Теорема спин-статистики - Spin–statistics theorem

В квантовой механике , как спин-статистика теорема связывает внутреннюю спин частицы ( угловой момент не вследствие орбитального движения) к статистике частиц она подчиняется. В единицах приведенной постоянной Планка ħ все частицы , движущиеся в трех измерениях, имеют либо целое, либо полуцелое вращение.

Задний план

Квантовые состояния и неразличимые частицы

В квантовой системе физическое состояние описывается вектором состояния . Пара различных векторов состояния физически эквивалентны, если их абсолютное значение равно, без учета других взаимодействий. Такая пара неразличимых частиц имеет только одно состояние. Это означает, что если положения частиц меняются местами (т.е. они претерпевают перестановку), это не идентифицирует новое физическое состояние, а скорее соответствует исходному физическому состоянию. Фактически, невозможно сказать, какая частица находится в каком положении.

Хотя физическое состояние не изменяется при обмене положениями частиц, возможно изменение знака вектора состояния в результате обмена. Поскольку при этом не изменяется абсолютное значение вектора состояния, это не влияет на физическое состояние.

Существенным ингредиентом в доказательстве связи спин / статистика является теория относительности, согласно которой физические законы не меняются при преобразованиях Лоренца . Операторы поля по определению преобразуются при преобразованиях Лоренца в соответствии со спином создаваемой ими частицы.

Кроме того, предположение (известное как микропричинность) о том, что пространственно-подобные разделенные поля коммутируют или антикоммутируют, может быть сделано только для релятивистских теорий с направлением времени. В противном случае понятие космической сущности бессмысленно. Однако доказательство включает рассмотрение евклидовой версии пространства-времени, в которой направление времени рассматривается как пространственное, как будет теперь объяснено.

Преобразования Лоренца включают в себя 3-мерные вращения, а также ускорения . Ускорение переходит в систему отсчета с другой скоростью и математически похоже на вращение во времени. При аналитическом продолжении корреляционных функций квантовой теории поля временная координата может стать мнимой , а затем ускорения станут вращениями. Новое «пространство-время» имеет только пространственные направления и называется евклидовым .

Обменная симметрия или перестановочная симметрия

Бозоны - это частицы, волновая функция которых симметрична при таком обмене или перестановке, поэтому, если мы поменяем местами частицы, волновая функция не изменится. Фермионы - это частицы, волновая функция которых антисимметрична, поэтому при таком обмене волновая функция получает знак минус, что означает, что амплитуда двух идентичных фермионов, занимающих одно и то же состояние, должна быть равна нулю. Это принцип исключения Паули : два одинаковых фермиона не могут находиться в одном и том же состоянии. Для бозонов это правило не выполняется.

В квантовой теории поля состояние или волновая функция описывается операторами поля, действующими в некотором базовом состоянии, называемом вакуумом . Чтобы операторы могли проецировать симметричную или антисимметричную составляющую создающей волновой функции, они должны иметь соответствующий закон коммутации. Оператор

{\ Displaystyle \ iint \ psi (х, y) \ phi (x) \ phi (y) \, dx \, dy}

(с оператором и числовой функцией) создает двухчастичное состояние с волновой функцией , и в зависимости от коммутационных свойств полей имеют значение либо только антисимметричные части, либо симметричные части. ${\ displaystyle \ phi}$ ${\ Displaystyle \ psi (х, у)}$ ${\ Displaystyle \ psi (х, у)}$

Предположим, что и два оператора выполняются одновременно; в более общем смысле они могут иметь пространственное разделение, как будет объяснено ниже. ${\ displaystyle x \ neq y}$

Если поля коммутируются , это означает, что выполняется следующее:

{\ Displaystyle \ фи (х) \ фи (у) = \ фи (у) \ фи (х)}

,

тогда только симметричная часть вносит вклад, так что и поле будет создавать бозонные частицы. ${\ displaystyle \ psi}$ ${\ Displaystyle \ psi (х, y) = \ psi (y, x)}$

С другой стороны, если поля антикоммутируют , что означает, что они обладают свойством, что ${\ displaystyle \ phi}$

{\ Displaystyle \ фи (х) \ фи (у) = - \ фи (у) \ фи (х),}

тогда вносит вклад только антисимметричная часть , так что и частицы будут фермионными. ${\ displaystyle \ psi}$ ${\ Displaystyle \ psi (х, y) = - \ psi (y, x)}$

Наивно, что ни то, ни другое не имеет ничего общего со спином, который определяет вращательные свойства частиц, а не с обменными свойствами.

Отношение спин – статистика

Соотношение спин-статистика было впервые сформулировано в 1939 г. Маркусом Фирцем и перево- дено Вольфгангом Паули более систематическим образом . Фирц и Паули аргументировали свой результат перечислением всех теорий свободного поля с учетом требования наличия квадратичных форм для локально коммутируемых наблюдаемых, включая положительно определенную плотность энергии. Более концептуальный аргумент был предоставлен Джулианом Швингером в 1950 году. Ричард Фейнман продемонстрировал это, потребовав унитарности для рассеяния при изменении внешнего потенциала, что в переводе на язык поля является условием для квадратичного оператора, связанного с потенциалом.

Утверждение теоремы

Теорема утверждает, что:

Волновая функция системы из идентичных целочисленных-спиновых частиц имеет такое же значение , когда позиции любых два частиц поменяны местами. Частицы с волновыми функциями, симметричными относительно обмена, называются бозонами .
Волновая функция системы одинаковых частиц с полуцелым спином меняет знак, когда две частицы меняются местами. Частицы с антисимметричными относительно обмена волновыми функциями называются фермионами .

Другими словами, спин-статистическая теорема утверждает, что частицы с целым спином являются бозонами, а частицы с полуцелым спином - фермионами.

Обсуждение

Наводящий ложный аргумент

Рассмотрим двухполевое операторное произведение

{\ Displaystyle Р (\ пи) \ фи (х) \ фи (-x),}

где R - матрица, которая поворачивает спиновую поляризацию поля на 180 градусов при повороте на 180 градусов вокруг некоторой конкретной оси. Компоненты не показаны в этих обозначениях. имеет много компонентов, и матрица R смешивает их друг с другом. ${\ displaystyle \ phi}$ ${\ displaystyle \ phi}$

В нерелятивистской теории этот продукт можно интерпретировать как уничтожение двух частиц в положениях и с поляризациями, повернутыми относительно друг друга. Теперь поверните эту конфигурацию вокруг начала координат. При этом повороте две точки и места переключения, а также две поляризации поля дополнительно поворачиваются на a . Итак, мы получаем ${\ displaystyle x}$ ${\ displaystyle -x}$ ${\ displaystyle \ pi}$ ${\ displaystyle \ pi}$ ${\ displaystyle x}$ ${\ displaystyle -x}$ ${\ displaystyle \ pi}$

{\ Displaystyle Р (2 \ пи) \ фи (-x) р (\ пи) \ фи (х),}

что для целого спина равно

{\ Displaystyle \ фи (-x) р (\ пи) \ фи (х)}

а для полуцелого спина равно

{\ Displaystyle - \ фи (-x) р (\ пи) \ фи (х)}

(доказано в Spin (физика) § Вращения ). Оба оператора по- прежнему аннигилируют две частицы при и . Следовательно, мы утверждаем, что показали, что относительно состояний частиц: ${\ Displaystyle \ pm \ phi (-x) R (\ pi) \ phi (x)}$ ${\ displaystyle x}$ ${\ displaystyle -x}$

{\ Displaystyle R (\ pi) \ phi (x) \ phi (-x) = {\ begin {cases} \ phi (-x) R (\ pi) \ phi (x) & {\ text {для целых спинов }}, \\ - \ phi (-x) R (\ pi) \ phi (x) & {\ text {для полуцелых спинов}}. \ end {ases}}}

Таким образом, изменение порядка вставки двух соответственно поляризованных операторов в вакуум может быть выполнено вращением за счет знака в полуцелом случае.

Этот аргумент сам по себе не доказывает ничего подобного соотношению спин – статистика. Чтобы понять, почему, рассмотрим нерелятивистское поле со спином 0, описываемое свободным уравнением Шредингера. Такое поле может быть антикоммутирующим или коммутирующим. Чтобы увидеть, где это не удается, представьте, что нерелятивистское поле со спином 0 не имеет поляризации, поэтому произведение выше просто:

{\ Displaystyle \ фи (-x) \ фи (х).}

В нерелятивистской теории этот продукт аннигилирует две частицы при и и имеет нулевое математическое ожидание в любом состоянии. Чтобы иметь ненулевой матричный элемент, это операторное произведение должно находиться между состояниями с двумя частицами справа больше, чем слева: ${\ displaystyle x}$ ${\ displaystyle -x}$

{\ Displaystyle \ langle 0 | \ phi (-x) \ phi (x) | \ psi \ rangle.}

Выполняя вращение, все, что мы узнаем, - это то, что вращение двухчастичного состояния дает тот же знак, что и изменение порядка оператора. Это не дает никакой дополнительной информации, поэтому этот аргумент ничего не доказывает. ${\ displaystyle | \ psi \ rangle}$

Почему фальшивый аргумент терпит неудачу

Чтобы доказать теорему спиновой статистики, необходимо использовать теорию относительности, что очевидно из согласованности нерелятивистского бесспинового фермиона и нерелятивистских спиновых бозонов. В литературе есть утверждения о доказательствах теоремы спиновой статистики, которые не требуют теории относительности, но они не являются доказательством теоремы, как показывают контрпримеры, а скорее являются аргументами в пользу того, почему спин-статистика «естественна», а неверна. -статистика «неестественная». В теории относительности связь обязательна.

В теории относительности нет локальных полей, которые были бы чистыми операторами созидания или операторами уничтожения. Каждое локальное поле одновременно создает частицы и уничтожает соответствующую античастицу. Это означает, что в теории относительности продукт свободного реального поля со спином 0 имеет ненулевое значение математического ожидания вакуума, потому что помимо создания частиц, которые не аннигилируют, и уничтожающих частиц, которые не создаются впоследствии, он также включает в себя часть, которая создает и аннигилирует «виртуальные» частицы, существование которых учитывается при расчетах взаимодействия - но никогда не в виде индексов матрицы рассеяния или асимптотических состояний.

{\ Displaystyle G (x) = \ langle 0 | \ phi (-x) \ phi (x) | 0 \ rangle.}

И теперь можно использовать эвристический аргумент, чтобы увидеть, что это равно , что говорит нам, что поля не могут быть анти-коммутирующими. ${\ Displaystyle G (х)}$ ${\ Displaystyle G (-x)}$

Доказательство

Поворот на π в евклидовой плоскости xt может использоваться для поворота значений математического ожидания вакуума полевого продукта из предыдущего раздела. Вращение времени поворачивает аргумент предыдущего параграфа в теорему спина-статистике.

Доказательство требует следующих предположений:

Теория имеет лоренц-инвариантный лагранжиан.
Вакуум лоренц-инвариантен.
Частица - это локализованное возбуждение. Микроскопически он не прикреплен к струне или доменной стенке.
Частица распространяется, а это означает, что она имеет конечную, а не бесконечную массу.
Частица является настоящим возбуждением, а это означает, что состояния, содержащие эту частицу, имеют положительно определенную норму.

Эти предположения по большей части необходимы, как показывают следующие примеры:

В бесспиновом антикоммутирующем поле показывает , что бесспиновые фермионы нерелятивистский последовательны. Точно так же теория спинорного коммутирующего поля показывает, что спинорные бозоны тоже.
Это предположение может быть ослаблено.
В 2 + 1 измерениях источники теории Черна – Саймонса могут иметь экзотические спины, несмотря на то, что трехмерная группа вращений имеет только целочисленные и полуцелые спиновые представления.
Ультралокальное поле может иметь любую статистику независимо от его спина. Это связано с лоренц-инвариантностью, поскольку бесконечно массивная частица всегда нерелятивистская, а спин не связан с динамикой. Хотя цветные кварки прикреплены к струне КХД и имеют бесконечную массу, соотношение спин-статистика для кварков может быть доказано в пределе малых расстояний.
Калибровочные призраки - это бесспиновые фермионы, но они включают состояния с отрицательной нормой.

Предположения 1 и 2 подразумевают, что теория описывается интегралом по путям, а предположение 3 подразумевает, что существует локальное поле, которое создает частицу.

Плоскость вращения включает время, а вращение в плоскости, включающей время в евклидовой теории, определяет преобразование CPT в теории Минковского. Если теория описывается интегралом по путям, преобразование CPT переводит состояния в их сопряженные, так что корреляционная функция

{\ Displaystyle \ langle 0 | р \ фи (х) \ фи (-x) | 0 \ rangle}

должно быть положительно определенным при x = 0 по предположению 5, состояния частицы имеют положительную норму. Предположение о конечной массе означает, что эта корреляционная функция отлична от нуля для пространственноподобного x. Лоренц-инвариантность теперь позволяет вращать поля внутри корреляционной функции, как это было в предыдущем разделе:

{\ Displaystyle \ langle 0 | RR \ phi (x) R \ phi (-x) | 0 \ rangle = \ pm \ langle 0 | \ phi (-x) R \ phi (x) | 0 \ rangle}

Где знак зависит от вращения, как и раньше. CPT-инвариантность или евклидова вращательная инвариантность корреляционной функции гарантирует, что она равна G (x). Так

{\ Displaystyle \ langle 0 | (р \ фи (х) \ фи (у) - \ фи (у) р \ фи (х)) | 0 \ rangle = 0}

для целочисленных спиновых полей и

{\ Displaystyle \ langle 0 | р \ фи (х) \ фи (у) + \ фи (у) р \ фи (х) | 0 \ rangle = 0}

для полуцелых спиновых полей.

Поскольку операторы пространственно разделены, другой порядок может создавать только состояния, различающиеся фазой. Аргумент фиксирует фазу равной -1 или 1 в зависимости от спина. Поскольку пространственно-подобные разделенные поляризации можно вращать независимо посредством локальных возмущений, фаза не должна зависеть от поляризации в правильно выбранных координатах поля.

Этот аргумент принадлежит Джулиану Швингеру .

Невозможно дать элементарного объяснения теоремы о спиновой статистике, несмотря на то, что теорема настолько проста в формулировке. В лекциях Фейнмана по физике Ричард Фейнман сказал, что это, вероятно, означает, что у нас нет полного понимания задействованного фундаментального принципа. см. Дальнейшее чтение ниже.

Чтобы проверить теорему, Дрейк провел очень точные вычисления для состояний атома Не, которые нарушают принцип исключения Паули ; они называются пароническими состояниями . Позже паронное состояние 1s2s ¹ S _0, вычисленное Дрейком, искали с помощью атомно-лучевого спектрометра. Поиск не увенчался успехом с верхним пределом 5x10 ⁻⁶ .

Последствия

Фермионные поля

Теорема спин-статистики подразумевает, что частицы с полуцелым спином подчиняются принципу исключения Паули , а частицы с целым спином - нет. Только один фермион может занимать данное квантовое состояние в любой момент времени, в то время как количество бозонов, которые могут занимать квантовое состояние, не ограничено. Основными строительными блоками материи, такими как протоны , нейтроны и электроны, являются фермионы. Частицы, такие как фотон , которые являются посредниками между частицами материи, являются бозонами.

Распределение Ферми – Дирака, описывающее фермионы, приводит к интересным свойствам. Поскольку только один фермион может занимать данное квантовое состояние, самый низкий одночастичный уровень энергии для фермионов со спином 1/2 содержит не более двух частиц, причем спины частиц выровнены в противоположных направлениях. Таким образом, даже при абсолютном нуле система из более чем двух фермионов в этом случае все еще имеет значительное количество энергии. В результате такая фермионная система оказывает внешнее давление . Такое давление может существовать даже при ненулевых температурах. Это давление вырождения отвечает за удержание некоторых массивных звезд от коллапса из-за гравитации. Посмотрите на белый карлик , нейтронную звезду и черную дыру .

Бозонные поля

Есть несколько интересных явлений, связанных с этими двумя типами статистики. Распределение Бозе – Эйнштейна, описывающее бозоны, приводит к конденсации Бозе – Эйнштейна . Ниже определенной температуры большинство частиц в бозонной системе будет занимать основное состояние (состояние с наименьшей энергией). Это может привести к необычным свойствам, таким как сверхтекучесть .

Призрачные поля

Призрачные поля не подчиняются соотношению спин – статистика. См. Преобразование Клейна о том, как залатать лазейку в теореме.

Связь с теорией представлений группы Лоренца

Группа Лоренца не имеет нетривиальных унитарных представлений конечной размерности. Таким образом, кажется невозможным построить гильбертово пространство, в котором все состояния имеют конечный ненулевой спин и положительную лоренц-инвариантную норму. Эта проблема решается по-разному в зависимости от спин-статистики частицы.

Для состояния с целочисленным спином состояния с отрицательной нормой (известные как «нефизическая поляризация») устанавливаются равными нулю, что делает использование калибровочной симметрии необходимым.

Для состояния полуцелого спина аргумент можно обойти, имея фермионную статистику.

Ограничения: анионы в 2-х измерениях

В 1982 году физик Франк Вильчек опубликовал исследовательскую работу о возможностях частиц с дробным спином, которые он назвал энионами из-за их способности принимать «любой» спин. Он писал, что теоретически предсказано, что они возникнут в низкоразмерных системах, где движение ограничено менее чем тремя пространственными измерениями. Вильчек описал их спиновую статистику как «непрерывную интерполяцию между обычными случаями бозонов и фермионов». Доказательства существования энионов были представлены экспериментально с 1985 по 2013 год, хотя не считается окончательно установленным, что все предложенные виды энионов существуют. Аньоны связаны с косой симметрией и топологическими состояниями материи .

Смотрите также

дальнейшее чтение

Дак, Ян; Сударшан, ЭКГ (1998). «К пониманию теоремы спин-статистики». Американский журнал физики . 66 (4): 284–303. Bibcode : 1998AmJPh..66..284D . DOI : 10.1119 / 1.18860 .
Streater, Ray F .; Вайтман, Артур С. (2000). PCT, Spin & Statistics, and All That (5-е изд.). Принстон: Издательство Принстонского университета. ISBN 0-691-07062-8.
Уколы, Артур (2010). «Связь спина и статистики в квантовой механике». Основы физики . 40 (7): 776–792. arXiv : 0810.2399 . Bibcode : 2010FoPh ... 40..776J . DOI : 10.1007 / s10701-009-9351-4 .

Languages

In other projects