Фонон - Phonon

В физике , А фонон является коллективным возбуждением в периодическом, упругом расположении атомов или молекул в конденсированных средах , в частности , в твердых телах и некоторые жидкостях . Часто упоминается как квазичастицы , это возбужденное состояние в квантовом - механическом квантовании из мод колебаний упругих структур взаимодействующих частиц. Фононы можно рассматривать как квантованные звуковые волны , аналогичные фотонам как квантованные световые волны .

Изучение фононов - важная часть физики конденсированного состояния. Они играют важную роль во многих физических свойствах систем конденсированного состояния, таких как теплопроводность и электропроводность , а также играют фундаментальную роль в моделях рассеяния нейтронов и связанных с ними эффектов.

Понятие фононы было введено в 1932 году советским физиком Игорем Таммом . Название фонон происходит от греческого слова φωνή ( phonē ), которое переводится как звук или голос , потому что длинноволновые фононы порождают звук . Название аналогично слову фотон .

Определение

Фонон - это квантово-механическое описание элементарного колебательного движения, при котором решетка атомов или молекул равномерно колеблется с одной частотой . В классической механике это означает нормальный режим вибрации. Нормальные моды важны, потому что любое колебание решетки произвольной формы можно рассматривать как суперпозицию этих элементарных режимов колебаний (см. Анализ Фурье ). В то время как нормальные моды - это волновые явления в классической механике, фононы также обладают свойствами, подобными частицам , в некотором роде, связанном с дуализмом волна-частица в квантовой механике.

Динамика решетки

Уравнения в этом разделе не используют аксиомы квантовой механики, а вместо этого используют соотношения, для которых существует прямое соответствие в классической механике.

Например: жесткая правильная кристаллическая (не аморфная ) решетка состоит из N частиц. Эти частицы могут быть атомами или молекулами. N - большое число, скажем, порядка 10 ²³ или порядка числа Авогадро для типичного образца твердого тела. Поскольку решетка жесткая, атомы должны оказывать друг на друга силы, чтобы удерживать каждый атом около своего положения равновесия. Эти силы могут быть силами Ван-дер-Ваальса , ковалентными связями , электростатическим притяжением и другими, все из которых в конечном итоге обусловлены электрической силой. Магнитные и гравитационные силы обычно незначительны. Силы между каждой парой атомов могут быть охарактеризованы функцией потенциальной энергии V, которая зависит от расстояния разделения атомов. Потенциальная энергия всей решетки - это сумма всех попарных потенциальных энергий, умноженная на коэффициент 1/2 для компенсации двойного счета:

{\ displaystyle {\ frac {1} {2}} \ sum _ {я \ neq j} V \ left (r_ {i} -r_ {j} \ right)}

где г _я это положение о я - го атома, и V представляет собой потенциальную энергию между двумя атомами.

Эту проблему многих тел сложно явно решить ни в классической, ни в квантовой механике. Чтобы упростить задачу, обычно вводят два важных приближения . Во-первых, суммирование выполняется только по соседним атомам. Хотя электрические силы в реальных твердых телах простираются до бесконечности, это приближение все еще справедливо, поскольку поля, создаваемые удаленными атомами, эффективно экранируются . Во-вторых, потенциалы V рассматриваются как гармонические потенциалы . Это допустимо, пока атомы остаются близкими к своему положению равновесия. Формально это достигается за счет того, что Тейлор расширяет V относительно его равновесного значения до квадратичного порядка, давая V пропорционально смещению x ^2, а упругая сила просто пропорциональна x . Ошибка игнорирования членов более высокого порядка остается небольшой, если x остается близким к положению равновесия.

Полученную решетку можно представить как систему шариков, соединенных пружинами. На следующем рисунке показана кубическая решетка, которая является хорошей моделью для многих типов кристаллического твердого тела. Другие решетки включают линейную цепочку, которая представляет собой очень простую решетку, которую мы вскоре будем использовать для моделирования фононов. (Для других распространенных решеток см. Кристаллическую структуру .)

Потенциальная энергия решетки теперь может быть записана как

{\ displaystyle \ sum _ {\ {ij \} (\ mathrm {nn})} {\ tfrac {1} {2}} m \ omega ^ {2} \ left (R_ {i} -R_ {j} \ справа) ^ {2}.}

Здесь ω - собственная частота гармонических потенциалов, которые считаются одинаковыми, поскольку решетка регулярная. R _i - координата положения i- го атома, которую мы теперь измеряем от его положения равновесия. Сумма по ближайшим соседям обозначается (nn).

Решетчатые волны

Фонон, распространяющийся через квадратную решетку (смещения атомов сильно преувеличены)

Из-за связей между атомами смещение одного или нескольких атомов из их положений равновесия приводит к возникновению набора вибрационных волн, распространяющихся через решетку. Одна такая волна показана на рисунке справа. Амплитуда волны задаются смещениями атомов из их равновесных положений. Длина волны λ помечается.

Существует минимально возможная длина волны, равная удвоенному равновесному расстоянию между атомами a . Любая длина волны короче, чем эта, может быть отображена на длину волны, превышающую 2 a , из-за периодичности решетки. Это можно рассматривать как одно из следствий теоремы выборки Найквиста – Шеннона , точки решетки рассматриваются как «точки выборки» непрерывной волны.

Не все возможные колебания решетки имеют четко определенные длину волны и частоту. Однако нормальные моды обладают четко определенными длинами волн и частотами .

Одномерная решетка

Анимация, показывающая первые 6 нормальных мод одномерной решетки: линейная цепочка частиц. Самая короткая длина волны находится вверху, а все более длинные волны - внизу. В самых нижних строках видно движение волн вправо.

Чтобы упростить анализ, необходимый для трехмерной решетки атомов, удобно смоделировать одномерную решетку или линейную цепочку. Эта модель достаточно сложна, чтобы показать основные особенности фононов.

Классическое лечение

Предполагается, что силы между атомами являются линейными и ближайшими соседями, и они представлены упругой пружиной. Предполагается, что каждый атом является точечной частицей, а ядро и электроны движутся пошагово ( адиабатическая теорема ):

п - 1 п п + 1 ← а →

··· o ++++++ o ++++++ o ++++++ o ++++++ o ++++++ o ++++++ o ++++ ++ o ++++++ o ++++++ o ···

→→ → →→→

u _{n - 1}u _n u _n_{+ 1}

где $n$ обозначает $n-$ й атом из общего числа $N$ , $a$ - расстояние между атомами, когда цепочка находится в равновесии, а $u n$ - смещение $n-$ го атома из его положения равновесия.

Если C - упругая постоянная пружины, а $m$ - масса атома, то уравнение движения $n-$ го атома имеет вид

{\ displaystyle -2Cu_ {n} + C \ left (u_ {n + 1} + u_ {n-1} \ right) = m {\ frac {d ^ {2} u_ {n}} {dt ^ {2 }}}.}

Это набор связанных уравнений.

Поскольку ожидается, что решения будут колебательными, новые координаты определяются дискретным преобразованием Фурье для их разделения.

Положил

{\ displaystyle u_ {n} = \ sum _ {Nak / 2 \ pi = 1} ^ {N} Q_ {k} e ^ {ikna}.}

Здесь $na$ соответствует и переходит к непрерывной переменной $x$ скалярной теории поля. $Вопрос к$ известны как нормальные координаты , режимы континуума полевых $ф к$ .

Подстановка в уравнение движения дает следующие разделенные уравнения (это требует значительных манипуляций с использованием соотношений ортонормированности и полноты дискретного преобразования Фурье,

{\ displaystyle 2C (\ cos {ka-1}) Q_ {k} = m {\ frac {d ^ {2} Q_ {k}} {dt ^ {2}}}.}

Это уравнения для развязанных гармонических осцилляторов, которые имеют решение: ${\ displaystyle Q_ {k} = A_ {k} e ^ {i \ omega _ {k} t}; \ qquad \ omega _ {k} = {\ sqrt {{\ frac {2C} {m}} (1 - \ cos {ka})}}.}$

Каждая нормальная координата Q _k представляет собой независимую колебательную моду решетки с волновым числом $k$ , которая известна как нормальная мода .

Второе уравнение для $ω k$ известно как дисперсионное соотношение между угловой частотой и волновым числом .

В континуальном пределе $a$ → 0, $N$ → ∞ при фиксированном $Na$ , $u n$ → $φ (x)$ , скалярном поле и . Это составляет классическую теорию свободного скалярного поля , набор независимых осцилляторов. ${\ Displaystyle \ омега (к) \ пропто ка}$

Квантовая обработка

Одномерная квантово-механическая гармоническая цепочка состоит из N одинаковых атомов. Это простейшая квантово-механическая модель решетки, которая позволяет фононам возникать из нее. Формализм этой модели легко обобщается для двух и трех измерений.

В некотором отличие от предыдущего раздела, положения масс не обозначены u _i , а вместо этого x ₁ , x ₂ …, как измерено от их положений равновесия (т.е. x _i = 0, если частица i находится на своем положение равновесия.) В двух или более измерениях x _i являются векторными величинами. Гамильтониан для этой системы

{\ displaystyle {\ mathcal {H}} = \ sum _ {i = 1} ^ {N} {\ frac {p_ {i} ^ {2}} {2m}} + {\ frac {1} {2} } m \ omega ^ {2} \ sum _ {\ {ij \} (\ mathrm {nn})} \ left (x_ {i} -x_ {j} \ right) ^ {2}}

где m - масса каждого атома (при условии, что она одинакова для всех), а x _i и p _i - операторы положения и импульса , соответственно, для i- го атома, а сумма производится по ближайшим соседям (nn). Однако можно ожидать, что в решетке также могут появиться волны, которые ведут себя как частицы. Это обычное дело с волнами в пространстве Фурье , которое использует нормальные моды на волновой вектор в качестве переменных вместо координат частиц. Количество нормальных мод такое же, как и количество частиц. Однако пространство Фурье очень полезно, учитывая периодичность системы.

Набор N «нормальные координаты» Q _K может быть введены, определяются как дискретное преобразование Фурье в х _K и N «конъюгат» импульсы П _к определенным как преобразования Фурье р _к :

{\ displaystyle {\ begin {align} Q_ {k} & = {\ frac {1} {\ sqrt {N}}} \ sum _ {l} e ^ {ikal} x_ {l} \\\ Pi _ { k} & = {\ frac {1} {\ sqrt {N}}} \ sum _ {l} e ^ {- ikal} p_ {l}. \ end {выравнивается}}}

Величина k _n оказывается волновым числом фонона, т.е. 2 $π,$ деленным на длину волны .

Этот выбор сохраняет желаемые коммутационные соотношения либо в реальном пространстве, либо в пространстве волновых векторов.

{\ displaystyle {\ begin {align} \ left [x_ {l}, p_ {m} \ right] & = i \ hbar \ delta _ {l, m} \\\ left [Q_ {k}, \ Pi _ {k '} \ right] & = {\ frac {1} {N}} \ sum _ {l, m} e ^ {ikal} e ^ {- ik'am} \ left [x_ {l}, p_ { m} \ right] \\ & = {\ frac {i \ hbar} {N}} \ sum _ {l} e ^ {ial \ left (k-k '\ right)} = i \ hbar \ delta _ { k, k '} \\\ left [Q_ {k}, Q_ {k'} \ right] & = \ left [\ Pi _ {k}, \ Pi _ {k '} \ right] = 0 \ end { выровнено}}}

Из общего результата

{\ displaystyle {\ begin {align} \ sum _ {l} x_ {l} x_ {l + m} & = {\ frac {1} {N}} \ sum _ {kk '} Q_ {k} Q_ { k '} \ sum _ {l} e ^ {ial \ left (k + k' \ right)} e ^ {iamk '} = \ sum _ {k} Q_ {k} Q _ {- k} e ^ {iamk } \\\ сумма _ {l} {p_ {l}} ^ {2} & = \ sum _ {k} \ Pi _ {k} \ Pi _ {- k} \ end {выровнено}}}

Термин потенциальной энергии

{\ displaystyle {\ tfrac {1} {2}} m \ omega ^ {2} \ sum _ {j} \ left (x_ {j} -x_ {j + 1} \ right) ^ {2} = {\ tfrac {1} {2}} m \ omega ^ {2} \ sum _ {k} Q_ {k} Q _ {- k} (2-e ^ {ika} -e ^ {- ika}) = {\ tfrac {1} {2}} \ sum _ {k} m {\ omega _ {k}} ^ {2} Q_ {k} Q _ {- k}}

куда

{\ displaystyle \ omega _ {k} = {\ sqrt {2 \ omega ^ {2} \ left (1- \ cos {ka} \ right)}} = 2 \ omega \ left | \ sin {\ frac {ka } {2}} \ right |}

Гамильтониан можно записать в пространстве волновых векторов как

{\ displaystyle {\ mathcal {H}} = {\ frac {1} {2m}} \ sum _ {k} \ left (\ Pi _ {k} \ Pi _ {- k} + m ^ {2} \ омега _ {k} ^ {2} Q_ {k} Q _ {- k} \ right)}

Связи между переменными позиции были изменены; если бы Q и Π были эрмитовыми (а это не так), преобразованный гамильтониан описывал бы N несвязанных гармонических осцилляторов.

Форма квантования зависит от выбора граничных условий; для простоты накладываются периодические граничные условия, определяющие ( N + 1) -й атом как эквивалент первого атома. Физически это соответствует соединению цепочки на ее концах. Результирующее квантование

{\ displaystyle k = k_ {n} = {\ frac {2 \ pi n} {Na}} \ quad {\ mbox {for}} n = 0, \ pm 1, \ pm 2, \ ldots \ pm {\ гидроразрыв {N} {2}}. \}

Верхняя граница для n определяется минимальной длиной волны, которая в два раза больше шага решетки a , как обсуждалось выше.

Собственные значения или уровни энергии гармонического осциллятора для моды ω _k :

{\ displaystyle E_ {n} = \ left ({\ tfrac {1} {2}} + n \ right) \ hbar \ omega _ {k} \ qquad n = 0,1,2,3 \ ldots}

Уровни равномерно расположены:

{\ displaystyle {\ tfrac {1} {2}} \ hbar \ omega, \ {\ tfrac {3} {2}} \ hbar \ omega, \ {\ tfrac {5} {2}} \ hbar \ omega \ \ cdots}

куда 1/2ħω является энергией нулевых колебаний из гармонического осциллятора квантового .

Точное количество энергии ħω должен подаваться к гармоническому решетке осциллятора , чтобы подтолкнуть его к следующему уровню энергии. По сравнению со случаем фотона, когда электромагнитное поле квантовано, квант колебательной энергии называется фононом.

Все квантовые системы одновременно проявляют волнообразные и корпускулярные свойства. Частично-подобные свойства фонона лучше всего понять, используя методы вторичного квантования и операторные техники, описанные ниже.

Трехмерная решетка

Это можно обобщить на трехмерную решетку. Волновое число k заменяется трехмерным волновым вектором k . Кроме того, каждому k теперь соответствует три нормальных координаты.

Новые индексы s = 1, 2, 3 маркируют поляризацию фононов. В одномерной модели движение атомов ограничивалось линией, поэтому фононы соответствовали продольным волнам . В трех измерениях вибрация не ограничивается направлением распространения и также может возникать в перпендикулярных плоскостях, как поперечные волны . Это приводит к появлению дополнительных нормальных координат, которые, как показывает форма гамильтониана, мы можем рассматривать как независимые разновидности фононов.

Отношение дисперсии

Дисперсионные кривые в линейной двухатомной цепочке

Оптические и акустические колебания в линейной двухатомной цепочке.

Соотношение дисперсии ω = ω ( k ) для некоторых волн, соответствующих колебаниям решетки в GaAs.

Для одномерного переменного массива двух типов ионов или атомов с массой m ₁ , m _2, периодически повторяющихся на расстоянии a , связанных пружинами жесткости пружины K , возникают два режима колебаний:

{\ displaystyle \ omega _ {\ pm} ^ {2} = K \ left ({\ frac {1} {m_ {1}}} + {\ frac {1} {m_ {2}}} \ right) \ pm K {\ sqrt {\ left ({\ frac {1} {m_ {1}}} + {\ frac {1} {m_ {2}}} \ right) ^ {2} - {\ frac {4 \ грех ^ {2} {\ frac {ka} {2}}} {m_ {1} m_ {2}}}}},}

где k - волновой вектор колебания, связанный с его длиной волны соотношением . ${\ Displaystyle к = {\ tfrac {2 \ pi} {\ lambda}}}$

Связь между частотой и волновым вектором ω = ω ( k ) известна как дисперсионное соотношение . Знак плюс означает так называемый оптический режим, а знак минус - акустический режим. В оптическом режиме два соседних разных атома движутся друг против друга, а в акустическом - вместе.

Скорость распространения акустического фонона, которая также является скоростью звука в решетке, задается наклоном уравнения акустической дисперсии:∂ ω _k/∂ k(см. групповую скорость .) При низких значениях k (т. е. длинных волнах) дисперсионное соотношение почти линейно, а скорость звука приблизительно равна ωa , независимо от частоты фонона. В результате пакеты фононов с разными (но длинными) длинами волн могут распространяться на большие расстояния по решетке, не распадаясь на части. Это причина того, что звук распространяется через твердые тела без значительных искажений. Такое поведение не работает при больших значениях k , то есть на коротких длинах волн, из-за микроскопических деталей решетки.

Для кристалла, имеющего по крайней мере два атома в своей примитивной ячейке , дисперсионные соотношения демонстрируют два типа фононов, а именно, оптические и акустические моды, соответствующие верхней синей и нижней красной кривой на диаграмме соответственно. Вертикальная ось - это энергия или частота фонона, а горизонтальная ось - волновой вектор . Границы по адресу - $π$ /а и $π$ /аотносятся к первой зоне Бриллюэна . В кристалле с N ≥ 2 различных атомов в примитивной ячейке наблюдаются три акустические моды: одна продольная акустическая мода и две поперечные акустические моды . Число оптических мод составляет 3 N - 3. На нижнем рисунке показаны дисперсионные соотношения для нескольких фононных мод в GaAs в зависимости от волнового вектора k в главных направлениях его зоны Бриллюэна.

Многие кривые дисперсии фононов были измерены методом неупругого рассеяния нейтронов .

Физика звука в жидкостях отличается от физики звука в твердых телах, хотя обе являются волнами плотности: звуковые волны в жидкостях имеют только продольные компоненты, тогда как звуковые волны в твердых телах имеют продольные и поперечные компоненты. Это связано с тем, что жидкости не могут выдерживать напряжения сдвига (но обратите внимание на вязкоупругие жидкости, которые применимы только к высоким частотам).

Интерпретация фононов с использованием методов вторичного квантования

Выведенный выше гамильтониан может выглядеть как классическая гамильтонова функция, но если его интерпретировать как оператор , то он описывает квантовую теорию поля невзаимодействующих бозонов . Метод второго квантования , аналогичный методу лестничного оператора, используемому для квантовых гармонических осцилляторов , является средством извлечения собственных значений энергии без прямого решения дифференциальных уравнений. Учитывая гамильтониан, а также сопряженное положение и сопряженный импульс, определенные в разделе квантовой обработки выше, мы можем определить операторы создания и уничтожения : ${\ displaystyle {\ mathcal {H}}}$ ${\ displaystyle Q_ {k}}$ ${\ displaystyle \ Pi _ {k}}$

{\ displaystyle b_ {k} = {\ sqrt {\ frac {m \ omega _ {k}} {2 \ hbar}}} \ left (Q_ {k} + {\ frac {i} {m \ omega _ { k}}} \ Pi _ {- k} \ right)}

и

{\ displaystyle {b_ {k}} ^ {\ dagger} = {\ sqrt {\ frac {m \ omega _ {k}} {2 \ hbar}}} \ left (Q _ {- k} - {\ frac { i} {m \ omega _ {k}}} \ Pi _ {k} \ right)}

Следующие коммутаторы легко получить, подставив в каноническое коммутационное соотношение :

{\ displaystyle \ left [b_ {k}, {b_ {k '}} ^ {\ dagger} \ right] = \ delta _ {k, k'}, \ quad {\ Big [} b_ {k}, b_ {k '} {\ Big]} = \ left [{b_ {k}} ^ {\ dagger}, {b_ {k'}} ^ {\ dagger} \ right] = 0}

Используя это, операторы b _k^† и b _k можно инвертировать, чтобы переопределить сопряженные положение и импульс как:

{\ displaystyle Q_ {k} = {\ sqrt {\ frac {\ hbar} {2m \ omega _ {k}}}} \ left ({b_ {k}} ^ {\ dagger} + b _ {- k} \ верно)}

и

{\ displaystyle \ Pi _ {k} = i {\ sqrt {\ frac {\ hbar m \ omega _ {k}} {2}}} \ left ({b_ {k}} ^ {\ dagger} -b_ { -k} \ right)}

Прямая подстановка этих определений для и в гамильтониан пространства волновых векторов, как он определен выше, и упрощение затем приводит к тому, что гамильтониан принимает вид: ${\ displaystyle Q_ {k}}$ ${\ displaystyle \ Pi _ {k}}$

{\ displaystyle {\ mathcal {H}} = \ sum _ {k} \ hbar \ omega _ {k} \ left ({b_ {k}} ^ {\ dagger} b_ {k} + {\ tfrac {1}) {2}} \ right)}

Это известно как метод второго квантования, также известный как формулировка числа заполнения, где n _k = b _k^†b _k - число заполнения. Можно увидеть, что это сумма N независимых гамильтонианов осциллятора, каждый из которых имеет уникальный волновой вектор и совместим с методами, используемыми для квантового гармонического осциллятора (обратите внимание, что n _k является эрмитовым ). Когда гамильтониан можно записать как сумму коммутирующих субгамильтонианов, собственные состояния энергии будут заданы произведениями собственных состояний каждого из отдельных субгамильтонианов. Соответствующий энергетический спектр тогда дается суммой индивидуальных собственных значений субгамильтонианов.

Как и в случае с квантовым гармоническим осциллятором, можно показать, что b _k^† и b _k соответственно создают и разрушают единственное возбуждение поля, фонон, с энергией ω _k .

С помощью этого метода можно вывести три важных свойства фононов. Во-первых, фононы являются бозонами , поскольку любое количество идентичных возбуждений может быть создано повторным применением оператора рождения b _k^† . Во-вторых, каждый фонон - это «коллективная мода», вызванная движением каждого атома в решетке. Это можно увидеть из того факта, что операторы создания и уничтожения, определенные здесь в импульсном пространстве, содержат суммы по операторам положения и импульса каждого атома, когда они записаны в пространстве позиций (см. Пространство позиций и импульсное пространство ). Наконец, используя функцию корреляции положение – положение , можно показать, что фононы действуют как волны смещения решетки.

Этот метод легко обобщается на три измерения, где гамильтониан принимает вид:

{\ displaystyle {\ mathcal {H}} = \ sum _ {k} \ sum _ {s = 1} ^ {3} \ hbar \, \ omega _ {k, s} \ left ({b_ {k, s }} ^ {\ dagger} b_ {k, s} + {\ tfrac {1} {2}} \ right).}

Что можно интерпретировать как сумму 3N независимых гамильтонианов осцилляторов, по одному для каждого волнового вектора и поляризации.

Акустические и оптические фононы

Твердые тела с более чем одним атомом в самой маленькой элементарной ячейке обладают двумя типами фононов: акустическими фононами и оптическими фононами.

Акустические фононы - это когерентные движения атомов решетки из их положений равновесия. Если смещение происходит в направлении распространения, то в одних областях атомы будут ближе, в других - дальше друг от друга, как в звуковой волне в воздухе (отсюда и название акустической). Смещение перпендикулярно направлению распространения сравнимо с волнами на струне. Если длина волны акустических фононов стремится к бесконечности, это соответствует простому смещению всего кристалла и требует нулевой энергии деформации. Акустические фононы демонстрируют линейную зависимость между частотой и волновым вектором фонона для длинных волн. Частоты акустических фононов стремятся к нулю с увеличением длины волны. Продольные и поперечные акустические фононы часто обозначают аббревиатурой LA и TA фононы соответственно.

Оптические фононы - это противофазные движения атомов в решетке: один атом движется влево, а его сосед - вправо. Это происходит, если основа решетки состоит из двух и более атомов. Они называются оптическими, потому что в ионных кристаллах, таких как хлорид натрия , колебания смещения создают электрическую поляризацию, которая взаимодействует с электромагнитным полем. Следовательно, они могут быть возбуждены инфракрасным излучением , электрическое поле света будет перемещать каждый положительный ион натрия в направлении поля, а каждый отрицательный ион хлорида - в другом направлении, заставляя кристалл вибрировать.

Оптические фононы имеют ненулевую частоту в центре зоны Бриллюэна и не показывают дисперсии вблизи этого длинноволнового предела. Это потому, что они соответствуют режиму вибрации, когда положительные и отрицательные ионы в соседних узлах решетки колеблются друг относительно друга, создавая изменяющийся во времени электрический дипольный момент . Оптические фононы, которые таким образом взаимодействуют со светом, называются активными в инфракрасном диапазоне . Оптические фононы, которые являются комбинационно активными, также могут косвенно взаимодействовать со светом через рамановское рассеяние . Оптические фононы часто обозначаются сокращенно как LO и TO фононы для продольной и поперечной мод соответственно; расщепление между частотами LO и TO часто точно описывается соотношением Лиддана – Сакса – Теллера .

При экспериментальном измерении энергии оптических фононов частоты оптических фононов иногда задаются в обозначении спектральных волновых чисел , где символ ω представляет обычную частоту (не угловую частоту) и выражается в единицах см ^-1 . Значение получается делением частоты на скорость света в вакууме . Другими слова, волновое число в см ^-1 единиц соответствуют обратной величине длины волны в виде фотона в вакууме, который имеет ту же частоту, что и измеренный фонон.

Кристаллический импульс

k-векторы, выходящие за пределы первой зоны Бриллюэна (красный цвет), не несут больше информации, чем их аналоги (черный цвет) в первой зоне Бриллюэна.

По аналогии с фотонами и волнами материи , фононы обрабатывались волновым вектором k, как если бы он имел импульс ħk , однако это не совсем правильно, потому что k на самом деле не является физическим импульсом; его называют импульсом кристалла или псевдомоментом . Это связано с тем, что k определяется только с точностью до добавления постоянных векторов (векторов обратной решетки и их целые кратные). Например, в одномерной модели нормальные координаты Q и Π определены так, что

{\ displaystyle Q_ {k} {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} Q_ {k + K}; \ quad \ Pi _ {k} {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ Pi _ {k + K}}

куда

{\ Displaystyle К = {\ гидроразрыва {2n \ pi} {а}}}

для любого целого n . Таким образом, фонон с волновым числом k эквивалентен бесконечному семейству фононов с волновыми числами k ± 2 $π$ /а, k ± 4 $π$ /а, и так далее. Физически векторы обратной решетки действуют как дополнительные порции импульса, которые решетка может передавать фонону. Блоховские электроны подчиняются аналогичному набору ограничений.

Зоны Бриллюэна, (а) в квадратной решетке, (б) в гексагональной решетке

Обычно удобно рассматривать фононные волновые векторы k, которые имеют наименьшую величину | k | в их «семье». Набор всех таких волновых векторов определяет первую зону Бриллюэна . Дополнительные зоны Бриллюэна могут быть определены как копии первой зоны, сдвинутые на некоторый вектор обратной решетки.

Термодинамика

В термодинамические свойства твердого вещества непосредственно связаны с его фононной структурой. Весь набор всех возможных фононов, которые описываются соотношением дисперсии фононов, объединяются в так называемую плотность фононных состояний, которая определяет теплоемкость кристалла. По характеру этого распределения в теплоемкости преобладает высокочастотная часть распределения, в то время как теплопроводность в первую очередь является результатом низкочастотной области.

При абсолютном нуле температуры кристаллическая решетка находится в основном состоянии и не содержит фононов. Решетка при ненулевой температуре имеет энергию, которая не является постоянной, а случайным образом колеблется около некоторого среднего значения . Эти флуктуации энергии вызваны случайными колебаниями решетки, которую можно рассматривать как газ фононов. Поскольку эти фононы генерируются температурой решетки, их иногда называют тепловыми фононами.

Тепловые фононы могут создаваться и разрушаться случайными колебаниями энергии. На языке статистической механики это означает, что химический потенциал добавления фонона равен нулю. Такое поведение является продолжением гармонического потенциала в ангармонический режим. Поведение тепловых фононов подобно газу фотонов, создаваемому электромагнитной полостью , где фотоны могут излучаться или поглощаться стенками полости. Это сходство не случайно, поскольку оказывается, что электромагнитное поле ведет себя как набор гармонических осцилляторов, порождающих излучение Черного тела . Оба газа подчиняются статистике Бозе – Эйнштейна : в тепловом равновесии и в гармоническом режиме вероятность обнаружения фононов или фотонов в заданном состоянии с заданной угловой частотой равна:

{\ displaystyle n \ left (\ omega _ {k, s} \ right) = {\ frac {1} {\ exp \ left ({\ dfrac {\ hbar \ omega _ {k, s}} {k _ {\ mathrm {B}} T}} \ right) -1}}}

где ω _{k , s} - частота фононов (или фотонов) в состоянии, k _B - постоянная Больцмана , а T - температура.

Фононное туннелирование

Было показано, что фононы проявляют квантовое туннельное поведение (или туннелирование фононов ), когда через зазоры шириной до нанометра тепло может течь через фононы, которые «туннелируют» между двумя материалами. Этот тип теплопередачи работает на расстояниях, которые слишком велики для возникновения теплопроводности, но слишком малы для возникновения излучения, и поэтому не могут быть объяснены классическими моделями теплопередачи .

Операторный формализм

Фононный гамильтониан задается формулой

{\ displaystyle {\ mathcal {H}} = {\ tfrac {1} {2}} \ sum _ {\ alpha} \ left (p _ {\ alpha} ^ {2} + \ omega _ {\ alpha} ^ { 2} q _ {\ alpha} ^ {2} - \ hbar \ omega _ {\ alpha} \ right)}

В терминах операторов создания и уничтожения они задаются формулами

{\ displaystyle {\ mathcal {H}} = \ sum _ {\ alpha} \ hbar \ omega _ {\ alpha} {a _ {\ alpha}} ^ {\ dagger} a _ {\ alpha}}

Здесь, выражая гамильтониан в операторном формализме, мы не учли1/2ħω _кв термин , как, учитывая континуум или бесконечной решетки , то1/2ħω _q членов складываются, давая бесконечный член . Следовательно, он « перенормируется », устанавливая коэффициент1/2ħω _q к 0, утверждая, что мы измеряем разницу в энергии, а не ее абсолютное значение. Следовательно1/2Фактор ħω _q отсутствует в операторно формализованном выражении гамильтониана .

Основное состояние, также называемое « вакуумным состоянием », - это состояние, не состоящее из фононов. Следовательно, энергия основного состояния равна 0. Когда система находится в состоянии | n ₁n ₂n ₃ …⟩ , мы говорим, что имеется n _α фононов типа α , где n _α - число заполнения фононов. Энергия одного фонона типа α определяется выражением ħω _q, а полная энергия общей фононной системы выражается как n ₁ħω ₁ + n ₂ħω ₂ +…. Поскольку нет перекрестных членов (например, n ₁ħω ₂ ), говорят, что фононы не взаимодействуют. Действие операторов создания и уничтожения задается:

{\ displaystyle {a _ {\ alpha}} ^ {\ dagger} {\ Big |} n_ {1} \ ldots n _ {\ alpha -1} n _ {\ alpha} n _ {\ alpha +1} \ ldots {\ Big \ rangle} = {\ sqrt {n _ {\ alpha} +1}} {\ Big |} n_ {1} \ ldots, n _ {\ alpha -1}, (n _ {\ alpha} +1), n ​​_ {\ альфа +1} \ ldots {\ Big \ rangle}}

и,

{\ displaystyle a _ {\ alpha} {\ Big |} n_ {1} \ ldots n _ {\ alpha -1} n _ {\ alpha} n _ {\ alpha +1} \ ldots {\ Big \ rangle} = {\ sqrt {n _ {\ alpha}}} {\ Big |} n_ {1} \ ldots, n _ {\ alpha -1}, (n _ {\ alpha} -1), n ​​_ {\ alpha +1}, \ ldots {\ Большой \ rangle}}

Оператор рождения a _α^† создает фонон типа α, а оператор _α уничтожает его. Следовательно, они являются операторами рождения и уничтожения фононов соответственно. Аналогично случаю квантового гармонического осциллятора , мы можем определить оператор числа частиц как

{\ displaystyle N = \ sum _ {\ alpha} {a _ {\ alpha}} ^ {\ dagger} a _ {\ alpha}.}

Числовой оператор коммутирует со строкой произведений операторов создания и уничтожения тогда и только тогда, когда количество операторов создания равно количеству операторов уничтожения.

Как можно показать , что фононы симметрична относительно обмена (т.е. | α , & beta ; ⟩ = | & beta ; , α ⟩ ), они считаются бозоны .

Нелинейность

Как и фотоны , фононы могут взаимодействовать посредством параметрического преобразования с понижением частоты и образовывать сжатые когерентные состояния .

Прогнозируемые свойства

Недавние исследования показали, что фононы и ротоны могут иметь значительную массу и на них действует гравитация, как и на стандартные частицы. В частности, предсказано, что фононы обладают своего рода отрицательной массой и отрицательной гравитацией. Это можно объяснить тем, что фононы, как известно, перемещаются быстрее в более плотных материалах. Поскольку часть материала, указывающая на источник гравитации, находится ближе к объекту, он становится более плотным на этом конце. Исходя из этого, предполагается, что фононы будут отклоняться, поскольку он обнаруживает разницу в плотностях, проявляя качества отрицательного гравитационного поля. Хотя эффект будет слишком мал для измерения, возможно, что будущее оборудование может привести к успешным результатам.

Также предсказано, что фононы играют ключевую роль в сверхпроводимости материалов и в предсказании сверхпроводящих соединений.

В 2019 году исследователям впервые удалось выделить отдельные фононы, не уничтожая их.

Смотрите также

использованная литература

внешние ссылки

Цитаты, связанные с Phonon в Wikiquote
Объяснение: Phonons , MIT News, 2010.
Оптические и акустические режимы
Фононы в одномерном микрожидкостном кристалле [1] и [2] с фильмами в [3] .

Languages

In other projects