Пирамида (геометрия) - Pyramid (geometry)

Правые пирамиды с регулярным основанием
Квадратная пирамида
Обозначения многогранника Конвея Да нет
Символ Шлефли () ∨ { n }
Лица n треугольников ,
1 n -угольник
Края 2 п
Вершины п + 1
Группа симметрии C n v , [1, n ], (* nn ), порядок 2 n
Группа вращения C n , [1, n ] + , ( nn ), порядок n
Двойной многогранник Самодвойственный
Характеристики выпуклый
1- скелет пирамиды - это колесный граф

В геометрии , А пирамиды (от греческого : πυραμίς Pyramis ) представляет собой полиэдр образован путем соединения многоугольного основания и точки, называемую вершиной . Каждый край основания и вершина образуют треугольник, называемый боковой гранью . Это твердое тело конической формы с многоугольным основанием. Пирамида с n- сторонним основанием имеет n + 1 вершину, n + 1 грань и 2 n ребра. Все пирамиды самодвойственны .

У правой пирамиды вершина находится прямо над центром тяжести ее основания. Непрямые пирамиды называются наклонными пирамидами . Правильная пирамида имеет правильный многоугольник базу и, как правило , подразумевается , чтобы быть правая пирамида .

Если не указано иное, пирамида обычно считается правильной квадратной пирамидой , как и физические пирамидальные структуры. Треугольник -На пирамида чаще называется тетраэдр .

Среди наклонных пирамид, таких как острые и тупые треугольники , пирамида может быть названа острой, если ее вершина находится выше внутренней части основания, и тупой, если ее вершина находится выше внешней стороны основания. У прямоугольной пирамиды вершина находится над краем или вершиной основания. В тетраэдре эти квалификаторы меняются в зависимости от того, какая грань считается основанием.

Пирамиды - это класс призматоидов . Пирамиды можно удвоить в бипирамиды , добавив вторую точку смещения на другой стороне базовой плоскости.

Правые пирамиды с правильным основанием

Правая пирамида с правильным основанием имеет стороны равнобедренного треугольника с симметрией C n v или [1, n ] с порядком 2 n . Ему может быть присвоен расширенный символ Шлефли () ∨ { n }, представляющий точку (), соединенную (ортогональное смещение) с правильным многоугольником {n}. Операция соединения создает новое ребро между всеми парами вершин двух соединенных фигур.

Тригональная или треугольная пирамида со всеми равносторонними треугольниками граней становится регулярным тетраэдром , один из многогранников . Случай с более низкой симметрией треугольной пирамиды - это C 3v , который имеет основание равностороннего треугольника и 3 одинаковые стороны равнобедренного треугольника. Квадратные и пятиугольные пирамиды также могут состоять из правильных выпуклых многоугольников, и в этом случае они являются телами Джонсона .

Если все ребра квадратной пирамиды (или любой выпуклый многогранник) являются касательной к сфере так, чтобы среднее положение касательных точек находятся в центре сферы, то пирамида называется каноническими , и она образует половину правильный октаэдр .

Пирамиды с основанием шестиугольника и выше должны состоять из равнобедренных треугольников. Шестиугольная пирамида с равносторонними треугольниками была бы полностью плоской фигурой, а семиугольная или выше треугольники вообще не пересекались бы.

Правильные пирамиды
Дигональный Треугольный Квадрат Пятиугольный Шестиугольный Семиугольный Восьмиугольный Эннеагональный Десятиугольный ...
Неправильный Обычный Равносторонний Равнобедренный
Двуугольная пирамида1.png Tetrahedron.svg Квадратная пирамида.png Пятиугольная пирамида.png Гексагональная пирамида.png Гептагональная пирамида1.png Восьмиугольная пирамида1.png Эннеагональная пирамида1.png Десятиугольная пирамида1.png
Сферическая двуугольная пирамида.png Сферическая треугольная пирамида.png Сферическая квадратная пирамида.png Сферическая пятиугольная пирамида.png Сферическая шестиугольная пирамида.png Сферическая семиугольная пирамида.png Сферическая восьмиугольная пирамида.png Сферическая эннеугольная пирамида.png Сферическая десятиугольная пирамида.png

Правые звездные пирамиды

Правые пирамиды с правильным основанием звездообразного многоугольника называются звездными пирамидами . Например, пирамида пентаграммы имеет основание пентаграммы и 5 пересекающихся сторон треугольника.

Пентаграмма пирамида.png

Правые пирамиды с неправильным основанием

Пример общей правой пирамиды с вершиной над центром тяжести базового многоугольника

Право пирамида может быть названа как () ∨P, где () является точкой апекса, ∨ является объединение оператора, и P представляет собой базовый полигон.

Равнобедренный треугольник вправо тетраэдр можно записать в виде () ∨ [() ∨ {}] как объединение с точки до равнобедренного треугольника основание, как [() ∨ ()] ∨ {} или {} ∨ {} как соединение (ортогональные смещения) двух ортогональных сегментов, двуугольный дифеноид , содержащий 4 грани равнобедренного треугольника. Он имеет симметрию C 1v в двух разных ориентациях основания и вершины и C 2v в полной симметрии.

Прямоугольная правая пирамида , записывается в виде () ∨ [{} × {}], и ромбические пирамиды , как () ∨ [{} + {}], оба имеют симметрии C 2v .

Правые пирамиды
Прямоугольная правая пирамида.png Ромбическая правая пирамида.png
Прямоугольная пирамида Ромбическая пирамида

Объем

Объем пирамиды (также любой конус) является , где Ь является площадь основания и ч высота от основания до вершины. Это работает для любого многоугольника, правильного или нерегулярного, и любого местоположения вершины, при условии, что h измеряется как перпендикулярное расстояние от плоскости, содержащей основание. В 499 AD Aryabhata , математик - астроном из классического возраста индийской математики и индийской астрономии , использовал этот метод в Aryabhatiya (раздел 2.6).

Формулу можно формально доказать с помощью исчисления. По подобию линейные размеры поперечного сечения, параллельного основанию, линейно увеличиваются от вершины к основанию. Коэффициент масштабирования (коэффициент пропорциональности) равен , или , где h - высота, а y - расстояние по перпендикуляру от плоскости основания до поперечного сечения. Так как площадь любого поперечного сечения пропорциональна квадрату фигуры масштабного коэффициента, площадь поперечного сечения на высоту у есть , или так как оба б и ч постоянные, . Объем задается интегралом

То же уравнение справедливо и для конусов с любым основанием. Это можно доказать с помощью аргумента, аналогичного приведенному выше; см. объем конуса .

Например, объем пирамиды, основание которой представляет собой n- сторонний правильный многоугольник с длиной стороны s и высотой h, равен

Формула также может быть получена точно без исчисления для пирамид с прямоугольными основаниями. Рассмотрим единичный куб. Проведите линии от центра куба к каждой из 8 вершин. Это делит куб на 6 равных квадратных пирамид с площадью основания 1 и высотой 1/2. Каждая пирамида явно имеет объем 1/6. Отсюда мы заключаем, что объем пирамиды = высота × площадь основания / 3.

Затем разверните куб равномерно в трех направлениях на неравные величины, чтобы в результате были прямоугольные сплошные края a , b и c с твердым объемом abc . Каждая из шести пирамид внутри тоже расширяется. И каждая пирамида имеет одинаковый объем abc / 6. Поскольку пары пирамид имеют высоту a / 2, b / 2 и c / 2, мы снова видим, что объем пирамиды = высота × площадь основания / 3.

Когда боковые треугольники равносторонние, формула объема имеет вид

Эта формула применима только для n = 2, 3, 4 и 5; и он также охватывает случай n = 6, для которого объем равен нулю (т. е. высота пирамиды равна нулю).

Площадь поверхности

Площадь поверхности пирамиды равна , где B - площадь основания, P - периметр основания и наклонная высота , где h - высота пирамиды, а r - внутренний радиус основания.

Центроид

Медиан пирамиды расположен на участке линии, соединяющей вершины центроида основания. Для твердой пирамиды центр тяжести составляет 1/4 расстояния от основания до вершины.

n -мерные пирамиды

Двумерная пирамида - это треугольник, образованный ребром основания, соединенным с неколлинеарной точкой, называемой вершиной .

Четырехмерная пирамида называется многогранной пирамидой , построенной многогранником в трехмерной гиперплоскости четырехмерного пространства с другой точкой за пределами этой гиперплоскости.

Аналогично строятся и многомерные пирамиды.

Семейство симплексов представляет пирамиды в любом измерении, возрастающем из треугольника , тетраэдра , 5-ячеечного , 5-симплекса и т. Д. N-мерный симплекс имеет минимум n + 1 вершин , причем все пары вершин соединены ребрами , все тройки вершин, определяющих грани, всех четверок точек, определяющих тетраэдрические ячейки и т. д.

Многогранная пирамида

В 4-мерной геометрии , A многогранных пирамиды являются 4-многогранник строится с помощью базовой многогранники клетки и апекса точки. Боковые грани представляют собой ячейки пирамиды, каждая из которых состоит из одной грани базового многогранника и вершины. Вершины и ребра многогранных пирамид образуют примеры вершинных графов , графов, образованных добавлением одной вершины (вершины) к плоскому графу (графу основания).

Регулярные 5-клеток (или 4- симплекс ) является примером четырехгранной пирамиды . Из однородных многогранников с описанными радиусами меньше 1 можно образовать многогранные пирамиды с правильными четырехгранными сторонами. Многогранник с v вершинами, e ребрами и f гранями может быть основанием многогранной пирамиды с v + 1 вершинами, e + v ребрами, f + e гранями и 1 + f ячейками.

Четырехмерная многогранная пирамида с осевой симметрией может быть визуализирована в трехмерном виде с помощью диаграммы Шлегеля - трехмерной проекции, в которой вершина находится в центре базового многогранника.

Равносторонние равномерные пирамиды на основе многогранников ( диаграмма Шлегеля )
Симметрия [1,1,4] [1,2,3] [1,3,3] [1,4,3] [1,5,3]
Имя Квадратно-пирамидальная пирамида Пирамида с треугольной призмой Тетраэдрическая пирамида Кубическая пирамида Восьмигранная пирамида Икосаэдрическая пирамида
Сегментохорный
индекс
K4.4 K4.7 K4.1 K4.26.1 K4.3 K4.84
Рост 0,707107 0,790569 0,790569 0,500000 0,707107 0,309017
Изображение
(базовое)
Квадратная пирамида pyramid.png Треугольная призма pyramid.png Schlegel wireframe 5-cell.png Кубическая пирамида.png Октаэдрическая пирамида.png Икосаэдральная пирамида.png
База Квадратная
пирамида
Треугольная
призма
Тетраэдр Куб Октаэдр Икосаэдр

Любой выпуклый 4-многогранник можно разделить на многогранные пирамиды , добавив внутреннюю точку и создав по одной пирамиде от каждой грани до центральной точки. Это может быть полезно для вычисления объемов.

4-мерное гиперобъем многогранной пирамиды равно 1/4 от объема базовой раз многогранника его перпендикулярной высоты, по сравнению с площадью треугольника будучи 1/2 длиной основания раз превышают высоту и объем пирамиды быть 1/3 площади основания, умноженной на высоту.

Трехмерный объем поверхности многогранной пирамиды равен , где B - базовый объем, A - площадь базовой поверхности, L - наклонная высота (высота боковых пирамидальных ячеек) , где h - высота, а r - inradius.

Смотрите также

использованная литература

внешние ссылки