Каталонский твердый - Catalan solid

Тетраэдр Triakis , пятиугольный икоситетраэдр и триаконтаэдр disdyakis .

Твердые тела выше (темные) показаны вместе с их двойниками (светлые). Видимые части каталонских тел - правильные пирамиды .

Ромбический додекаэдр с ее лицевой стороны .

В математике , А Каталонское твердое вещество , или архимедов двойной , является двойственным многогранником с архимедова твердого вещества . Всего 13 каталонских твердых тел. Они названы в честь бельгийского математика Эжена Каталана , который впервые описал их в 1865 году.

Все каталонские твердые тела выпуклые. Они транзитивны по граням, но не по вершинам . Это связано с тем, что двойственные архимедовы тела транзитивны по вершинам и не транзитивны по граням. Обратите внимание, что в отличие от Платоновых тел и Архимедовых тел , грани каталонских тел не являются правильными многоугольниками . Однако вершинные фигуры каталонских тел правильные и имеют постоянные двугранные углы . Каталонские твердые тела, будучи гранно-транзитивными, являются изоэдрами .

Кроме того, два каталонских тела являются реберно-транзитивными : ромбический додекаэдр и ромбический триаконтаэдр . Это двойники двух квазирегулярных архимедовых тел.

Так же, как призмы и антипризмы обычно не считаются архимедовыми твердыми телами, так и бипирамиды и трапецоэдры обычно не считаются каталонскими твердыми телами, несмотря на то, что они транзитивны по граням.

Два каталонских твердых тела являются хиральными : пятиугольный икоситетраэдр и пятиугольный гексеконтаэдр , двойственные киральному курносому кубу и курносому додекаэдру . Каждый из них бывает двух энантиоморфов . Не считая энантиоморфов, бипирамид и трапецоэдров, всего существует 13 каталонских твердых тел.

Симметрия

Каталонские твердые тела, наряду с их двойными архимедовыми телами , могут быть сгруппированы в те, которые обладают тетраэдрической, октаэдрической и икосаэдрической симметрией. Как для октаэдрической, так и для икосаэдрической симметрии существует шесть форм. Единственное каталонское твердое тело с подлинной тетраэдрической симметрией - это триакис-тетраэдр (двойственный усеченному тетраэдру ). Ромбический додекаэдр и тетракис-гексаэдр обладают октаэдрической симметрией, но их можно раскрашивать, чтобы иметь только тетраэдрическую симметрию. Выпрямление и пренебрежение также существуют с тетраэдрической симметрией, но они платонические, а не архимедовы, поэтому их двойники платонические, а не каталонские. (Они показаны на коричневом фоне в таблице ниже.)

Тетраэдрическая симметрия

Архимедов (платонический)
Каталанский (платонический)

Октаэдрическая симметрия

Архимедов
Каталонский

Икосаэдрическая симметрия

Архимедов
Каталонский

Список

Имя (двойное имя) Имя Конвея	Фотографий	Ортогональные каркасы	Многоугольник лица	Углы лица (°)	Двугранный угол (°)	Лица	Края	Верт	Сим.
триакис тетраэдр ( усеченный тетраэдр ) "kT"			Равнобедренный V3.6.6	112,885 33,557 33,557	129,521	12	18	8	Т д
ромбический додекаэдр ( кубооктаэдр ) "jC"			Ромб V3.4.3.4	70,529 109,471 70,529 109,471	120	12	24	14	О ч
триакис октаэдр ( усеченный куб ) "kO"			Равнобедренный V3.8.8	117,201 31,400 31,400	147,350	24	36	14	О ч
тетракис-гексаэдр ( усеченный октаэдр ) "kC"			Равнобедренный V4.6.6	83,621 48,190 48,190	143,130	24	36	14	О ч
дельтоидальный икоситетраэдр ( ромбокубооктаэдр ) «° С »			Кайт V3.4.4.4	81,579 81,579 81,579 115,263	138,118	24	48	26 год	О ч
disdyakis додекаэдр ( усеченный кубооктаэдр ) "mC"			Скален V4.6.8	87,202 55,025 37,773	155,082	48	72	26 год	О ч
пятиугольный икоситетраэдр ( курносый куб ) "gC"			Пентагон V3.3.3.3.4	114,812 114,812 114,812 114,812 80,752	136,309	24	60	38	О
ромбический триаконтаэдр ( икосододекаэдр ) "jD"			Ромб V3.5.3.5	63,435 116,565 63,435 116,565	144	30	60	32	Я ч
триакис икосаэдр ( усеченный додекаэдр ) "kI"			Равнобедренный V3.10.10	119,039 30,480 30,480	160,613	60	90	32	Я ч
пентакис додекаэдр ( усеченный икосаэдр ) "кД"			Равнобедренный V5.6.6	68,619 55,691 55,691	156,719	60	90	32	Я ч
дельтовидный гексеконтаэдр ( ромбикосододекаэдр ) "oD"			Кайт V3.4.5.4	86,974 67,783 86,974 118,269	154,121	60	120	62	Я ч
дисдякис триаконтаэдр ( усеченный икосододекаэдр ) "mD"			Скален V4.6.10	88,992 58,238 32,770	164,888	120	180	62	Я ч
пятиугольный гексеконтаэдр ( курносый додекаэдр ) "gD"			Пентагон V3.3.3.3.5	118,137 118,137 118,137 118,137 67,454	153,179	60	150	92	я

Геометрия

Все двугранные углы каталонского твердого тела равны. Обозначая их значение и обозначая угол лица в вершинах, где встречаются грани , мы имеем ${\ displaystyle \ theta}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle \ alpha _ {p}}$

${\ Displaystyle \ грех (\ тета / 2) = \ соз (\ пи / р) / \ соз (\ альфа _ {р} / 2)}$.

Это может быть использовано для вычисления и , ..., с , ... только. ${\ displaystyle \ theta}$${\ displaystyle \ alpha _ {p}}$${\ displaystyle \ alpha _ {q}}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle q}$

Треугольные грани

Из 13 каталонских тел 7 имеют треугольные грани. Они имеют вид Vp.qr, где p, q и r принимают значения из 3, 4, 5, 6, 8 и 10. Углы , и могут быть вычислены следующим образом. Помещенный , , и положить ${\ displaystyle \ alpha _ {p}}$${\ displaystyle \ alpha _ {q}}$${\ displaystyle \ alpha _ {r}}$${\ Displaystyle а = 4 \ соз ^ {2} (\ пи / р)}$${\ Displaystyle б = 4 \ соз ^ {2} (\ пи / д)}$${\ Displaystyle с = 4 \ соз ^ {2} (\ пи / г)}$

${\ displaystyle S = -a ^ {2} -b ^ {2} -c ^ {2} + 2ab + 2bc + 2ca}$.

потом

${\ displaystyle \ cos (\ alpha _ {p}) = {\ frac {S} {2bc}} - 1}$,

${\ displaystyle \ sin (\ alpha _ {p} / 2) = {\ frac {-a + b + c} {2 {\ sqrt {bc}}}}}$.

Для и выражения, конечно же, похожи. Двугранный угол может быть вычислен из ${\ displaystyle \ alpha _ {q}}$${\ displaystyle \ alpha _ {r}}$ ${\ displaystyle \ theta}$

${\ Displaystyle \ соз (\ тета) = 1-2abc / S}$.

Применение этого, например, к триаконтаэдру дисдякиса ( , и , следовательно , и , где - золотое сечение ) дает и . ${\ displaystyle p = 4}$${\ displaystyle q = 6}$${\ displaystyle r = 10}$${\ displaystyle a = 2}$${\ displaystyle b = 3}$${\ displaystyle c = \ phi +2}$${\ displaystyle \ phi}$${\ displaystyle \ cos (\ alpha _ {4}) = {\ frac {2- \ phi} {6 (2+ \ phi)}} = {\ frac {7-4 \ phi} {30}}}$${\ displaystyle \ cos (\ theta) = {\ frac {-10-7 \ phi} {14 + 5 \ phi}} = {\ frac {-48 \ phi -155} {241}}}$

Четырехугольные грани

Из 13 каталонских тел 4 имеют четырехугольные грани. Они имеют вид Vp.qpr, где p, q и r принимают свои значения из 3, 4 и 5. Угол можно вычислить по следующей формуле: ${\ displaystyle \ alpha _ {p}}$

${\ Displaystyle \ соз (\ альфа _ {p}) = {\ гидроразрыва {2 \ соз ^ {2} (\ пи / р) - \ соз ^ {2} (\ пи / д) - \ соз ^ {2 } (\ pi / r)} {2 \ cos ^ {2} (\ pi / p) +2 \ cos (\ pi / q) \ cos (\ pi / r)}}}$.

Из этого , а двугранный угол может быть легко вычислен. В качестве альтернативы, положить , , . Тогда и можно найти, применив формулы для треугольного случая. Конечно, угол можно вычислить аналогичным образом. Лица - воздушные змеи , а если и ромбы . Применяя это, например, к дельтовидному икоситетраэдру ( , и ), получаем . ${\ displaystyle \ alpha _ {q}}$${\ displaystyle \ alpha _ {r}}$${\ Displaystyle а = 4 \ соз ^ {2} (\ пи / р)}$${\ Displaystyle б = 4 \ соз ^ {2} (\ пи / д)}$${\ Displaystyle с = 4 \ соз ^ {2} (\ пи / р) +4 \ соз (\ пи / q) \ соз (\ пи / г)}$${\ displaystyle \ alpha _ {p}}$${\ displaystyle \ alpha _ {q}}$${\ displaystyle \ alpha _ {r}}$${\ displaystyle q = r}$${\ displaystyle p = 4}$${\ displaystyle q = 3}$${\ displaystyle r = 4}$${\ displaystyle \ cos (\ alpha _ {4}) = {\ frac {1} {2}} - {\ frac {1} {4}} {\ sqrt {2}}}$

Пятиугольные грани

Из 13 каталонских тел 2 имеют пятиугольные грани. Они имеют вид Vp.pppq, где p = 3 и q = 4 или 5. Угол можно вычислить, решив уравнение третьей степени: ${\ displaystyle \ alpha _ {p}}$

${\ Displaystyle 8 \ соз ^ {2} (\ пи / р) \ соз ^ {3} (\ альфа _ {р}) - 8 \ соз ^ {2} (\ пи / р) \ соз ^ {2} (\ alpha _ {p}) + \ cos ^ {2} (\ pi / q) = 0}$.

Метрические свойства

Для твердого каталонского пусть сопряженное относительно midsphere из . Тогда есть архимедово твердое тело с той же средней сферой. Обозначим длину краев через . Позвольте быть внутренним радиусом граней , средним радиусом и , внутренним радиусом и окружным радиусом . Тогда эти величины можно выразить через двугранный угол и следующим образом: ${\ displaystyle {\ bf {C}}}$${\ displaystyle {\ bf {A}}}$${\ displaystyle {\ bf {C}}}$${\ displaystyle {\ bf {A}}}$${\ displaystyle {\ bf {A}}}$${\ displaystyle l}$${\ displaystyle r}$${\ displaystyle {\ bf {C}}}$${\ displaystyle r_ {m}}$${\ displaystyle {\ bf {C}}}$${\ displaystyle {\ bf {A}}}$${\ displaystyle r_ {i}}$${\ displaystyle {\ bf {C}}}$${\ displaystyle r_ {c}}$${\ displaystyle {\ bf {A}}}$${\ displaystyle l}$${\ displaystyle \ theta}$

${\ displaystyle r ^ {2} = {\ frac {l ^ {2}} {8}} (1- \ cos \ theta)}$,

${\ displaystyle r_ {m} ^ {2} = {\ frac {l ^ {2}} {4}} {\ frac {1- \ cos \ theta} {1+ \ cos \ theta}}}$,

${\ displaystyle r_ {i} ^ {2} = {\ frac {l ^ {2}} {8}} {\ frac {(1- \ cos \ theta) ^ {2}} {1+ \ cos \ theta }}}$,

${\ displaystyle r_ {c} ^ {2} = {\ frac {l ^ {2}} {2}} {\ frac {1} {1+ \ cos \ theta}}}$.

Эти количества связаны между собой , и . ${\ displaystyle r_ {m} ^ {2} = r_ {i} ^ {2} + r ^ {2}}$${\ displaystyle r_ {c} ^ {2} = r_ {m} ^ {2} + l ^ {2} / 4}$${\ displaystyle r_ {i} r_ {c} = r_ {m} ^ {2}}$

В качестве примера, пусть это будет кубооктаэдр с длиной ребра . Тогда - ромбический додекаэдр. Применяя формулу для четырехугольных граней с и дает , следовательно , , , . ${\ displaystyle {\ bf {A}}}$${\ displaystyle l = 1}$${\ displaystyle {\ bf {C}}}$${\ displaystyle p = 4}$${\ Displaystyle д = г = 3}$${\ Displaystyle \ соз \ тета = -1 / 2}$${\ displaystyle r_ {i} = 3/4}$${\ displaystyle r_ {m} = {\ frac {1} {2}} {\ sqrt {3}}}$${\ displaystyle r_ {c} = 1}$${\ displaystyle r = {\ frac {1} {4}} {\ sqrt {3}}}$

Все вершины типа лежат на сфере с радиусом, задаваемым ${\ displaystyle {\ bf {C}}}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle r_ {c, p}}$

${\ displaystyle r_ {c, p} ^ {2} = r_ {i} ^ {2} + {\ frac {2r ^ {2}} {1- \ cos \ alpha _ {p}}}}$,

и аналогично для . ${\ displaystyle q, r, \ ldots}$

Таким образом, есть сфера, которая касается всех граней правильных -угольников (и аналогично для ) в их центре. Радиус этой сферы определяется выражением ${\ displaystyle {\ bf {A}}}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle q, r, \ ldots}$${\ displaystyle r_ {я, p}}$

${\ displaystyle r_ {i, p} ^ {2} = r_ {m} ^ {2} - {\ frac {l ^ {2}} {4}} \ cot ^ {2} (\ pi / p)}$.

Эти два радиуса связаны соотношением . Продолжая приведенный выше пример: и , что дает , , и . ${\ displaystyle r_ {я, p} r_ {c, p} = r_ {m} ^ {2}}$${\ Displaystyle \ соз \ альфа _ {3} = - 1/3}$${\ Displaystyle \ соз \ альфа _ {4} = 1/3}$${\ displaystyle r_ {c, 3} = {\ frac {3} {8}} {\ sqrt {6}}}$${\ displaystyle r_ {c, 4} = {\ frac {3} {4}} {\ sqrt {2}}}$${\ displaystyle r_ {i, 3} = {\ frac {1} {3}} {\ sqrt {6}}}$${\ displaystyle r_ {i, 4} = {\ frac {1} {2}} {\ sqrt {2}}}$

Если - вершина типа , ребро, начинающееся с , и точка, в которой ребро касается середины сферы , обозначьте расстояние как . Тогда ребра стыковки вершин типа и типа имеют длину . Эти количества могут быть вычислены с помощью ${\ displaystyle P}$${\ displaystyle {\ bf {C}}}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle e}$${\ displaystyle {\ bf {C}}}$${\ displaystyle P}$${\ Displaystyle P ^ {\ prime}}$${\ displaystyle e}$${\ displaystyle {\ bf {C}}}$${\ Displaystyle PP ^ {\ prime}}$${\ displaystyle l_ {p}}$${\ displaystyle {\ bf {C}}}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle q}$${\ Displaystyle l_ {p, q} = l_ {p} + l_ {q}}$

${\ displaystyle l_ {p} = {\ frac {l} {2}} {\ frac {\ cos (\ pi / p)} {\ sin (\ alpha _ {p} / 2)}}}$,

и аналогично для . Продолжая предыдущий пример: , , , , так что края ромбического додекаэдра имеют длину . ${\ displaystyle q, r, \ ldots}$${\ displaystyle \ sin (\ alpha _ {3} / 2) = {\ frac {1} {3}} {\ sqrt {6}}}$${\ displaystyle \ sin (\ alpha _ {4} / 2) = {\ frac {1} {3}} {\ sqrt {3}}}$${\ displaystyle l_ {3} = {\ frac {1} {8}} {\ sqrt {6}}}$${\ displaystyle l_ {4} = {\ frac {1} {4}} {\ sqrt {6}}}$${\ displaystyle l_ {3,4} = {\ frac {3} {8}} {\ sqrt {6}}}$

Двугранные углы между -угольными и -гональными гранями удовлетворяют ${\ displaystyle \ alpha _ {p, q}}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle q}$${\ displaystyle {\ bf {A}}}$

${\ displaystyle \ cos \ alpha _ {p, q} = {\ frac {l ^ {2}} {4}} {\ frac {\ cot (\ pi / p) \ cot (\ pi / q)} { r_ {m} ^ {2}}} - {\ frac {r_ {i, p} r_ {i, q}} {r_ {m} ^ {2}}} = {\ frac {l_ {p} l_ { q} -r_ {m} ^ {2}} {r_ {c, p} r_ {c, q}}}}$.

Завершая пример с ромбическим додекаэдром, двугранный угол кубооктаэдра равен . ${\ displaystyle \ alpha _ {3,4}}$${\ displaystyle \ cos \ alpha _ {3,4} = - {\ frac {1} {3}} {\ sqrt {3}}}$

Строительство

Грань любого каталонского многогранника может быть получена из вершинной фигуры двойного архимедова тела с помощью конструкции Дормана Люка .

Применение к другим твердым телам

Все формулы этого раздела применимы к Платоновым телам , а также к бипирамидам и трапецоэдрам с равными двугранными углами, потому что они могут быть получены только из свойства постоянного двугранного угла. Для пятиугольного трапецоэдра , например, с гранями V3.3.5.3, получаем , или . Это неудивительно: можно отрезать обе вершины так, чтобы получился правильный додекаэдр . ${\ displaystyle \ cos (\ alpha _ {3}) = {\ frac {1} {4}} - {\ frac {1} {4}} {\ sqrt {5}}}$${\ displaystyle \ alpha _ {3} = 108 ^ {\ circ}}$

Смотрите также

• Список однородных мозаик Показывает двойные однородные многоугольные мозаики, похожие на каталонские тела.
• Обозначение многогранника Конвея Процесс построения обозначений
• Архимедово твердое тело
• Джонсон солид

Примечания

использованная литература

• Эжен Каталонская Mémoire sur la Théorie des Polyèdres. J. l'École Polytechnique (Париж) 41, 1-71, 1865.
• Канди, Х. Мартин ; Роллетт, AP (1961), Математические модели (2-е изд.), Оксфорд: Clarendon Press, MR  0124167.
• Гайлюнас, П .; Sharp, J. (2005), "Двойственность многогранников", Международный журнал по математическому образованию в области науки и техники , 36 (6): 617-642, DOI : 10,1080 / 00207390500064049 , S2CID  120818796.
• Алан Холден Формы, пространство и симметрия . Нью-Йорк: Дувр, 1991.
• Веннингер, Магнус (1983), Двойные модели , Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-54325-5, Руководство по ремонту  0730208 (Тринадцать полуправильных выпуклых многогранников и их двойники)
• Уильямс, Роберт (1979). Геометрическая основа естественной структуры: первоисточник дизайна . ISBN Dover Publications, Inc. 0-486-23729-X. (Раздел 3-9)
• Энтони Пью (1976). Многогранники: визуальный подход . Калифорния: Калифорнийский университет Press в Беркли. ISBN 0-520-03056-7. Глава 4: Двойники архимедовых многогранников, призмы и антипризмы

внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Каталонские твердые тела» . MathWorld .
• Вайсштейн, Эрик В. «Изоэдр» . MathWorld .
• Каталонские твердые тела - в визуальных многогранниках
• Архимедовы двойники - на многогранниках виртуальной реальности
• Интерактивное каталонское твердое тело на Java
• Ссылка для скачивания оригинальной публикации Каталонии за 1865 год - с красивыми рисунками, в формате PDF.