Фотонный газ - Photon gas

В физике фотонный газ - это подобный газу набор фотонов , который имеет многие из свойств обычного газа, такого как водород или неон, включая давление, температуру и энтропию. Наиболее распространенный пример равновесного фотонного газа - это излучение черного тела .

Фотоны являются частью семейства частиц, известных как бозоны , частиц, которые следуют статистике Бозе – Эйнштейна и имеют целочисленный спин . Газа бозонов только с одним типом частиц однозначно описывается тремя государственных функций , таких как температура , объем , и число частиц . Однако для черного тела распределение энергии устанавливается взаимодействием фотонов с веществом, обычно со стенками контейнера. При этом взаимодействии количество фотонов не сохраняется. В результате химический потенциал черного фотонного газа равен нулю при термодинамическом равновесии. Таким образом, количество переменных состояния, необходимых для описания состояния черного тела, сокращается с трех до двух (например, температуры и объема).

Термодинамика фотонного газа черного тела

В классическом идеальном газе с массивными частицами энергия частиц распределена согласно распределению Максвелла – Больцмана . Это распределение устанавливается, когда частицы сталкиваются друг с другом, обмениваясь энергией (и импульсом) в процессе. В фотонном газе также будет равновесное распределение, но фотоны не сталкиваются друг с другом (кроме очень экстремальных условий, см. Двухфотонную физику ), поэтому равновесное распределение должно быть установлено другими способами. Наиболее распространенный способ установления равновесного распределения - взаимодействие фотонов с веществом. Если фотоны поглощаются и испускаются стенками системы, содержащей фотонный газ, и стенки имеют определенную температуру, то равновесное распределение для фотонов будет распределением черного тела при этой температуре.

Очень важное различие между бозе-газом (газом массивных бозонов) и фотонным газом с чернотельным распределением состоит в том, что количество фотонов в системе не сохраняется. Фотон может столкнуться с электроном в стенке, возбудив его до более высокого энергетического состояния, удалив фотон из фотонного газа. Этот электрон может вернуться на свой нижний уровень за серию шагов, каждый из которых выпускает отдельный фотон обратно в фотонный газ. Хотя сумма энергий испускаемых фотонов такая же, как у поглощенного фотона, количество испускаемых фотонов будет изменяться. Можно показать, что из-за отсутствия ограничений на количество фотонов в системе химический потенциал фотонов должен быть равен нулю для излучения черного тела.

Термодинамика фотонного газа черного тела может быть выведена с использованием квантово-механических аргументов . Вывод дает спектральную плотность энергии u, которая представляет собой энергию на единицу объема на единицу частотного интервала, заданную законом Планка :

${\ displaystyle u (\ nu, T) = {\ frac {8 \ pi h \ nu ^ {3}} {c ^ {3}}} ~ {\ frac {1} {e ^ {\ frac {h \ nu} {kT}} - 1}}}$.

где h - постоянная Планка , c   - скорость света, ν   - частота, k   - постоянная Больцмана, а T   - температура.

Интегрирование по частоте и умножение на объем V дает внутреннюю энергию черного фотонного газа:

${\ displaystyle U = \ left ({\ frac {8 \ pi ^ {5} k ^ {4}} {15 (hc) ^ {3}}} \ right) VT ^ {4}}$.

Вывод также дает (ожидаемое) число фотонов N :

${\ displaystyle N = \ left ({\ frac {16 \ pi k ^ {3} \ zeta (3)} {(hc) ^ {3}}} \ right) VT ^ {3}}$,

где - дзета-функция Римана . Обратите внимание, что для определенной температуры количество частиц N изменяется в зависимости от объема фиксированным образом, приспосабливаясь к постоянной плотности фотонов. ${\ Displaystyle \ zeta (п)}$

Если заметить, что уравнение состояния ультрарелятивистского квантового газа (который по своей сути описывает фотоны) имеет вид

${\ displaystyle U = 3PV}$,

тогда мы можем объединить приведенные выше формулы, чтобы получить уравнение состояния, которое очень похоже на уравнение состояния идеального газа:

${\ Displaystyle PV = {\ frac {\ zeta (4)} {\ zeta (3)}} NkT \ приблизительно 0,9 \, NkT}$.

В следующей таблице приведены термодинамические функции состояния для черного фотонного газа. Обратите внимание, что давление можно записать в форме , не зависящей от объема ( b - постоянная величина). ${\ displaystyle P = bT ^ {4}}$

Термодинамические функции состояния фотонного газа черного тела ${\ Displaystyle (\ hbar = ч / 2 \ пи)}$

	Функция состояния ( T , V )
Внутренняя энергия	${\ displaystyle U = \ left ({\ frac {\ pi ^ {2} k ^ {4}} {15c ^ {3} \ hbar ^ {3}}} \ right) \, VT ^ {4}}$
Номер частицы	${\ displaystyle N = \ left ({\ frac {2k ^ {3} \ zeta (3)} {\ pi ^ {2} c ^ {3} \ hbar ^ {3}}} \ right) \, VT ^ {3}}$
Химический потенциал	${\ Displaystyle \ му = 0 \,}$
Давление	${\ displaystyle P = {\ frac {1} {3}} \, {\ frac {U} {V}} = \ left ({\ frac {\ pi ^ {2} k ^ {4}} {45c ^ {3} \ hbar ^ {3}}} \ right) \, T ^ {4}}$
Энтропия	${\ displaystyle S = {\ frac {4U} {3T}} = \ left ({\ frac {4 \ pi ^ {2} k ^ {4}} {45c ^ {3} \ hbar ^ {3}}} \ right) \, VT ^ {3}}$
Энтальпия	${\ Displaystyle Н = {\ гидроразрыва {4} {3}} \, U}$
Свободная энергия Гельмгольца	${\ displaystyle A = - {\ frac {1} {3}} \, U}$
Свободная энергия Гиббса	${\ Displaystyle G = 0 \,}$

Изотермические превращения

В качестве примера термодинамического процесса с участием фотонного газа рассмотрим цилиндр с подвижным поршнем. Внутренние стенки цилиндра «черные», чтобы можно было поддерживать температуру фотонов на определенном уровне. Это означает, что пространство внутри цилиндра будет содержать фотонный газ, распределенный по черному телу. В отличие от массивного газа, этот газ будет существовать без фотонов, вводимых извне - стены будут предоставлять фотоны для газа. Предположим, поршень полностью вдвинут в цилиндр, так что объем чрезвычайно мал. Фотонный газ внутри объема будет давить на поршень, перемещая его наружу, и для того, чтобы преобразование было изотермическим, к поршню должна быть приложена противодействующая сила почти такой же величины, чтобы движение поршня было очень медленно. Эта сила будет равна давлению, умноженному на площадь поперечного сечения ( A  ) поршня. Этот процесс может продолжаться при постоянной температуре до тех пор, пока объем фотонного газа не достигнет V ₀  . Интегрирование силы по пройденному расстоянию ( x  ) дает полную работу, проделанную для создания этого фотонного газа в этом объеме.

${\ Displaystyle W = - \ int _ {0} ^ {x_ {0}} P (A \ mathrm {d} x)}$,

где использовалось соотношение V = Ax   . Определение

${\ displaystyle b = {\ frac {8 \ pi ^ {5} k ^ {4}} {15c ^ {3} h ^ {3}}}}$.

Давление

${\ Displaystyle P (x) = {\ гидроразрыва {bT ^ {4}} {3}} \,}$.

Интеграция, проделанная работа просто

${\ displaystyle W = - {\ frac {bT ^ {4} Ax_ {0}} {3}} = - {\ frac {bT ^ {4} V_ {0}} {3}}}$.

Количество тепла, которое необходимо добавить для образования газа, равно

${\ Displaystyle Q = UW = H_ {0} \,}$.

где H ₀ - энтальпия в конце превращения. Видно, что энтальпия - это количество энергии, необходимое для создания фотонного газа.

Смотрите также

• Газ в коробке - вывод функций распределения для всех идеальных газов
• Бозе-газ
• Ферми газ
• Закон Планка излучения черного тела - распределение энергии фотонов в зависимости от частоты или длины волны
• Закон Стефана – Больцмана - полный поток, излучаемый черным телом.
• Радиационное давление

дальнейшее чтение

• Байерлейн, Ральф (апрель 2001 г.). «Неуловимый химический потенциал» (PDF) . Американский журнал физики . 69 (4): 423–434. Bibcode : 2001AmJPh..69..423B . DOI : 10.1119 / 1.1336839 .
• Herrmann, F .; Вюрфель, П. (август 2005 г.). «Свет с ненулевым химическим потенциалом» (PDF) . Американский журнал физики . 73 (8): 717–723. Bibcode : 2005AmJPh..73..717H . DOI : 10.1119 / 1.1904623 . Архивировано из оригинального (PDF) 04 марта 2016 года . Проверено 29 июня 2012 .

использованная литература