Бозе-газ - Bose gas

Идеальный бозе-газ - это квантово-механическая фаза вещества , аналогичная классическому идеальному газу . Он состоит из бозонов , которые имеют целое значение спина и подчиняются статистике Бозе – Эйнштейна . Статистическая механика бозонов была разработана Сатьендрой Нат Бозом для фотонного газа и распространена на массивные частицы Альбертом Эйнштейном, который понял, что идеальный газ бозонов будет образовывать конденсат при достаточно низкой температуре, в отличие от классического идеального газа. Этот конденсат известен как конденсат Бозе – Эйнштейна .

Введение и примеры

Бозоны - это квантово-механические частицы, которые следуют статистике Бозе – Эйнштейна или, что эквивалентно, обладают целочисленным спином . Эти частицы можно классифицировать как элементарные: это бозон Хиггса , фотон , глюон , W / Z и гипотетический гравитон ; или составные, такие как атом водорода , атом ¹⁶ O , ядро дейтерия , мезоны и т. д. Кроме того, некоторые квазичастицы в более сложных системах также могут считаться бозонами, такими как плазмоны (кванты волн зарядовой плотности ).

Первой моделью, которая рассматривала газ с несколькими бозонами, был фотонный газ , газ фотонов, разработанный Бозе . Эта модель привела к лучшему пониманию закона Планка и излучения черного тела . Фотонный газ можно легко расширить до любого ансамбля безмассовых невзаимодействующих бозонов. Фононы газ , также известный как дебаевская модель , является примером , где нормальные моды колебаний кристаллической решетки металла, можно рассматривать в качестве эффективных безмассовых бозонов. Питер Дебай использовал модель фононного газа для объяснения поведения теплоемкости металлов при низкой температуре.

Интересный пример бозе-газа - ансамбль атомов гелия-4 . Когда система из атомов ⁴ He охлаждается до температуры, близкой к абсолютному нулю , возникает множество квантово-механических эффектов. Ниже 2,17 кельвина ансамбль начинает вести себя как сверхтекучая жидкость с почти нулевой вязкостью . Бозе-газ - наиболее простая количественная модель, объясняющая этот фазовый переход . В основном, когда газ бозонов охлаждается, он образует конденсат Бозе – Эйнштейна , состояние, в котором большое количество бозонов занимает самую низкую энергию, основное состояние , а квантовые эффекты макроскопически видны, как интерференция волн .

Теория конденсатов Бозе-Эйнштейна и бозе-газов может также объяснить некоторые особенности сверхпроводимости, когда носители заряда соединяются парами ( куперовские пары ) и ведут себя как бозоны. В результате сверхпроводники ведут себя так, как будто не обладают электрическим сопротивлением при низких температурах.

Эквивалентная модель для полуцелых частиц (таких как электроны или атомы гелия-3 ), которые следуют статистике Ферми – Дирака , называется ферми-газом (ансамбль невзаимодействующих фермионов ). При достаточно низкой плотности числа частиц и высокой температуре и ферми-газ, и бозе-газ ведут себя как классический идеальный газ .

Макроскопический предел

Термодинамику идеального бозе-газа лучше всего рассчитать с помощью большого канонического ансамбля . Грандиозный потенциал для бозе - газа определяется по формуле:

{\ displaystyle \ Omega = - \ ln ({\ mathcal {Z}}) = \ sum _ {i} g_ {i} \ ln \ left (1-ze ^ {- \ beta \ epsilon _ {i}} \ верно).}

где каждый член в сумме соответствует определенному одночастичному уровню энергии ε _i ; g _i - количество состояний с энергией ε _i ; z - абсолютная активность (или «летучесть»), которую также можно выразить через химический потенциал μ , определив:

{\ Displaystyle г (\ бета, \ му) = е ^ {\ бета \ му}}

и β определяется как:

{\ Displaystyle \ бета = {\ гидроразрыва {1} {к _ {\ rm {B}} T}}}

где k _B - постоянная Больцмана, а T - температура . Все термодинамические величины могут быть получены из великого потенциала , и мы будем рассматривать все термодинамические величины являются функциями только три переменных г , р (или Т ), и V . Все частные производные берутся по одной из этих трех переменных, а две другие остаются постоянными.

Допустимый диапазон z - от отрицательной бесконечности до +1, так как любое значение за его пределами приведет к бесконечному количеству частиц в состояниях с уровнем энергии 0 (предполагается, что уровни энергии смещены, так что самый низкий уровень энергии равно 0).

Макроскопический предел, результат для неконденсированной фракции

Кривые зависимости давления от температуры для классических и квантовых идеальных газов ( ферми-газ , бозе-газ) в трех измерениях. Давление бозе-газа ниже, чем у эквивалентного классического газа, особенно ниже критической температуры (отмеченной знаком ★), когда частицы начинают массово перемещаться в конденсированную фазу с нулевым давлением.

Следуя процедуре, описанной в статье о газе в коробке , мы можем применить приближение Томаса – Ферми, которое предполагает, что средняя энергия велика по сравнению с разностью энергий между уровнями, так что указанная выше сумма может быть заменена интегралом. Эта замена дает макроскопическую большую потенциальную функцию , которая близка к : ${\ displaystyle \ Omega _ {m}}$ ${\ displaystyle \ Omega}$

{\ Displaystyle \ Omega _ {\ rm {m}} = \ int _ {0} ^ {\ infty} \ ln \ left (1-ze ^ {- \ beta E} \ right) \, dg \ приблизительно \ Omega .}

Вырождение dg может быть выражено для многих различных ситуаций общей формулой:

{\ displaystyle dg = {\ frac {1} {\ Gamma (\ alpha)}} \, {\ frac {E ^ {\, \ alpha -1}} {E _ {\ rm {c}} ^ {\ alpha }}} ~ dE}

где α - постоянная, E _c - критическая энергия, а Γ - гамма-функция . Например, для массивного бозе-газа в ящике α = 3/2, а критическая энергия определяется как:

{\ displaystyle {\ frac {1} {(\ beta E _ {\ rm {c}}) ^ {\ alpha}}} = {\ frac {Vf} {\ Lambda ^ {3}}}}

где Λ - тепловая длина волны , а f - фактор вырождения ( f = 1 для простых бесспиновых бозонов). Для массивной бозе - газа в гармонической ловушке мы будем иметь α = 3 и критическая энергия определяется по формуле:

{\ displaystyle {\ frac {1} {(\ beta E_ {c}) ^ {\ alpha}}} = {\ frac {f} {(\ hbar \ omega \ beta) ^ {3}}}}

где В (г) = МОм ² г ² /2 представляет собой гармонический потенциал. Видно, что E _c является функцией только объема.

Это интегральное выражение для большого потенциала оценивается как:

{\ displaystyle \ Omega _ {\ rm {m}} = - {\ frac {{\ textrm {Li}} _ {\ alpha +1} (z)} {\ left (\ beta E_ {c} \ right) ^ {\ alpha}}},}

где Li _s ( x ) - функция полилогарифма .

Проблема с этим приближением континуума для бозе-газа состоит в том, что основное состояние фактически игнорируется, что дает нулевое вырождение для нулевой энергии. Эта неточность становится серьезной при рассмотрении конденсата Бозе – Эйнштейна и будет рассмотрена в следующих разделах. Как будет видно, даже при низких температурах вышеупомянутый результат все еще полезен для точного описания термодинамики только неконденсированной части газа.

Ограничение количества частиц в неконденсированной фазе, критическая температура

Общее количество частиц находится из большого потенциала по формуле

{\ displaystyle N _ {\ rm {m}} = - z {\ frac {\ partial \ Omega _ {m}} {\ partial z}} = {\ frac {{\ textrm {Li}} _ {\ alpha} (z)} {(\ beta E_ {c}) ^ {\ alpha}}}.}

Он монотонно возрастает с увеличением z (до максимального значения z = +1). Однако поведение при приближении к z = 1 в значительной степени зависит от значения α (т. Е. Зависит от того, является ли газ 1D, 2D, 3D, находится ли он в плоской или гармонической потенциальной яме).

При α > 1 количество частиц увеличивается только до конечного максимального значения, т. Е. Конечно при z = 1: ${\ displaystyle N _ {\ rm {m}}}$

{\ displaystyle N _ {\ rm {m, max}} = {\ frac {\ zeta (\ alpha)} {(\ beta E _ {\ rm {c}}) ^ {\ alpha}}},}

где ζ ( α ) - дзета-функция Римана (используя Li _α ( 1 ) = ζ ( α )). Таким образом, для фиксированного числа частиц максимально возможное значение β является критическим значением β _c . Это соответствует критической температуре T _c = 1 / k _Bβ _c , ниже которой приближение Томаса – Ферми не работает (континуум состояний просто больше не может поддерживать такое количество частиц при более низких температурах). Вышеупомянутое уравнение может быть решено для критической температуры: ${\ displaystyle N _ {\ rm {m}}}$

{\ displaystyle T _ {\ rm {c}} = \ left ({\ frac {N} {\ zeta (\ alpha)}} \ right) ^ {1 / \ alpha} {\ frac {E _ {\ rm {c }}} {k _ {\ rm {B}}}}}

Например, для трехмерного бозе-газа в коробке ( и используя указанное выше значение ) мы получаем: ${\ Displaystyle \ альфа = 3/2}$ ${\ textstyle E _ {\ rm {c}}}$

{\ displaystyle T _ {\ rm {c}} = \ left ({\ frac {N} {Vf \ zeta (3/2)}} \ right) ^ {2/3} {\ frac {h ^ {2} } {2 \ pi mk _ {\ rm {B}}}}}

Для α ≤ 1 нет верхнего предела количества частиц ( расходится, когда z приближается к 1), и, таким образом, например, для газа в одномерном или двумерном ящике ( и соответственно) критическая температура отсутствует. ${\ displaystyle N _ {\ rm {m}}}$ ${\ Displaystyle \ альфа = 1/2}$ ${\ Displaystyle \ альфа = 1}$

Включение основного состояния

Приведенная выше проблема поднимает вопрос при α > 1: если бозе-газ с фиксированным числом частиц опускается ниже критической температуры, что происходит? Проблема здесь в том, что приближение Томаса – Ферми установило вырождение основного состояния равным нулю, что неверно. Нет основного состояния, которое могло бы принять конденсат, и поэтому частицы просто «исчезают» из континуума состояний. Оказывается, однако, что макроскопическое уравнение дает точную оценку количества частиц в возбужденных состояниях, и это неплохое приближение, чтобы просто «привязать» член основного состояния, чтобы принять частицы, которые выпадают из континуум:

{\ displaystyle N = N_ {0} + N _ {\ rm {m}} = N_ {0} + {\ frac {{\ textrm {Li}} _ {\ alpha} (z)} {(\ beta E_ { \ rm {c}}) ^ {\ alpha}}}}

где N ₀ - количество частиц в конденсате основного состояния.

Таким образом, в макроскопическом пределе, когда T < T _c , значение z привязано к 1, а N ₀ принимает остаток частиц. При T > T _c наблюдается нормальное поведение, при N ₀ = 0. Этот подход дает долю конденсированных частиц в макроскопическом пределе:

{\ displaystyle {\ frac {N_ {0}} {N}} = {\ begin {cases} 1- \ left ({\ frac {T} {T _ {\ rm {c}}}} \ right) ^ { \ alpha} & {\ mbox {if}} \ alpha> 1 {\ mbox {and}} T <T _ {\ rm {c}}, \\ 0 & {\ mbox {else}}. \ end {cases}} }

Примерное поведение в малых бозе-газах

Рисунок 1: Различные параметры бозе-газа в зависимости от нормированной температуры τ. Значение α составляет 3/2. Сплошные линии соответствуют N = 10 000, пунктирные линии - N = 1000. Черные линии - это фракция возбужденных частиц, синие - фракция конденсированных частиц. Отрицательное значение химического потенциала μ показано красным, а зеленые линии - значения z. Предполагалось, что k = ε _c = 1.

Для меньших, мезоскопических систем (например, только с тысячами частиц) член основного состояния можно более явно аппроксимировать, добавив фактический дискретный уровень с энергией ε = 0 в большой потенциал:

{\ Displaystyle \ Omega = g_ {0} \ ln (1-z) + \ Omega _ {\ rm {m}}}

что дает вместо этого . Теперь поведение плавное при пересечении критической температуры, и z очень близко приближается к 1, но не достигает ее. ${\ displaystyle N_ {0} = {\ frac {g_ {0} \, z} {1-z}}}$

Теперь это можно решить вплоть до абсолютного нуля температуры. На рис. 1 показаны результаты решения этого уравнения для α = 3/2, где k = ε _c = 1, что соответствует газу бозонов в ящике . Сплошная черная линия - это доля возбужденных состояний 1-N ₀ / N для N = 10 000, а пунктирная черная линия - решение для N = 1000. Синие линии представляют собой долю конденсированных частиц N ₀ / N. Красные линии показывают отрицательные значения химического потенциала μ, а зеленые линии - соответствующие значения z . По горизонтальной оси отложена нормализованная температура τ, определяемая как

{\ displaystyle \ tau = {\ frac {T} {T _ {\ rm {c}}}}}

Видно, что каждый из этих параметров становится линейным по τ ^α в пределе низкой температуры и, за исключением химического потенциала, линейным по 1 / τ ^α в пределе высокой температуры. По мере увеличения числа частиц конденсированная и возбужденная фракции стремятся к разрыву при критической температуре.

Уравнение для числа частиц можно записать в терминах нормированной температуры как:

{\ displaystyle N = {\ frac {g_ {0} \, z} {1-z}} + N ~ {\ frac {{\ textrm {Li}} _ {\ alpha} (z)} {\ zeta ( \ alpha)}} ~ \ tau ^ {\ alpha}}

Для заданных N и τ это уравнение может быть решено относительно τ ^α, а затем решение ряда для z может быть найдено методом обращения ряда либо по степеням τ ^α, либо как асимптотическое разложение по обратным степеням τ ^α . Из этих разложений мы можем найти поведение газа вблизи T = 0 и в газе Максвелла – Больцмана, когда T стремится к бесконечности. В частности, нас интересует предел, когда N стремится к бесконечности, который легко определяется из этих разложений.

Однако такой подход к моделированию малых систем может быть нереалистичным, поскольку разброс числа частиц в основном состоянии очень велик, равный числу частиц. Напротив, дисперсия числа частиц в нормальном газе - это всего лишь квадратный корень из числа частиц, поэтому обычно им можно пренебречь. Эта высокая дисперсия обусловлена выбором использования большого канонического ансамбля для всей системы, включая состояние конденсата.

Термодинамика малых газов

В развернутом виде огромный потенциал:

{\ displaystyle \ Omega = g_ {0} \ ln (1-z) - {\ frac {{\ textrm {Li}} _ {\ alpha +1} (z)} {\ left (\ beta E _ {\ rm {c}} \ right) ^ {\ alpha}}}}

Все термодинамические свойства могут быть вычислены из этого потенциала. В следующей таблице перечислены различные термодинамические величины, рассчитанные в пределах низких и высоких температур, а также в пределах бесконечного числа частиц. Знак равенства (=) указывает на точный результат, а символ приближения указывает, что отображаются только первые несколько членов ряда . ${\ Displaystyle \ тау ^ {\ альфа}}$

Количество	Общий	${\ displaystyle T \ ll T_ {c} \,}$	${\ displaystyle T \ gg T_ {c} \,}$
${\ displaystyle z}$		${\ Displaystyle \ приблизительно {\ гидроразрыва {\ zeta (\ alpha)} {\ tau ^ {\ alpha}}} - {\ frac {\ zeta ^ {2} (\ alpha)} {2 ^ {\ alpha} \ тау ^ {2 \ alpha}}}}$	${\ Displaystyle = 1 \,}$
Паровая фракция ${\ displaystyle 1 - {\ frac {N_ {0}} {N}} \,}$	${\ displaystyle = {\ frac {{\ textrm {Li}} _ {\ alpha} (z)} {\ zeta (\ alpha)}} \, \ tau ^ {\ alpha}}$	${\ Displaystyle = \ тау ^ {\ альфа} \,}$	${\ Displaystyle = 1 \,}$
Уравнение состояния ${\ displaystyle {\ frac {PV \ beta} {N}} = - {\ frac {\ Omega} {N}} \,}$	${\ displaystyle = {\ frac {{\ textrm {Li}} _ {\ alpha \! + \! 1} (z)} {\ zeta (\ alpha)}} \, \ tau ^ {\ alpha}}$	${\ displaystyle = {\ frac {\ zeta (\ alpha \! + \! 1)} {\ zeta (\ alpha)}} \, \ tau ^ {\ alpha}}$	${\ Displaystyle \ приблизительно 1 - {\ гидроразрыва {\ zeta (\ alpha)} {2 ^ {\ alpha \! + \! 1} \ tau ^ {\ alpha}}}}$
Свободная энергия Гиббса ${\ Displaystyle G = \ пер (г) \,}$	${\ Displaystyle = \ пер (г) \,}$	${\ displaystyle = 0 \,}$	${\ displaystyle \ приблизительно \ ln \ left ({\ frac {\ zeta (\ alpha)} {\ tau ^ {\ alpha}}} \ right) - {\ frac {\ zeta (\ alpha)} {2 ^ { \ alpha} \ tau ^ {\ alpha}}}}$

Видно, что все величины приближаются к значениям для классического идеального газа в пределе больших температур. Приведенные выше значения можно использовать для расчета других термодинамических величин. Например, соотношение между внутренней энергией и произведением давления и объема такое же, как для классического идеального газа при всех температурах:

{\ Displaystyle U = {\ frac {\ partial \ Omega} {\ partial \ beta}} = \ alpha PV}

Аналогичная ситуация имеет место для теплоемкости при постоянном объеме

{\ displaystyle C_ {V} = {\ frac {\ partial U} {\ partial T}} = k _ {\ rm {B}} (\ alpha +1) \, U \ beta}

Энтропия определяется по формуле:

{\ Displaystyle TS = U + PV-G \,}

Обратите внимание, что в пределе высокой температуры мы имеем

{\ displaystyle TS = (\ alpha +1) + \ ln \ left ({\ frac {\ tau ^ {\ alpha}} {\ zeta (\ alpha)}} \ right)}

которое при α = 3/2 является просто переформулировкой уравнения Сакура – Тетрода . В одномерном случае бозоны с дельта-взаимодействием ведут себя как фермионы, они подчиняются принципу запрета Паули . В одномерном бозе-газе с дельта-взаимодействием можно точно решить анзац Бете . Объемная свободная энергия и термодинамические потенциалы были рассчитаны Чен-Нинг Янгом . В одномерном случае также оценивались корреляционные функции. В одном измерении бозе-газ эквивалентен квантовому нелинейному уравнению Шредингера .

Languages

In other projects