, потому что есть еще три поляризации. Вывод аналогичен двум предыдущим. Начнем с того же уравнения,

${\ Displaystyle \ сумма _ {\ rm {режимы}} 3 = 3N}$.

А затем переписывается левая часть и приравнивается к ${\ displaystyle 3N}$

${\ displaystyle \ sum _ {\ rm {mode}} 3 = {\ frac {3A} {(2 \ pi) ^ {2}}} \ iint d \ mathbf {k} = {\ frac {3A} {2 \ pi v _ {\ rm {s}} ^ {2}}} \ int _ {0} ^ {\ omega _ {\ rm {D}}} \ omega d \ omega = {\ frac {3A \ omega _ { \ rm {D}} ^ {2}} {4 \ pi v _ {\ rm {s}} ^ {2}}} = 3N}$,

где размер системы. ${\ Displaystyle А \ экв L ^ {2}}$

Вывод

${\ displaystyle \ omega _ {\ rm {D}} ^ {2} = {\ frac {4 \ pi N} {A}} v _ {\ rm {s}} ^ {2}}$.

Позволяя поляризации иметь значение

Как упоминалось во введении: в общем, продольные волны имеют скорость волны, отличную от поперечных. Для ясности сначала предполагалось, что они равны, но теперь мы отказываемся от этого предположения.

Дисперсионное соотношение принимает вид , где , что соответствует трем поляризациям. Однако частота среза (частота Дебая) не зависит от . И мы можем записать общее количество режимов как , что снова равно . Здесь суммирование по модам (хотя и не указано явно) зависит от . ${\ Displaystyle \ omega _ {я} = v_ {s, i} | \ mathbf {k} |}$${\ Displaystyle я = 1,2,3}$${\ displaystyle i}$${\ Displaystyle \ сумма _ {я} \ сумма _ {\ rm {режимы}} 1}$${\ displaystyle 3N}$${\ displaystyle i}$

Одно измерение

И снова суммирование по модам переписывается.

${\ displaystyle \ sum _ {i} \ sum _ {\ rm {mode}} 1 = \ sum _ {i} {\ frac {L} {\ pi v_ {s, i}}} \ int _ {0} ^ {\ omega _ {\ rm {D}}} d \ omega _ {i} = 3N}$.

Результат

${\ displaystyle {\ frac {L \ omega _ {\ rm {D}}} {\ pi}} ({\ frac {1} {v_ {s, 1}}} + {\ frac {1} {v_ { s, 2}}} + {\ frac {1} {v_ {s, 3}}}) = 3N}$.

Таким образом, частота Дебая находится

${\ displaystyle \ omega _ {\ rm {D}} = {\ frac {3 \ pi N} {L}} {\ frac {v_ {s, 1} v_ {s, 2} v_ {s, 3}} {v_ {s, 2} v_ {s, 3} + v_ {s, 1} v_ {s, 3} + v_ {s, 1} v_ {s, 2}}}}$.

Или если предположить, что две поперечные поляризации одинаковы (имеют одинаковую фазовую скорость и частоту)

${\ displaystyle \ omega _ {\ rm {D}} = {\ frac {3 \ pi N} {L}} {\ frac {v_ {s, t} ^ {2} v_ {s, l}} {2v_ {s, t} v_ {s, l} + v_ {s, t} ^ {2}}}}$.

Можно проверить, что это соотношение эквивалентно найденному ранее (когда поляризация не имела значения), установив . ${\ displaystyle v_ {s, t} = v_ {s, l}}$

Два измерения

Такой же вывод можно сделать для двумерного кристалла, чтобы найти (вывод аналогичен предыдущим выводам)

${\ displaystyle \ omega _ {\ rm {D}} ^ {2} = {\ frac {12 \ pi N} {A}} {\ frac {(v_ {s, 1} v_ {s, 2} v_ { s, 3}) ^ {2}} {(v_ {s, 2} v_ {s, 3}) ^ {2} + (v_ {s, 1} v_ {s, 3}) ^ {2} + ( v_ {s, 1} v_ {s, 2}) ^ {2}}}}$.

Или предположив, что две поперечные поляризации равны (хотя для двух измерений было бы логичнее, если бы все поляризации были разными):

${\ displaystyle \ omega _ {\ rm {D}} ^ {2} = {\ frac {12 \ pi N} {A}} {\ frac {(v_ {s, t} ^ {2} v_ {s, l}) ^ {2}} {2 (v_ {s, t} v_ {s, l}) ^ {2} + v_ {s, t} ^ {4}}}}$.

Опять же, можно проверить, что это отношение эквивалентно найденному ранее, установив . ${\ displaystyle v_ {s, t} = v_ {s, l}}$

Три измерения

Такой же вывод можно сделать для трехмерного кристалла, чтобы найти (вывод аналогичен предыдущим выводам)

${\ displaystyle \ omega _ {\ rm {D}} ^ {3} = {\ frac {18 \ pi ^ {2} N} {V}} {\ frac {(v_ {s, 1} v_ {s, 2} v_ {s, 3}) ^ {3}} {(v_ {s, 2} v_ {s, 3}) ^ {3} + (v_ {s, 1} v_ {s, 3}) ^ { 3} + (v_ {s, 1} v_ {s, 2}) ^ {3}}}}$.

Или предположив, что две поперечные поляризации равны (хотя для трех измерений было бы более логично, когда все поляризации были бы одинаковыми):

${\ displaystyle \ omega _ {\ rm {D}} ^ {3} = {\ frac {18 \ pi ^ {2} N} {V}} {\ frac {(v_ {s, t} ^ {2} v_ {s, l}) ^ {3}} {2 (v_ {s, t} v_ {s, l}) ^ {3} + v_ {s, t} ^ {6}}}}$.

Опять же, можно проверить, что это отношение эквивалентно найденному ранее, установив . ${\ displaystyle v_ {s, t} = v_ {s, l}}$

Вывод с фактическим соотношением дисперсии

Эту проблему можно было бы сделать более проницательной, сделав ее более сложной. Вместо использования дисперсионного соотношения теперь предполагается правильное дисперсионное соотношение. Из классической механики известно, что для равноудаленной цепочки масс, гармонически взаимодействующих друг с другом, дисперсионное соотношение имеет вид ${\ displaystyle \ omega = v _ {\ rm {s}} k}$

${\ displaystyle \ omega (k) = 2 {\ sqrt {\ frac {\ kappa} {m}}} \ left | \ sin \ left ({\ frac {ka} {2}} \ right) \ right |}$.

После построения этого соотношения становится ясно, что оценка Дебая длины волны отсечки в конце концов была верной. Потому что для каждого волнового числа больше (то есть меньше чем ) волновое число меньше, чем может быть найдено с той же угловой частотой. Это означает, что полученное физическое проявление моды с большим волновым числом неотличимо от моды с меньшим волновым числом. Таким образом, исследование дисперсионного соотношения может быть ограничено первой зоной бриллюэна, т.е. для. Это возможно из-за того, что система состоит из дискретных точек, как показано на анимированной картинке. Разделив дисперсионное соотношение на и подставив для , находим скорость волны с равной ${\ displaystyle \ pi / a}$${\ displaystyle \ lambda}$${\ displaystyle 2a}$${\ displaystyle \ pi / a}$${\ displaystyle k \ in [- {\ frac {\ pi} {a}}, {\ frac {\ pi} {a}}]}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle \ pi / a}$${\ displaystyle k}$${\ Displaystyle к = \ пи / а}$

${\ displaystyle v _ {\ rm {s}} (k = \ pi / a) = {\ frac {2a} {\ pi}} {\ sqrt {\ frac {\ kappa} {m}}}}$.

Просто подставляя исходное дисперсионное соотношение, мы находим ${\ Displaystyle к = \ пи / а}$

${\ displaystyle \ omega (к = \ pi / a) = 2 {\ sqrt {\ frac {\ kappa} {m}}} = \ omega _ {\ rm {D}}}$.

Объединяя эти результаты, мы снова получаем тот же результат.

${\ displaystyle \ omega _ {\ rm {D}} = {\ frac {\ pi v _ {\ rm {s}}} {a}}}$.

Однако для двухатомных цепей (и более сложных цепей) соответствующая частота отсечки (и длина волны) не очень точны, поскольку длина волны отсечки вдвое больше, а дисперсионное соотношение состоит из двух ветвей (для двухатомной цепи) . Из этого также неясно, была ли частота отсечки точно предсказана Дебаем для более размерных систем.

Альтернативное происхождение

Для одномерной цепочки этот результат также можно воспроизвести с помощью теории наложения спектров. Теорема Котельникова используется в следующем выводе; главное отличие состоит в том, что в следующем выводе дискретизация не во времени, а в пространстве. Если мы воспользуемся правильным соотношением дисперсии из последнего абзаца, станет ясно еще одним информативным способом, почему частота среза имеет значение, полученное ранее (дважды). Итак, снова

${\ displaystyle \ omega (k) = 2 {\ sqrt {\ frac {\ kappa} {m}}} \ left | \ sin \ left ({\ frac {ka} {2}} \ right) \ right |}$

предполагается.

Этот вывод полностью эквивалентен предыдущему, а именно: те же предположения делаются для получения результата. Это не более-менее точно, это просто другой подход.

Чтобы определить, где должна быть частота отсечки, полезно сначала определить, где должна быть граница длины волны. Из дисперсионного соотношения мы знаем, что каждая мода повторяется, поэтому длина волны отсечки будет равна . Из этих и периодических граничных условий вы можете сразу увидеть, что общее количество мод на поляризацию будет . Как видно на гифке в предыдущем абзаце, это происходит потому, что каждая волна с длиной волны короче, чем может быть заменена волной с длиной волны больше, чем для восстановления того же физического результата. ${\ displaystyle k> \ pi / a}$${\ displaystyle \ lambda _ {\ rm {D}} = 2a}$${\ displaystyle N}$${\ displaystyle 2a}$${\ displaystyle 2a}$

Тем не менее, дисперсионное соотношение из предыдущего абзаца (правильное) даже не является необходимым при рассуждении о том, почему граница должна быть равна . Потому что, как показано, только волны с большей длиной волны, чем могут дать такой же физический результат, как и другая. Таким образом, это еще один способ правильно предсказать длину волны отсечки без использования правильного дисперсионного соотношения (или даже знаний из классической механики, как это сделал Дебай). Однако, используя неправильное соотношение дисперсии, которое предположил Дебай, волны с меньшей длиной волны будут иметь более высокую частоту, но относительное движение масс будет таким же, так что это не приведет к появлению новых мод. ${\ displaystyle \ lambda = 2a}$${\ displaystyle 2a}$

Это снова приводит к рендерингу ${\ Displaystyle к _ {\ rm {D}} = \ пи / а}$

${\ displaystyle \ omega _ {\ rm {D}} = {\ frac {\ pi v _ {\ rm {s}}} {a}}}$.

Также здесь не имеет значения, какое дисперсионное соотношение используется (правильное или используемое Дебая), будет найдена одна и та же частота среза.

К сожалению, тот же метод не может быть использован (так же легко) для двух- или трехмерного кристалла, потому что диагональные волны будут иметь большую длину волны отсечки, которую также трудно предсказать.

Смотрите также

• Бозе-газ
• Газ в коробке
• Параметр Грюнайзена

Ссылки

дальнейшее чтение

• Справочник CRC по химии и физике , 56-е издание (1975–1976)
• Шредер, Даниэль В. Введение в теплофизику . Аддисон-Уэсли, Сан-Франциско (2000). Раздел 7.5.

внешние ссылки

• Экспериментальное определение теплоемкости, теплопроводности и теплопроводности кварца с помощью криостата.
• Саймон, Стивен Х. (2014) Оксфордские основы твердого тела (наиболее важные из них: 1, 2 и 6)