Идентичные частицы - Identical particles

В квантовой механике , одинаковые частицы (также называемые неразличимые или неразличимые частицы ) являются частицы , которые не могут быть отличаются друг от друга, даже в принципе. Разновидности идентичных частиц включают, помимо прочего, элементарные частицы (например, электроны ), составные субатомные частицы (например, атомные ядра ), а также атомы и молекулы . Так же ведут себя и квазичастицы . Хотя все известные неразличимые частицы существуют только в квантовом масштабе , нет ни исчерпывающего списка всех возможных типов частиц, ни четкого предела применимости, как это исследуется в квантовой статистике .

Есть две основные категории идентичных частиц: бозоны , которые могут иметь общие квантовые состояния , и фермионы , которые не могут (как описано в принципе исключения Паули ). Примерами бозонов являются фотоны , глюоны , фононы , ядра гелия-4 и все мезоны . Примерами фермионов являются электроны, нейтрино , кварки , протоны , нейтроны и ядра гелия-3 .

Тот факт, что частицы могут быть идентичными, имеет важные последствия в статистической механике , где вычисления основываются на вероятностных аргументах, которые чувствительны к тому, идентичны ли изучаемые объекты. В результате одинаковые частицы демонстрируют заметно отличающееся статистическое поведение от различимых частиц. Например, неразличимость частиц была предложена как решение парадокса смешения Гиббса .

Различение между частицами

Есть два метода различения частиц. Первый метод основан на различиях внутренних физических свойств частиц, таких как масса , электрический заряд и спин . Если существуют различия, можно различить частицы, измерив соответствующие свойства. Однако это эмпирический факт, что микроскопические частицы одного и того же вида обладают полностью эквивалентными физическими свойствами. Например, каждый электрон во Вселенной имеет точно такой же электрический заряд; поэтому можно говорить о таком понятии, как « заряд электрона ».

Даже если частицы имеют эквивалентные физические свойства, остается второй метод различения частиц, заключающийся в отслеживании траектории каждой частицы. Пока положение каждой частицы может быть измерено с бесконечной точностью (даже когда частицы сталкиваются), не будет никакой двусмысленности относительно того, какая частица является какой.

Проблема второго подхода в том, что он противоречит принципам квантовой механики . Согласно квантовой теории, частицы не имеют определенного положения в периоды между измерениями. Вместо этого они управляются волновыми функциями, которые дают вероятность найти частицу в каждой позиции. Со временем волновые функции имеют тенденцию расширяться и перекрываться. Как только это происходит, становится невозможным определить при последующем измерении, какие положения частиц соответствуют положениям, измеренным ранее. Тогда говорят, что частицы неразличимы.

Квантово-механическое описание

Симметричные и антисимметричные состояния

Антисимметричная волновая функция для (фермионного) двухчастичного состояния в потенциале с бесконечной квадратной ямой.
Симметричная волновая функция для (бозонного) двухчастичного состояния в потенциале с бесконечной квадратной ямой.

Ниже приводится пример, конкретизирующий приведенное выше обсуждение, с использованием формализма, разработанного в статье о математической формулировке квантовой механики .

Пусть n обозначает полный набор (дискретных) квантовых чисел для задания одночастичных состояний (например, для задачи о частице в ящике , принимайте n как квантованный волновой вектор волновой функции). Для простоты рассмотрим систему, состоящую из двух частиц, не взаимодействующих друг с другом. Предположим, что одна частица находится в состоянии n 1 , а другая - в состоянии n 2 . Интуитивно квантовое состояние системы записывается как

где порядок записи состояния имеет значение, например, первое записанное состояние - для частицы 1, а второе записанное состояние - для частицы 2 (так, если , то частица 1 занимает состояние n 2, а частица 2 - состояние n 1 ). Это просто канонический способ построения основы для тензорного пространства произведения комбинированной системы из отдельных пространств. Это выражение действительно для различимых частиц, однако оно не подходит для неразличимых частиц, поскольку и в результате обмена частицы обычно находятся в разных состояниях.

  • "частица 1 занимает состояние n 1, а частица 2 занимает состояние n 2 " ≠ "частица 1 занимает состояние n 2, а частица 2 занимает состояние n 1 ".

Два состояния физически эквивалентны, только если они отличаются не более чем на сложный фазовый множитель. Для двух неразличимых частиц состояние до обмена частицами должно быть физически эквивалентно состоянию после обмена, поэтому эти два состояния различаются не более чем на сложный фазовый множитель. Этот факт предполагает, что состояние двух неразличимых (и невзаимодействующих) частиц задается следующими двумя возможностями:

Состояния, в которых это сумма, называются симметричными , а состояния, включающие разность, называются антисимметричными . Более полно симметричные состояния имеют вид

а антисимметричные состояния имеют вид

Обратите внимание, что если n 1 и n 2 одинаковы, антисимметричное выражение дает ноль, который не может быть вектором состояния, поскольку он не может быть нормализован. Другими словами, более чем одна идентичная частица не может занимать антисимметричное состояние (одно антисимметричное состояние может занимать только одна частица). Это известно как принцип исключения Паули , и это основная причина химических свойств атомов и стабильности материи .

Обменная симметрия

Важность симметричных и антисимметричных состояний в конечном итоге основана на эмпирических данных. Кажется естественным фактом, что идентичные частицы не занимают состояния смешанной симметрии, такие как

На самом деле есть исключение из этого правила, о котором мы поговорим позже. С другой стороны, можно показать, что симметричные и антисимметричные состояния являются в некотором смысле особенными, исследуя особую симметрию многочастичных состояний, известную как обменная симметрия .

Определите линейный оператор P , называемый оператором обмена. Когда он действует на тензорное произведение двух векторов состояния, он меняет значения векторов состояния:

P одновременно эрмитово и унитарно . Поскольку он унитарен, его можно рассматривать как оператор симметрии . Эта симметрия может быть описана как симметрия относительно обмена метками, прикрепленными к частицам (то есть к одночастичным гильбертовым пространствам).

Очевидно, что (единичный оператор), так что собственные значения из Р равны +1 и -1. Соответствующие собственные векторы - это симметричное и антисимметричное состояния:

Другими словами, симметричные и антисимметричные состояния по существу не изменяются при обмене метками частиц: они только умножаются на коэффициент +1 или -1, а не «вращаются» где-то еще в гильбертовом пространстве. Это указывает на то, что метки частиц не имеют физического смысла, что согласуется с предыдущим обсуждением неразличимости.

Напомним, что P эрмитово. В результате его можно рассматривать как наблюдаемую систему, что означает, что, в принципе, можно выполнить измерение, чтобы выяснить, является ли состояние симметричным или антисимметричным. Кроме того, эквивалентность частиц указывает на то, что гамильтониан можно записать в симметричной форме, такой как

Можно показать, что такие гамильтонианы удовлетворяют коммутационному соотношению

Согласно уравнению Гейзенберга , это означает, что величина P является константой движения. Если квантовое состояние изначально симметрично (антисимметрично), оно останется симметричным (антисимметричным) по мере развития системы. Математически это означает, что вектор состояния ограничен одним из двух собственных подпространств P и не может распространяться по всему гильбертову пространству. Таким образом, это собственное подпространство можно также рассматривать как фактическое гильбертово пространство системы. Это идея, лежащая в основе определения пространства Фока .

Фермионы и бозоны

Выбор симметрии или антисимметрии определяется видом частицы. Например, симметричные состояния всегда должны использоваться при описании фотонов или атомов гелия-4 , а антисимметричные состояния при описании электронов или протонов .

Частицы, обладающие симметричными состояниями, называются бозонами . Природа симметричных состояний имеет важные последствия для статистических свойств систем, состоящих из многих идентичных бозонов. Эти статистические свойства описаны как статистика Бозе – Эйнштейна .

Частицы, проявляющие антисимметричные состояния, называются фермионами . Антисимметрия порождает принцип исключения Паули , который запрещает идентичным фермионам разделять одно и то же квантовое состояние. Системы многих одинаковых фермионов описываются статистикой Ферми – Дирака .

Возможна также парастатистика .

В некоторых двумерных системах может иметь место смешанная симметрия. Эти экзотические частицы известны как энионы , и они подчиняются дробной статистике . Экспериментальные доказательства существования анионов существуют в дробном квантовом эффекте Холла , явлении, наблюдаемом в двумерных электронных газах, которые образуют инверсионный слой полевых МОП-транзисторов . Существует еще один тип статистики, известный как статистика кос , который связан с частицами, известными как плектоны .

Теорема спиновой статистики связывает обменную симметрию идентичных частиц с их спином . Он утверждает, что бозоны имеют целочисленный спин, а фермионы - полуцелочисленный спин. Аньоны обладают дробным вращением.

N частиц

Приведенное выше обсуждение легко обобщается на случай N частиц. Предположим , что имеется N частиц с квантовыми числами п 1 , п 2 , ..., N N . Если частицы являются бозонами, они занимают полностью симметричное состояние , которое является симметричным относительно обмена любыми двумя метками частиц:

Здесь сумма берется по всем различным состояниям при перестановках p, действующих на N элементов. Квадратный корень слева от суммы является нормирующей константой . Величина m n означает, сколько раз каждое из одночастичных состояний n появляется в N -частичном состоянии. Заметим , что Е п т п = N .

Точно так же фермионы находятся в полностью антисимметричных состояниях :

Здесь sgn ( p ) - знак каждой перестановки (т.е. если состоит из четного числа транспозиций, а если нечетное). Обратите внимание, что здесь нет термина, потому что каждое одночастичное состояние может появиться только один раз в фермионном состоянии. В противном случае из-за антисимметрии сумма снова была бы равна нулю, что представляло бы физически невозможное состояние. Это принцип исключения Паули для многих частиц.

Эти состояния были нормализованы так, что

Измерение

Предположим, что имеется система из N бозонов (фермионов) в симметричном (антисимметричном) состоянии

и измерение выполняется на некотором другом наборе дискретных наблюдаемых m . В общем, это дает некоторый результат m 1 для одной частицы, m 2 для другой частицы и так далее. Если частицы являются бозонами (фермионами), состояние после измерения должно оставаться симметричным (антисимметричным), т. Е.

Вероятность получения конкретного результата для измерения m равна

Можно показать, что

который проверяет, что полная вероятность равна 1. Сумма должна быть ограничена упорядоченными значениями m 1 , ..., m N, чтобы гарантировать, что каждое многочастичное состояние не учитывается более одного раза.

Представление волновой функции

Пока что в обсуждение включены только дискретные наблюдаемые. Его можно распространить на непрерывные наблюдаемые, такие как позиция  x .

Напомним, что собственное состояние непрерывной наблюдаемой представляет собой бесконечно малый диапазон значений наблюдаемой, а не отдельное значение, как в случае дискретных наблюдаемых. Например, если частица находится в состоянии | г | ⟩, вероятность нахождения его в области объема г 3 х окружающая некоторое положение х является

В результате непрерывные собственные состояния | х ⟩ нормированы к дельта - функции вместо единицы:

Симметричные и антисимметричные многочастичные состояния могут быть построены из непрерывных собственных состояний так же, как и раньше. Однако обычно используют другую нормирующую константу:

Многое-тело волновое можно записать,

где одночастичные волновые функции определяются, как обычно, формулой

Наиболее важным свойством этих волновых функций является то, что обмен любыми двумя координатными переменными изменяет волновую функцию только на знак плюс или минус. Это проявление симметрии и антисимметрии в представлении волновой функции:

Многотельная волновая функция имеет следующее значение: если система изначально находится в состоянии с квантовыми числами n 1 , ..., n N и выполняется измерение положения, вероятность обнаружения частиц в бесконечно малых объемах вблизи x 1 , x 2 , ..., x N является

Фактор N ! происходит из нашей нормирующей константы, которая была выбрана так, что по аналогии с одночастичными волновыми функциями,

Поскольку каждый интеграл проходит по всем возможным значениям x , каждое многочастичное состояние появляется как N ! раз в интеграле. Другими словами, вероятность, связанная с каждым событием, равномерно распределяется по N ! эквивалентные точки в интегральном пространстве. Поскольку обычно удобнее работать с неограниченными интегралами, чем с ограниченными, нормализующая константа была выбрана, чтобы отразить это.

Наконец, антисимметрично волновой можно записать в виде определителя из в матрице , известной как детерминант Слейтера :

Операторный подход и парастатистика

Гильбертово пространство для частиц задается тензорным произведением . Группа перестановок действует на этом пространстве путем перестановки элементов. По определению средних значений для наблюдаемого из неразличимых частиц должны быть инвариантны относительно этих перестановок. Это означает, что для всех и

или эквивалентно для каждого

.

Два состояния эквивалентны, если их математические ожидания совпадают для всех наблюдаемых. Если мы ограничимся наблюдаемыми идентичными частицами и, следовательно, наблюдаемыми, удовлетворяющими приведенному выше уравнению, мы обнаружим, что следующие состояния (после нормализации) эквивалентны

.

Классы эквивалентности находятся во взаимно однозначном отношении с неприводимыми подпространствами под .

Два очевидных неприводимых подпространства - это одномерное симметричное / бозонное подпространство и антисимметричное / фермионное подпространство. Однако есть и другие типы неприводимых подпространств. Состояния, связанные с этими другими неприводимыми подпространствами, называются парастатистическими состояниями . Таблицы Юнга позволяют классифицировать все эти неприводимые подпространства.

Статистические свойства

Статистические эффекты неразличимости

Неразличимость частиц сильно влияет на их статистические свойства. Чтобы проиллюстрировать это, рассмотрим систему из N различимых невзаимодействующих частиц. Еще раз, пусть n j обозначает состояние (т.е. квантовые числа) частицы j . Если частицы имеют одинаковые физические свойства, n j пробегают один и тот же диапазон значений. Пусть ε ( n ) обозначает энергию частицы в состоянии n . Поскольку частицы не взаимодействуют, полная энергия системы является суммой энергий отдельных частиц. Статсумма системы является

где k - постоянная Больцмана, а T - температура . Это выражение можно разложить на множители, чтобы получить

куда

Если частицы идентичны, это уравнение неверно. Рассмотрим состояние системы, описываемое одночастичными состояниями [ n 1 , ..., n N ]. В уравнении для Z каждая возможная перестановка n происходит один раз в сумме, даже если каждая из этих перестановок описывает одно и то же многочастичное состояние. Таким образом, количество штатов было завышено.

Если пренебречь возможностью перекрытия состояний, что справедливо при высокой температуре, то количество подсчетов каждого состояния составляет приблизительно N !. Правильная функция распределения

Обратите внимание, что это «высокотемпературное» приближение не делает различия между фермионами и бозонами.

Расхождение в статистических суммах различимых и неразличимых частиц было известно еще в XIX веке, до появления квантовой механики. Это приводит к затруднению, известному как парадокс Гиббса . Гиббса показало , что в уравнении Z = ξ Н , то энтропия классического идеального газа является

где V представляет собой объем газа , и е некоторая функция Т в одиночку. Проблема с этим результатом заключается в том, что S не является экстенсивным - если N и V удваиваются, S не удваивается соответственно. Такая система не подчиняется постулатам термодинамики .

Гиббс также показал, что, используя Z = ξ N / N ! изменяет результат на

что весьма обширно. Однако причина этой поправки к статистической сумме оставалась неясной до открытия квантовой механики.

Статистические свойства бозонов и фермионов

Существуют важные различия между статистическим поведением бозонов и фермионов, которые описываются статистикой Бозе-Эйнштейна и статистики Ферми-Дирака соответственно. Грубо говоря, бозоны имеют тенденцию группироваться в одно и то же квантовое состояние, которое лежит в основе таких явлений, как лазер , конденсация Бозе – Эйнштейна и сверхтекучесть . Фермионам, с другой стороны, запрещено делить квантовые состояния, что приводит к образованию таких систем, как ферми-газ . Это известно как принцип исключения Паули, и он отвечает за большую часть химии, поскольку электроны в атоме (фермионы) последовательно заполняют множество состояний внутри оболочек, а не все, лежащие в одном и том же состоянии с наименьшей энергией.

Различия между статистическим поведением фермионов, бозонов и различимых частиц можно проиллюстрировать с помощью системы двух частиц. Частицы обозначены буквами A и B. Каждая частица может существовать в двух возможных состояниях, обозначенных и , которые имеют одинаковую энергию.

Составная система может развиваться во времени, взаимодействуя с шумной средой. Так как и состояние энергетически эквивалентны, ни состояние выступает, таким образом , этот процесс имеет эффект рандомизации состояния. (Это обсуждается в статье о квантовой запутанности .) Через некоторое время составная система будет иметь равную вероятность занять каждое из доступных ей состояний. Затем измеряются состояния частиц.

Если А и В являются различимые частицы, то сложная система имеет четыре различных состояния: , , , и . Вероятность получения двух частиц в состоянии 0,25; вероятность получения двух частиц в состоянии 0,25; и вероятность получить одну частицу в состоянии, а другая в состоянии - 0,5.

Если A и B являются идентичными бозонов, то сложная система имеет только три различных состояния: , и . При проведении эксперимента вероятность получения двух частиц в состоянии теперь составляет 0,33; вероятность получения двух частиц в состоянии 0,33; а вероятность получить одну частицу в состоянии, а другую в состоянии - 0,33. Обратите внимание, что вероятность нахождения частиц в одном и том же состоянии относительно выше, чем в различимом случае. Это демонстрирует тенденцию бозонов «слипаться».

Если A и B - идентичные фермионы, композитной системе доступно только одно состояние: полностью антисимметричное состояние . При проведении эксперимента одна частица всегда находится в состоянии, а другая - в состоянии.

Результаты представлены в таблице 1:

Таблица 1: Статистика двух частиц
Частицы Оба 0 Оба 1 Один 0 и один 1
Отличительный 0,25 0,25 0,5
Бозоны 0,33 0,33 0,33
Фермионы 0 0 1

Как видно, даже система из двух частиц демонстрирует различное статистическое поведение между различимыми частицами, бозонами и фермионами. В статьях по статистике Ферми – Дирака и Бозе – Эйнштейна эти принципы распространяются на большое число частиц с качественно схожими результатами.

Гомотопический класс

Чтобы понять, почему статистика частиц работает именно так, сначала обратите внимание на то, что частицы представляют собой точечно-локализованные возбуждения и что частицы, которые пространственно разделены, не взаимодействуют. В плоском д - мерное пространство М , в любой момент времени, конфигурация из двух одинаковых частиц может быть определена как элемент M × M . Если между частицами нет перекрытия, так что они не взаимодействуют напрямую, то их положения должны принадлежать пространству [ M × M ] / {совпадающие точки}, подпространство с совпадающими точками удалено. Элемент ( x ,  y ) описывает конфигурацию с частицей I в точке x и частицей II в точке y , в то время как ( y ,  x ) описывает измененную конфигурацию. С идентичными частицами состояние, описываемое ( x ,  y ), должно быть неотличимо от состояния, описываемого ( y ,  x ) . Теперь рассмотрим гомотопический класс непрерывных путей из ( x ,  y ) в ( y ,  x ) в пространстве [ M × M ] / {совпадающие точки} . Если M есть R d, где d ≥ 3 , то этот гомотопический класс имеет только один элемент. Если M равно R 2 , то этот гомотопический класс имеет счетное количество элементов (то есть поворот против часовой стрелки на пол-оборота, поворот против часовой стрелки на полтора оборота, два с половиной оборота и т. Д., Поворот по часовой стрелке на пол-оборота , так далее.). В частности, поворот против часовой стрелки на пол-оборота не гомотопен повороту по часовой стрелке на пол-оборота. Наконец, если M равно R , то этот гомотопический класс пуст.

Предположим сначала, что d ≥ 3 . Универсальная накрывающая из [ М × М ] / {совпадающих точек}, который не что иное , как [ М × М ] / {совпадающие точки} себя, имеет только две точки , которые физически неотличимы от ( х ,  у ) , а именно ( x ,  y ) и ( y ,  x ) . Итак, единственный допустимый обмен - это поменять местами обе частицы. Этот обмен является инволюцией , поэтому его единственный эффект состоит в умножении фазы на квадратный корень из 1. Если корень равен +1, то точки имеют статистику Бозе, а если корень равен -1, точки имеют статистику Ферми.

В случае М = R 2 , универсальное накрытие пространство [ М × М ] / {совпадающие точки} имеет бесконечное число точек, которые физически неотличимы от ( х ,  у ) . Это описывается бесконечной циклической группой, генерируемой путем поворота против часовой стрелки на пол-оборота. В отличие от предыдущего случая, выполнение этого обмена дважды подряд не восстанавливает исходное состояние; так что такой обмен может в общем привести к умножению на exp ( ) для любого действительного θ (по унитарности , абсолютное значение умножения должно быть 1). Это называется анонимной статистикой. Фактически, даже с двумя различимыми частицами, хотя ( x ,  y ) теперь физически отличим от ( y ,  x ) , универсальное накрывающее пространство по-прежнему содержит бесконечно много точек, которые физически неотличимы от исходной точки, теперь генерируемой против часовой стрелки. поворот на один полный оборот. Этот генератор затем приводит к умножению на exp ( ). Этот фазовый множитель здесь называется взаимной статистикой .

Наконец, в случае M = R пространство [ M × M ] / {совпадающие точки} не связано, поэтому даже если частица I и частица II идентичны, их все равно можно отличить с помощью таких меток, как «частица на слева »и« частица справа ». Здесь нет симметрии взаимообмена.

Смотрите также

Сноски

использованная литература

  • Такерман, Марк (2010), Статистическая механика , ISBN 978-0198525264

внешние ссылки