Парастатистика - Parastatistics

Статистическая механика
Термодинамика Кинетическая теория
Статистика частиц Теорема спин-статистики Идентичные частицы Максвелл – Больцманн Бозе-Эйнштейн Ферми – Дирак Парастатистика Статистика Anyonic Статистика плетения
Термодинамические ансамбли NVE Microcanonical NVT Canonical µVT Большой канонический НПХ Изоэнтальпийно-изобарический NPT Изотермически-изобарический
Модели Дебай Эйнштейн Я пою Potts
Возможности Внутренняя энергия Энтальпия Свободная энергия Гельмгольца Свободная энергия Гиббса Большой потенциал / свободная энергия Ландау
Ученые Максвелл Больцман Гиббс Эйнштейн Эренфест фон Нейман Толман Дебай Ферми Bose
v т е

В квантовой механике и статистической механики , парастатистика является одной из нескольких альтернатив более известных статистических частиц моделей ( статистика Бозе-Эйнштейна , статистика Ферми-Дирака и статистика Максвелла-Больцмана ). Другие варианты включают anyonic статистики и кос статистики , оба из них с участием более низкие размеры пространства - времени. Герберту С. Грину приписывают создание парастатистики в 1953 году.

Формализм

Рассмотрим операторную алгебру системы из N одинаковых частиц. Это * -алгебра . Существует S _N группа ( симметрическая группа порядка N ) действует на оператор алгебру с предполагаемой интерпретацией перестановки на N частиц. Квантовая механика требует сосредоточения внимания на наблюдаемых, имеющих физический смысл, и наблюдаемые должны быть инвариантными относительно всех возможных перестановок N частиц. Например, в случае N  = 2, R ₂  -  R ₁ не может быть наблюдаемым, потому что он меняет знак, если мы переключаем две частицы, но расстояние между двумя частицами: | R ₂  -  R ₁ | является законным наблюдаемым.

Другими словами, наблюдаемая алгебра должна быть * -подалгеброй, инвариантной относительно действия S _N (отметим, что это не означает, что каждый элемент операторной алгебры, инвариантный относительно S _N, является наблюдаемой). Это позволяет различные суперотборных секторов , каждый из которых параметризирован диаграммы Юнга из S _N .

В частности:

• Для N идентичных парабозонов порядка p (где p - целое положительное число) допустимые диаграммы Юнга - это все диаграммы с p или меньшим количеством строк.
• Для N одинаковых парафермионов порядка p допустимыми являются диаграммы Юнга с p или меньшим количеством столбцов.
• Если p равно 1, это сводится к статистике Бозе – Эйнштейна и Ферми – Дирака соответственно.
• Если p произвольно велико (бесконечно), это сводится к статистике Максвелла – Больцмана.

Квантовая теория поля

Поле парабозонов порядка p , где если x и y - пространственно- разделенные точки, и если где [,] - коммутатор, а {,} - антикоммутатор . Обратите внимание, что это не согласуется с теоремой о спиновой статистике , которая предназначена для бозонов, а не парабозонов. Может существовать такая группа, как симметрическая группа S _p, действующая на φ ^{( i )} s. Наблюдаемые должны быть операторами, инвариантными относительно рассматриваемой группы. Однако наличие такой симметрии не обязательно. ${\ Displaystyle \ фи (х) = \ сумма _ {я = 1} ^ {р} \ фи ^ {(я)} (х)}$${\ Displaystyle [\ фи ^ {(я)} (х), \ фи ^ {(я)} (у)] = 0}$${\ Displaystyle \ {\ phi ^ {(я)} (х), \ phi ^ {(j)} (у) \} = 0}$${\ displaystyle i \ neq j}$

Парафермионное поле порядка p , где если x и y - пространственно- разделенные точки, а если . Тот же комментарий о наблюдаемых будет применяться вместе с требованием, чтобы они имели четную оценку при оценке, где ψ s имеют нечетную оценку. ${\ Displaystyle \ psi (x) = \ sum _ {i = 1} ^ {p} \ psi ^ {(i)} (x)}$${\ Displaystyle \ {\ пси ^ {(я)} (х), \ пси ^ {(я)} (у) \} = 0}$${\ Displaystyle [\ psi ^ {(i)} (x), \ psi ^ {(j)} (y)] = 0}$${\ displaystyle i \ neq j}$

В parafermionic и parabosonic алгебры порождены элементами , которые подчиняются коммутационными и антикоммутационные отношения. Они обобщают обычную фермионную алгебру и бозонную алгебру квантовой механики. Алгебра Дирака и Даффина-Кеммера-Петье алгебры появляются как частные случаи parafermionic алгебры для порядка р  = 1 и р  = 2, соответственно.

Объяснение

Обратите внимание, что если x и y - точки, разделенные пространственно-подобным разделением, φ ( x ) и φ ( y ) не коммутируют и не антикоммутируют, если p = 1. Тот же комментарий относится к ψ ( x ) и ψ ( y ). Итак, если у нас есть n пространственно разделенных точек x ₁ , ..., x _n ,

${\ Displaystyle \ phi (x_ {1}) \ cdots \ phi (x_ {n}) | \ Omega \ rangle}$

соответствует созданию n идентичных парабозонов в точках x ₁ , ..., x _n . По аналогии,

${\ Displaystyle \ psi (x_ {1}) \ cdots \ psi (x_ {n}) | \ Omega \ rangle}$

соответствует созданию n одинаковых парафермионов. Поскольку эти поля не коммутируют и не антикоммутируют

${\ Displaystyle \ phi (x _ {\ pi (1)}) \ cdots \ phi (x _ {\ pi (n)}) | \ Omega \ rangle}$

а также

${\ Displaystyle \ psi (x _ {\ pi (1)}) \ cdots \ psi (x _ {\ pi (n)}) | \ Omega \ rangle}$

дает различные состояния для каждой перестановки π в S _n .

Мы можем определить оператор перестановки следующим образом: ${\ Displaystyle {\ mathcal {E}} (\ pi)}$

${\ displaystyle {\ mathcal {E}} (\ pi) \ left [\ phi (x_ {1}) \ cdots \ phi (x_ {n}) | \ Omega \ rangle \ right] = \ phi (x _ {\ pi ^ {- 1} (1)}) \ cdots \ phi (x _ {\ pi ^ {- 1} (n)}) | \ Omega \ rangle}$

а также

${\ displaystyle {\ mathcal {E}} (\ pi) \ left [\ psi (x_ {1}) \ cdots \ psi (x_ {n}) | \ Omega \ rangle \ right] = \ psi (x _ {\ pi ^ {- 1} (1)}) \ cdots \ psi (x _ {\ pi ^ {- 1} (n)}) | \ Omega \ rangle}$

соответственно. Можно показать, что это хорошо определено, пока оно ограничено только состояниями, охватываемыми векторами, данными выше (по существу, состояниями с n идентичными частицами). Это тоже унитарно . Более того, это операторнозначное представление симметрической группы S _n, и поэтому мы можем интерпретировать его как действие S _n на само n -частичное гильбертово пространство, превращая его в унитарное представление . ${\ Displaystyle {\ mathcal {E}} (\ pi)}$${\ displaystyle {\ mathcal {E}}}$

КХД может быть переформулирована с использованием парастатистики, где кварки являются парафермионами порядка 3, а глюоны - парабозонами порядка 8. Обратите внимание, что это отличается от традиционного подхода, в котором кварки всегда подчиняются антикоммутационным соотношениям и соотношениям коммутации глюонов.

Смотрите также

• Преобразование Клейна о том, как конвертировать между парастатистикой и более традиционной статистикой.

Рекомендации