Золотое сечение -Golden ratio

Золотое сечение
Линия золотого сечения.svg
Отрезки в золотом сечении
Представительства
Десятичная дробь 1,618 033 988 749 894 ...
Алгебраическая форма
Непрерывная дробь
Бинарный 1.1001 1110 0011 0111 0111 ...
шестнадцатеричный 1.9E37 79B9 7F4A 7C15 ...
Золотой прямоугольник с длинной стороной a и короткой стороной b , примыкающий к квадрату со стороной a , образует такой же золотой прямоугольник с длинной стороной a + b и короткой стороной a . Это иллюстрирует отношения

В математике две величины находятся в золотом сечении , если их отношение равно отношению их суммы к большей из двух величин. Выраженный алгебраически, для величин и с

где греческая буква фи ( или ) обозначает золотое сечение. Это иррациональное число , являющееся решением квадратного уравнения со значением

1,618 033 988 749 .... ( OEISA001622 )

Золотое сечение также называют золотой серединой или золотым сечением ( лат . sectio aurea ). Другие названия включают крайнее и среднее соотношение , срединное сечение , божественную пропорцию (лат.: proportio divina ), божественное сечение (лат. sectio divina ), золотую пропорцию , золотой разрез и золотое число .

Математики со времен Евклида изучали свойства золотого сечения, в том числе его появление в размерах правильного пятиугольника и золотого прямоугольника , который можно разрезать на квадрат и меньший прямоугольник с тем же соотношением сторон . Золотое сечение также использовалось для анализа пропорций природных объектов, а также искусственных систем, таких как финансовые рынки , в некоторых случаях на основе сомнительного соответствия данным. Золотое сечение проявляется в некоторых закономерностях в природе , в том числе в спиральном расположении листьев и других частей растительности.

Некоторые художники и архитекторы 20-го века, в том числе Ле Корбюзье и Сальвадор Дали , соблюдали пропорции своих работ, приближаясь к золотому сечению, полагая, что это эстетически приятно. Они часто появляются в виде золотого прямоугольника , в котором отношение большей стороны к меньшей является золотым сечением.

Расчет

Греческая буква фи символизирует золотое сечение. Обычно используется строчная форма или . Иногда заглавная форма используется для обратной величины золотого сечения,

Говорят, что две величины и находятся в золотом сечении , если

Один из способов найти значение состоит в том, чтобы начать с левой дроби. Упрощая дробь и подставляя в

Следовательно,

Умножение на дает

который можно переставить на

Используя квадратную формулу , получают два решения:

а также

Поскольку отношение между положительными величинами обязательно положительное. Однако отрицательный корень имеет много общих свойств с золотым сечением.

История

По словам Марио Ливио ,

Некоторые из величайших математических умов всех времен, от Пифагора и Евклида в Древней Греции , через средневекового итальянского математика Леонардо Пизанского и астронома эпохи Возрождения Иоганна Кеплера до современных научных деятелей, таких как оксфордский физик Роджер Пенроуз , провели бесконечные часы. над этим простым соотношением и его свойствами. ... Биологи, художники, музыканты, историки, архитекторы, психологи и даже мистики размышляли и обсуждали причины его повсеместного распространения и привлекательности. На самом деле, вероятно, справедливо будет сказать, что золотое сечение вдохновляло мыслителей всех дисциплин, как никакое другое число в истории математики.

-  Золотое сечение: история числа Фи, самого удивительного числа в мире.

Древнегреческие математики первыми изучили золотое сечение из-за его частого появления в геометрии ; деление линии на «крайнее и среднее отношение» (золотое сечение) имеет важное значение в геометрии правильных пентаграмм и пятиугольников . Согласно одной истории, математик V века до нашей эры Гиппас обнаружил, что золотое сечение не является ни целым числом, ни дробью ( иррациональным числом ), что удивило пифагорейцев . В « Элементах » Евклида ( ок. 300 г. до н.э. ) содержится несколько предложений и их доказательств с использованием золотого сечения, а также первое известное определение, которое звучит следующим образом:

Говорят, что прямая линия разрезана в крайнем и среднем отношении, если вся линия относится к большему отрезку, а больший — к меньшему.

Майкл Маэстлин , первый, кто написал десятичную аппроксимацию отношения

Золотое сечение изучалось периферийно в течение следующего тысячелетия. Абу Камил (ок. 850–930) использовал его в своих геометрических расчетах пятиугольников и десятиугольников; его сочинения повлияли на сочинения Фибоначчи (Леонардо Пизанского) (ок. 1170–1250), который использовал соотношение в связанных задачах геометрии, хотя никогда не связывал его с рядом чисел, названных в его честь .

Лука Пачоли назвал свою книгу « Божественная пропорция » ( 1509 ) в честь соотношения и исследовал его свойства, в том числе его появление в некоторых платоновых телах . Леонардо да Винчи , проиллюстрировавший вышеупомянутую книгу, назвал соотношение the sectio aurea («золотое сечение»). Математики 16-го века, такие как Рафаэль Бомбелли , решали геометрические задачи, используя соотношение.

Немецкий математик Симон Якоб (ум. 1564) заметил, что последовательные числа Фибоначчи сходятся к золотому сечению ; это было заново открыто Иоганном Кеплером в 1608 году. Первое известное десятичное приближение (обратного) золотого сечения было сформулировано как «около » в 1597 году Майклом Маэстлином из Тюбингенского университета в письме Кеплеру, его бывшему студенту. В том же году Кеплер написал Мэстлину о треугольнике Кеплера , который сочетает в себе золотое сечение с теоремой Пифагора . Кеплер сказал о них:

У геометрии есть два великих сокровища: одно — теорема Пифагора, другое — деление прямой на крайнее и среднее отношение. Первое мы можем сравнить с массой золота, второе — с драгоценным камнем.

Математики 18-го века Авраам де Муавр , Даниэль Бернулли и Леонард Эйлер использовали основанную на золотом сечении формулу, которая находит значение числа Фибоначчи на основе его положения в последовательности; в 1843 году это было заново открыто Жаком Филиппом Мари Бине , в честь которого оно было названо «формулой Бине». Мартин Ом впервые использовал немецкий термин Goldener Schnitt («золотое сечение») для описания отношения в 1835 году. Джеймс Салли использовал эквивалентный английский термин в 1875 году.

К 1910 году математик Марк Барр начал использовать греческую букву фи ( ) как символ золотого сечения. Он также был представлен тау ( ), первой буквой древнегреческого τομή («разрез» или «раздел»).

Дэн Шехтман демонстрирует квазикристаллы в NIST в 1985 году, используя модель Зометоя .

Система построения зоме , разработанная Стивом Бэром в конце 1960-х годов, основана на системе симметрии икосаэдра/додекаэдра и повсеместно использует золотое сечение. Между 1973 и 1974 годами Роджер Пенроуз разработал мозаику Пенроуза , узор, связанный с золотым сечением как в соотношении площадей двух его ромбических плиток, так и в их относительной частоте в узоре. Это привело к открытию Дэном Шехтманом в начале 1980-х годов квазикристаллов , некоторые из которых обладают икосаэдрической симметрией .

Приложения и наблюдения

Архитектура

Швейцарский архитектор Ле Корбюзье , известный своим вкладом в современный интернациональный стиль , сосредоточил свою философию дизайна на системах гармонии и пропорции. Вера Ле Корбюзье в математический порядок Вселенной была тесно связана с золотым сечением и рядами Фибоначчи, которые он описал как «ритмы, очевидные для глаза и ясные в их отношениях друг с другом. И эти ритмы лежат в самой основе человеческой деятельности. Они звучат в человеке органической неизбежностью, той самой прекрасной неизбежностью, которая вызывает начертание золотого сечения детьми, стариками, дикарями и учеными».

Ле Корбюзье явно использовал золотое сечение в своей системе Modulor для шкалы архитектурных пропорций . Он видел в этой системе продолжение давней традиции Витрувия , « Витрувианского человека » Леонардо да Винчи, работы Леона Баттисты Альберти и других, которые использовали пропорции человеческого тела для улучшения внешнего вида и функции архитектуры .

В дополнение к золотому сечению Ле Корбюзье основывал систему на человеческих измерениях , числах Фибоначчи и двойной единице измерения. Он довел предложение о золотом сечении человеческих пропорций до крайности: он разделил свою модель человеческого тела по высоте на уровне пупка на две секции в золотом сечении, затем разделил эти секции в золотом сечении на колени и горло; он использовал эти пропорции золотого сечения в системе Modulor . Вилла Штейн 1927 года Ле Корбюзье в Гарше является примером применения системы Modulor. Прямоугольный план виллы, высота и внутренняя структура очень похожи на золотые прямоугольники.

Другой швейцарский архитектор, Марио Ботта , основывает многие свои проекты на геометрических фигурах. Несколько частных домов, которые он спроектировал в Швейцарии, состоят из квадратов и кругов, кубов и цилиндров. В доме, который он спроектировал в Орильо , золотое сечение — это пропорция между центральной частью и боковыми частями дома.

Изобразительное искусство

Иллюстрация додекаэдра да Винчи из « Божественной пропорции » Пачоли (1509 г.)

В 1509 году был опубликовантрехтомный труд Луки Пачоли « Divina пропорция » ( « Божественная пропорция »). Пачоли, монах-францисканец , был известен в основном как математик, но он также был обучен и живо интересовался искусством. Дивина пропорция исследовала математику золотого сечения. Хотя часто говорят, что Пачоли защищал применение золотого сечения для получения приятных гармоничных пропорций, Ливио указывает, что интерпретация была связана с ошибкой в ​​​​1799 году и что Пачоли на самом деле защищал витрувианскую систему рациональных пропорций. Пачоли также видел в этом соотношении католическое религиозное значение, что и привело к названию его работы.

Иллюстрации Леонардо да Винчи с изображением многогранников в « Божественной пропорции » заставили некоторых предположить, что он использовал золотое сечение в своих картинах. Но предположение, что его Мона Лиза , например, использует пропорции золотого сечения, не подтверждается собственными произведениями Леонардо. Точно так же, хотя Витрувианский человек часто изображается в связи с золотым сечением, пропорции фигуры на самом деле не соответствуют ему, и в тексте упоминаются только соотношения целых чисел.

Сальвадор Дали , находящийся под влиянием работ Матилы Гики , явно использовал золотое сечение в своем шедевре «Таинство Тайной Вечери» . Размеры полотна - золотой прямоугольник. Огромный додекаэдр в перспективе, так что ребра выглядят в золотом сечении друг к другу, подвешен над и позади Иисуса и доминирует над композицией.

Статистическое исследование 565 произведений искусства разных великих художников, проведенное в 1999 году, показало, что эти художники не использовали золотое сечение в размерах своих полотен. Исследование пришло к выводу, что среднее соотношение двух сторон изученных картин соответствует средним значениям для отдельных художников от (Гойя) до (Беллини). С другой стороны, Пабло Тосто перечислил более 350 работ известных художников, в том числе более 100 полотен с золотым прямоугольником и пропорциями, а другие с пропорциями, подобными и

Изображение пропорций в средневековой рукописи. По словам Яна Чихольда : «Пропорции страницы 2: 3. Пропорции полей 1: 1: 2: 3. Область текста пропорциональна золотому сечению».

Книги и дизайн

По словам Яна Чихольда ,

Было время, когда отклонения от действительно красивых пропорций страницы и золотого сечения были редкостью. Многие книги, выпущенные между 1550 и 1770 годами, показывают эти пропорции точно, с точностью до полмиллиметра.

Согласно некоторым источникам, золотое сечение используется в повседневном дизайне, например, в пропорциях игральных карт, открыток, плакатов, выключателей света и широкоэкранных телевизоров.

Флаги

Флаг Того , соотношение сторон которого использует золотое сечение.

Соотношение сторон (отношение высоты к ширине) флага Того соответствует золотому сечению.

Музыка

Эрно Лендваи анализирует произведения Белы Бартока как основанные на двух противоположных системах: золотом сечении и акустической шкале , хотя другие музыковеды отвергают этот анализ. Французский композитор Эрик Сати использовал золотое сечение в нескольких своих произведениях, включая Sonneries de la Rose+Croix . Золотое сечение также проявляется в организации разделов в музыке Дебюсси Reflets dans l'eau («Отражения в воде») из « Образов » (1-я серия, 1905 г.), в которых «последовательность тональностей отмечена интервалы 34, 21, 13 и 8, а основная кульминация находится в позиции фи».

Музыковед Рой Ховат заметил, что формальные границы La Mer Дебюсси точно соответствуют золотому сечению. Трезизе находит внутренние доказательства «замечательными», но предупреждает, что никакие письменные или зарегистрированные свидетельства не предполагают, что Дебюсси сознательно стремился к таким пропорциям.

Хотя Хайнц Болен предложил шкалу 833 цента без повторения октав, основанную на комбинированных тонах , в настройке используются соотношения, основанные на золотом сечении. В качестве музыкального интервала соотношение 1,618... составляет 833,090... цента ( Воспроизвести ). значок динамика 

Природа

Фрагмент блюдцевидного растения Aeonium tabuliforme , показывающий множественное спиральное расположение ( парастихи )

Иоганн Кеплер писал, что «образ мужчины и женщины проистекает из божественной пропорции. По моему мнению, размножение растений и деторождение животных находятся в одинаковом соотношении».

Психолог Адольф Цейзинг отметил, что золотое сечение появилось в филлотаксисе , и на основании этих закономерностей в природе сделал вывод, что золотое сечение является универсальным законом. Цейзинг написал в 1854 году универсальный ортогенетический закон «стремления к красоте и завершенности в сферах как природы, так и искусства».

Однако некоторые утверждали, что многие очевидные проявления золотого сечения в природе, особенно в отношении размеров животных, являются вымышленными.

Оптимизация

Золотое сечение является важным элементом поиска по золотому сечению .

Математика

Иррациональность

Золотое сечение — иррациональное число . Ниже приведены два коротких доказательства иррациональности:

Противоречие от выражения в самых низких терминах

Если бы было рациональным , то это было бы отношение сторон прямоугольника с целыми сторонами (прямоугольника, содержащего всю диаграмму). Но это также будет отношение целых сторон меньшего прямоугольника (крайняя правая часть диаграммы), полученного путем удаления квадрата. Последовательность убывающих целочисленных длин сторон, образованная удалением квадратов, не может продолжаться бесконечно, потому что положительные целые числа имеют нижнюю границу, поэтому не могут быть рациональными.

Напомним, что:

целое — это длинная часть плюс более короткая часть;
целое относится к более длинной части, как более длинная часть к более короткой части.

Если мы назовем целое и более длинную часть , то второе утверждение выше станет

как есть _

Сказать, что золотое сечение рационально, означает, что это дробь, где и — целые числа. Мы можем принять , чтобы быть в самых низких условиях и быть положительным. Но если в низшей степени, то равноценное в еще низшей степени. Это противоречие следует из предположения о рациональности.

По иррациональности

Другое короткое доказательство — возможно, более известное — иррациональности золотого сечения использует замыкание рациональных чисел при сложении и умножении. Если рационально, то также рационально, что является противоречием, если уже известно, что квадратный корень неквадратного натурального числа иррационален.

Минимальный полином

Золотое сечение и его обратное отрицательное значение являются двумя корнями квадратного многочлена . Отрицательное и обратное отношение золотого сечения — это два корня квадратного многочлена .

Золотое сечение также является алгебраическим числом и даже целым алгебраическим числом . имеет минимальный полином

Этот квадратичный полином имеет два корня и

Золотое сечение также тесно связано с многочленом

который имеет корни и

Сопряжение золотого сечения

Сопряженный корень минимального многочлена равен

Абсолютное значение этой величины ( ) соответствует соотношению длин, взятому в обратном порядке (длина более короткого сегмента к длине более длинного сегмента ), и иногда упоминается как сопряженное золотое сечение или серебряное отношение . Здесь он обозначается заглавной фи ( ):

Это иллюстрирует уникальное свойство золотого сечения среди положительных чисел, которое

или его обратное:

Альтернативные формы

Аппроксимации обратного золотого сечения конечными непрерывными дробями или отношениями чисел Фибоначчи.

Формулу можно расширить рекурсивно, чтобы получить непрерывную дробь для золотого сечения:

и обратное:

Подходящие дроби этих цепных дробей ( ... или ...) являются отношениями последовательных чисел Фибоначчи .

Уравнение также дает непрерывный квадратный корень :

Можно вывести бесконечный ряд, чтобы выразить :

Также:

Это соответствует тому факту, что длина диагонали правильного пятиугольника умножается на длину его стороны, и аналогичные отношения в пентаграмме .

Геометрия

Приблизительные и истинные золотые спирали . Зеленая спираль состоит из четвертей окружностей, касающихся внутренней части каждого квадрата, а красная спираль представляет собой золотую спираль, особый тип логарифмической спирали . Перекрывающиеся части кажутся желтыми . Длина стороны одного квадрата, деленная на длину стороны следующего меньшего квадрата, является золотым сечением.

Число часто встречается в геометрии , особенно в фигурах с пятиугольной симметрией . Длина диагонали правильного пятиугольника умножена на его сторону. Вершины правильного икосаэдра - это вершины трех взаимно ортогональных золотых прямоугольников.

Не существует известного общего алгоритма равномерного размещения заданного числа узлов на сфере для любого из нескольких определений равномерного распределения (см., например, проблему Томсона или проблему Таммеса ). Однако полезная аппроксимация получается из разделения сферы на параллельные полосы равной площади поверхности и размещения по одному узлу в каждой полосе на долготах, разнесенных золотым сечением круга, т.е. этот метод был использован для размещения 1500 зеркал студенческого совместного спутник Старшайн-3 .

Разделение отрезка на внутреннее деление

Разделение отрезка внутренним делением по золотому сечению
  1. Имея отрезок , постройте перпендикуляр в точке с половиной длины Нарисуйте гипотенузу
  2. Нарисуйте дугу с центром и радиусом . Эта дуга пересекает гипотенузу в точке
  3. Нарисуйте дугу с центром и радиусом . Эта дуга пересекает исходный отрезок в точке . Точка делит исходный отрезок на отрезки с длинами в золотом сечении.

Разделение сегмента линии внешним делением

Разделение отрезка внешним делением по золотому сечению
  1. Нарисуйте отрезок и постройте от точки отрезок, перпендикулярный и такой же длины, как
  2. Разделите отрезок пополам с помощью
  3. Дуга окружности с радиусом пересекает в точке прямую линию, проходящую через точки и (также известную как продолжение ). Отношение к построенному отрезку есть золотое сечение.

Примеры применения вы можете увидеть в статьях Пятиугольник с заданной длиной стороны , Десятиугольник с заданной описанной окружностью и Десятиугольник с заданной длиной стороны .

Оба представленных выше различных алгоритма производят геометрические построения , которые определяют два выровненных отрезка линии, где отношение более длинного к более короткому является золотым сечением.

Золотой треугольник, пятиугольник и пентаграмма

Золотой треугольник . Угол с двойной красной дугой равен или радианам.
Золотой треугольник

Золотой треугольник можно охарактеризовать как равнобедренный треугольник с тем свойством, что деление угла пополам дает новый треугольник , аналогичный исходному треугольнику.

Если угол , то из-за бисекции и из-за подобных треугольников; исходной равнобедренной симметрии и по подобию. Углы треугольника в сумме дают Таким образом, углы золотого треугольника равны – – Углы оставшегося тупоугольного равнобедренного треугольника (иногда называемого золотым гномоном) равны – –

Предположим , имеет длину, и мы называем длину Из-за равнобедренных треугольников , и , следовательно, они также являются длиной . Длина , следовательно, равна Но треугольник подобен треугольнику , поэтому он также равен . Таким образом , подтверждается, что это действительно золотое сечение.

Точно так же отношение площади большего треугольника к площади меньшего равно, а обратное отношение равно

Пентагон

В правильном пятиугольнике отношение диагонали к стороне является золотым сечением, а пересекающиеся диагонали делят друг друга по золотому сечению.

Строительство Одома
Позвольте и быть серединами сторон и равностороннего треугольника Продолжить , чтобы встретиться с описанной окружностью в

Джордж Одом дал удивительно простую конструкцию для включения равностороннего треугольника: если равносторонний треугольник вписан в окружность и отрезок, соединяющий середины двух сторон, пересекает окружность в любой из двух точек, то эти три точки равны в золотой пропорции. Этот результат является прямым следствием теоремы о пересекающихся хордах и может быть использован для построения правильного пятиугольника, конструкции, которая привлекла внимание известного канадского геометра Х. одно слово «Вот!»

Пентаграмма
Пентаграмма окрашена так, чтобы можно было различать ее отрезки разной длины. Четыре длины находятся в золотом соотношении друг к другу.

Золотое сечение играет важную роль в геометрии пентаграмм . Каждое пересечение ребер разделяет другие ребра в золотом сечении. Кроме того, отношение длины более короткого сегмента к сегменту, ограниченному двумя пересекающимися ребрами (сторона пятиугольника в центре пентаграммы), соответствует показанному на четырехцветном рисунке.

Пентаграмма состоит из десяти равнобедренных треугольников : пяти остроугольных и пяти тупоугольных равнобедренных. Во всех них отношение большей стороны к меньшей равно Остроугольные треугольники — золотые треугольники. Тупоугольные равнобедренные треугольники — золотые гномоны.

Теорема Птолемея
Золотое сечение в правильном пятиугольнике можно вычислить с помощью теоремы Птолемея .

Свойства золотого сечения правильного пятиугольника можно подтвердить, применив теорему Птолемея к четырехугольнику, образованному удалением одной из его вершин. Если длинное ребро и диагонали четырехугольника равны, а короткие ребра равны, то теорема Птолемея дает , что дает

Масштабность треугольников

Рассмотрим треугольник , стороны которого равны длинам и расположены в порядке убывания. Определить «масштабность» треугольника как наименьшее из двух отношений и Масштабность всегда меньше и может быть сделана как можно ближе к

Треугольник, стороны которого образуют геометрическую прогрессию

Если длины сторон треугольника образуют геометрическую прогрессию и находятся в отношении где - обыкновенное отношение, то должны лежать в диапазоне вследствие неравенства треугольника (сумма любых двух сторон треугольника должна быть строго больше, чем длина третьей стороны). Если тогда более короткие две стороны равны, а их сумма равна Таким образом , аналогичный расчет показывает, что треугольник, стороны которого находятся в отношении , является прямоугольным треугольником (потому что ), известным как треугольник Кеплера .

Золотой треугольник, ромб и ромбический триаконтаэдр

Один из ромбов ромботриаконтаэдра
Все грани ромбического триаконтаэдра - золотые ромбы.

Золотой ромб – это ромб , диагонали которого находятся в золотом сечении. Ромбический триаконтаэдрвыпуклый многогранник , обладающий особым свойством: все его грани — золотые ромбы. В ромботриаконтаэдре двугранный угол между любыми двумя соседними ромбами в два раза больше равнобедренного угла золотого треугольника и в четыре раза больше его самого острого угла.

Связь с последовательностью Фибоначчи

Математика золотого сечения и последовательности Фибоначчи тесно взаимосвязаны. Последовательность Фибоначчи такова:

...

Выражение в закрытой форме для последовательности Фибоначчи включает золотое сечение:

Спираль Фибоначчи , которая аппроксимирует золотую спираль с использованием размеров квадратов последовательности Фибоначчи до Спираль рисуется, начиная с внутреннего квадрата и продолжается наружу к последовательно большим квадратам.

Золотое сечение - это предел отношений последовательных членов последовательности Фибоначчи (или любой последовательности, подобной Фибоначчи), как показано Кеплером :

Другими словами, если число Фибоначчи делится на его непосредственное предшествующее число в последовательности, частное аппроксимирует , например, эти приближения поочередно ниже и выше и сходятся к ним по мере увеличения чисел Фибоначчи, и:

В более общем смысле

где выше отношения последовательных членов последовательности Фибоначчи, это случай, когда

Кроме того, последовательные степени подчиняются повторению Фибоначчи.

Это тождество позволяет свести любой многочлен от к линейному выражению. Например:

Приведение к линейному выражению можно выполнить за один шаг, используя соотношение

где - число Фибоначчи.

Однако это не особое свойство, потому что полиномы в любом решении квадратного уравнения можно уменьшить аналогичным образом, применяя:

для заданных коэффициентов , удовлетворяющих уравнению. Даже в более общем случае любая рациональная функция (с рациональными коэффициентами) корня неприводимого полинома й-й степени над рациональными числами может быть сведена к полиному степени, выраженной в терминах теории поля , если является корнем неприводимого й-й степени многочлен, то имеет степень выше основания

Симметрии

Золотое сечение и обратное золотое сечение имеют набор симметрий, которые их сохраняют и связывают между собой. Оба они сохраняются при дробно-линейных преобразованиях – этому факту соответствует тождество и определение квадратного уравнения. Далее они меняются местами тремя отображениями – обратными, симметричными относительно и (проективно) симметричными относительно

Более глубоко эти отображения образуют подгруппу модулярной группы , изоморфную симметрической группе букв, соответствующую стабилизатору множества стандартных точек на проективной прямой , а симметрии соответствуют фактор-отображению – подгруппе, состоящей из тождества и -циклы в обозначении цикла фиксируют два числа, в то время как -циклы меняют их местами, таким образом реализуя карту.

Другие свойства

Золотое сечение имеет самое простое выражение (и самую медленную сходимость) в виде непрерывной дроби любого иррационального числа (см. Альтернативные формы выше). По этой причине это один из худших случаев аппроксимационной теоремы Лагранжа и экстремальный случай неравенства Гурвица для диофантовых приближений . Возможно, поэтому в филлотаксисе часто появляются углы, близкие к золотому сечению .

Определяющий квадратичный полином и сопряженное отношение приводят к десятичным значениям, которые имеют общую дробную часть с :

Последовательность степеней содержит эти значения в более общем виде, любая степень равна сумме двух непосредственно предшествующих степеней:

В результате можно легко разложить любую степень на кратное и константу. Множитель и константа всегда являются соседними числами Фибоначчи. Это приводит к другому свойству положительных степеней :

Если тогда:

Золотое сечение является фундаментальной единицей поля алгебраических чисел и является числом Пизо-Виджаярагхавана . В поле имеем где находится -е число Лукаса .

Когда золотое сечение используется в качестве основы системы счисления (см. Основу золотого сечения , иногда называемую финарной или -нарной ), квадратичные целые числа в кольце , то есть числа в форме for , имеют конечные представления, но рациональные дроби имеют незавершенные представления.

Золотое сечение также появляется в гиперболической геометрии как максимальное расстояние от точки на одной стороне идеального треугольника до ближайшей из двух других сторон: это расстояние, длина стороны равностороннего треугольника , образованного точками касания окружность, вписанная в идеальный треугольник,

Золотое сечение появляется и в теории модульных функций . Для , пусть

потом

а также

где и в цепной дроби следует оценивать как . Функция инвариантна относительно конгруэнтной подгруппы модулярной группы . Также для положительных действительных чисел, а затем

а также

Для гамма-функции единственными решениями уравнения Γ( z − 1) = Γ( z + 1) являются z = φ и z = −1/ φ .

Десятичное расширение

Десятичное расширение золотого сечения можно рассчитать из выражения

с участием 2.236 067 977 .... OEISA002163 . Квадратный корень можно вычислить с помощью вавилонского метода , начиная с начальной оценки, такой каки повторяя

for до тех пор, пока разница между и не станет равной нулю до желаемого количества цифр. потом

Вавилонский алгоритм эквивалентен методу Ньютона для решения уравнения и сходится квадратично , что означает, что количество правильных цифр примерно удваивается на каждой итерации.

Чтобы избежать дорогостоящей в вычислительном отношении операции деления, вместо этого можно использовать метод Ньютона для решения уравнения для корня. Тогда и шаг обновления

С другой стороны, метод Ньютона можно применить непосредственно к любому уравнению, которое имеет золотое сечение в качестве решения, например, в этом случае, и шаг обновления

Метод Галлея имеет кубическую сходимость (примерно утраивая количество правильных цифр с каждой итерацией), но может быть медленнее для практических вычислений, потому что каждый шаг требует больше работы. Чтобы решить шаг обновления,

Таким образом, золотое сечение относительно легко вычислить с произвольной точностью . Время, необходимое для вычисления цифр золотого сечения, пропорционально времени, необходимому для деления двузначных чисел. Это значительно быстрее, чем известные алгоритмы для трансцендентных чисел и .

Легко запрограммированная альтернатива, использующая только целочисленную арифметику, состоит в том, чтобы вычислить два больших последовательных числа Фибоначчи и разделить их. Соотношение чисел Фибоначчи и каждого из них дает более значащие цифры золотого сечения.

Десятичное расширение золотого сечения было рассчитано с точностью до десяти триллионов ( ) цифр.

Пирамиды

Правильная квадратная пирамида определяется ее медиальным прямоугольным треугольником, краями которого являются апофема пирамиды ( ), полуоснование ( ) и высота ( ); также отмечается угол наклона лица. Математические пропорции и представляют особый интерес в связи с египетскими пирамидами .

И египетские пирамиды, и похожие на них правильные квадратные пирамиды можно анализировать с точки зрения золотого сечения и других соотношений.

Математические пирамиды

Пирамиду, у которой апофема (высота наклона вдоль биссектрисы грани) равна умножению на полуоснование ( половину ширины основания), иногда называют золотой пирамидой . Равнобедренный треугольник, который является гранью такой пирамиды, может быть построен из двух половин разделенного по диагонали золотого прямоугольника (размером в половину основания на апофему), соединяя ребра средней длины, чтобы получилась апофема. Высота этой пирамиды умножена на полуоснование (то есть наклон лица равен ); квадрат высоты равен площади лица, умноженной на квадрат полуоснования. Средний прямоугольный треугольник этой «золотой» пирамиды (см. Диаграмму) со сторонами интересен сам по себе, демонстрируя с помощью теоремы Пифагора соотношение или Этот треугольник Кеплера является единственной пропорцией прямоугольного треугольника с длинами ребер в геометрической прогрессии , точно так же, как треугольник является единственной пропорцией прямоугольного треугольника с длинами ребер в арифметической прогрессии . Угол с касательной соответствует углу, который сторона пирамиды составляет по отношению к земле, ( ).

Почти аналогичная форма пирамиды, но с рациональными пропорциями, описана в математическом папирусе Райнда (источник значительной части современных знаний о древнеегипетской математике ), основанном на треугольнике; наклон лица, соответствующий углу с касательной , с точностью до двух знаков после запятой ( ). Наклонная высота или апофема умножается на полубазу. В папирусе Райнда есть еще одна проблема пирамиды, опять же с рациональным наклоном (выраженным как набегание на подъем). Египетская математика не включала понятие иррациональных чисел, и при строительстве пирамид использовался рациональный обратный наклон (пробег/подъем, умноженный на коэффициент для преобразования в их условные единицы ладони на локоть).

Известны египетские пирамиды, очень близкие по пропорциям к этим математическим пирамидам.

Египетские пирамиды

Великая пирамида Гизы

Одной из египетских пирамид, которая близка к «золотой пирамиде», является Великая пирамида Гизы (также известная как пирамида Хеопса или Хуфу). Его наклон близок к наклону «золотой» пирамиды – и даже ближе к наклону основанной пирамиды – однако несколько других математических теорий формы великой пирамиды, основанных на рациональных наклонах, оказались одновременно более точные и более правдоподобные объяснения наклона.

В середине девятнадцатого века Фридрих Ребер изучал различные египетские пирамиды, в том числе пирамиды Хефрена , Менкаура и некоторые из групп Гизы , Саккары и Абусира . Он не применял золотое сечение к Великой пирамиде в Гизе, а вместо этого согласился с Джоном Шаем Перрингом в том, что отношение ее сторон к высоте равно Для всех остальных пирамид он применил измерения, относящиеся к треугольнику Кеплера, и заявил, что или длина половины стороны связана с их высотой золотым сечением.

В 1859 году пирамидолог Джон Тейлор неверно истолковал Геродота ( ок. 440 г. до н.э. ), указав, что квадрат высоты Великой пирамиды равен площади одного из треугольников ее лица. Это привело Тейлора к утверждению, что в Великой пирамиде золотое сечение представлено отношением длины грани (высоты склона, наклоненного под углом к ​​земле) к половине длины стороны квадратного основания. (соответствует секансу угла ). Две указанные выше длины составляют около 186,4 метра (612 футов) и 115,2 метра (378 футов) соответственно. Соотношение этих длин является золотым сечением с точностью до большего количества цифр, чем любое из исходных измерений. Точно так же Говард Вайс сообщил, что высота великой пирамиды составляет 148,2 метра (486 футов), а половина основания - 116,4 метра (382 фута), что дает отношение наклонной высоты к половине основания, что снова более точно, чем изменчивость данных.

Эрик Темпл Белл , математик и историк, утверждал в 1950 году, что египетская математика не поддержала бы способность вычислять наклонную высоту пирамид или отношение к высоте, за исключением случая пирамиды, поскольку треугольник был единственным Прямоугольный треугольник был известен египтянам, и они не знали ни теоремы Пифагора, ни какого-либо способа рассуждения об иррациональности, такой как или Пример геометрических проблем проектирования пирамиды в папирусе Райнда, соответствующих различным рациональным наклонам.

Майкл Райс утверждает, что главные авторитеты в истории египетской архитектуры утверждали, что египтяне были хорошо знакомы с золотым сечением и что оно является частью математики пирамид, цитируя Гидона (1957). Историки науки долго спорили, обладали ли египтяне такими знаниями, утверждая, что их появление в Великой пирамиде является результатом случайности.

Спорные наблюдения

Примеры спорных наблюдений за золотым сечением включают следующее:

Раковины наутилуса часто ошибочно называют золотыми пропорциями.
  • Некоторые определенные пропорции в телах многих животных (включая человека) и части раковин моллюсков часто утверждают, что они соответствуют золотому сечению. Однако существует большой разброс в реальных показателях этих элементов у конкретных людей, и рассматриваемая пропорция часто значительно отличается от золотого сечения. Говорят, что соотношение последовательных фаланг пальцев и пястной кости приближается к золотому сечению. Раковину наутилуса , построение которой идет по логарифмической спирали , часто цитируют, обычно с идеей, что любая логарифмическая спираль связана с золотым сечением, но иногда с утверждением, что каждая новая камера имеет золотую пропорцию по отношению к предыдущей один. Однако измерения раковин наутилуса не подтверждают это утверждение.
  • Историк Джон Мэн утверждает, что и страницы, и текстовая область Библии Гутенберга были «основаны на форме золотого сечения». Однако, по его собственным измерениям, отношение высоты к ширине страниц равно
  • Исследования психологов, начиная с Густава Фехнера c. 1876, были разработаны, чтобы проверить идею о том, что золотое сечение играет роль в восприятии красоты человеком . Хотя Фехнер обнаружил, что предпочтение отдается прямоугольным соотношениям, основанным на золотом сечении, более поздние попытки тщательно проверить такую ​​гипотезу были в лучшем случае безрезультатными.
  • При инвестировании некоторые специалисты по техническому анализу используют золотое сечение для обозначения поддержки уровня цен или сопротивления росту цен акций или товаров; после значительных изменений цены вверх или вниз предположительно обнаруживаются новые уровни поддержки и сопротивления на уровне или вблизи цен, связанных со стартовой ценой посредством золотого сечения. Использование золотого сечения в инвестировании также связано с более сложными паттернами, описываемыми числами Фибоначчи (например , принцип волн Эллиотта и восстановление Фибоначчи ). Однако другие рыночные аналитики опубликовали анализы, предполагающие, что эти проценты и закономерности не подтверждаются данными.

Парфенон

Утверждается, что многие пропорции Парфенона демонстрируют золотое сечение, но это в значительной степени было дискредитировано.

Некоторые говорят, что фасад Парфенона (ок. 432 г. до н.э.), а также элементы его фасада и других мест ограничены золотыми прямоугольниками. Другие ученые отрицают, что у греков была какая-либо эстетическая ассоциация с золотым сечением. Например, Кит Девлин говорит: «Конечно, часто повторяющееся утверждение, что Парфенон в Афинах основан на золотом сечении, не подтверждается фактическими измерениями. На самом деле вся история о греках и золотом сечении кажется безосновательной. " Мидхат Дж. Газале утверждает, что «только до Евклида ... математические свойства золотого сечения не изучались».

Измерив 15 храмов, 18 монументальных гробниц, 8 саркофагов и 58 надгробных стел с V века до н.э. по II век н.э., один исследователь пришел к выводу, что золотое сечение полностью отсутствовало в греческой архитектуре классического V века до н. отсутствовал в течение следующих шести столетий. В более поздних источниках, таких как Витрувий (I в. до н.э.), речь идет исключительно о пропорциях, которые могут быть выражены целыми числами, т.е. о соизмеримых, а не об иррациональных пропорциях.

Современное искусство

Section d’Or ( « Золотое сечение») представляло собой коллектив художников , скульпторов, поэтов и критиков, связанных с кубизмом и орфизмом . Работая с 1911 по 1914 год, они приняли это название, чтобы подчеркнуть, что кубизм представляет собой продолжение великой традиции, а не изолированное движение, и в знак уважения к математической гармонии, связанной с Жоржем Сёра . Кубисты наблюдали в его гармонии, геометрической структурированности движения и формы, примат идеи над природой, абсолютную научную ясность замысла. Однако, несмотря на этот общий интерес к математической гармонии, труднее определить, использовали ли картины, представленные на знаменитой выставке Salon de la Section d'Or 1912 года, золотое сечение в каких-либо композициях. Ливио, например, утверждает, что это не так, и Марсель Дюшан сказал это в интервью. С другой стороны, анализ показывает, что Хуан Грис использовал золотое сечение при создании произведений, которые, вероятно, но не окончательно были представлены на выставке. Историк искусства Дэниел Роббинс утверждал, что помимо ссылки на математический термин, название выставки также относится к более ранней группе Bandeaux d'Or , с которой были связаны Альберт Глейз и другие бывшие члены Abbaye de Créteil .

Говорят, что Пит Мондриан широко использовал золотое сечение в своих геометрических картинах, хотя другие эксперты (включая критика Ив-Алена Буа ) опровергли эти утверждения.

Смотрите также

использованная литература

Пояснительные сноски

Цитаты

Процитированные работы

дальнейшее чтение

  • Доци, Дьердь (2005) [1981]. Сила ограничений: пропорциональные гармонии в природе, искусстве и архитектуре . Бостон: публикации Шамбалы. ISBN 978-1-59030-259-0.
  • Хеменуэй, Прия (2005). Божественная пропорция: фи в искусстве, природе и науке . Нью-Йорк: Стерлинг. ISBN 978-1-4027-3522-6.
  • Хантли, HE (1970). Божественная пропорция: исследование математической красоты . Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-22254-7.
  • Джозеф, Джордж Г. (2000) [1991]. Гребень павлина: неевропейские корни математики (новая ред.). Принстон, Нью-Джерси: Издательство Принстонского университета. ISBN 978-0-691-00659-8.
  • Салквист, Лейф (2008). Основные положения и золотое сечение: принципы древней космографии и дизайна (3-е изд.). Чарльстон, Южная Каролина: BookSurge. ISBN 978-1-4196-2157-4.
  • Шнайдер, Майкл С. (1994). Руководство для начинающих по конструированию Вселенной: математические архетипы природы, искусства и науки . Нью-Йорк: HarperCollins. ISBN 978-0-06-016939-8.
  • Шимоне, Альдо (1997). La Sezione Aurea. Культурная история лейтмотивом математики . Палермо: Sigma Edizioni. ISBN 978-88-7231-025-0.
  • Вальзер, Ганс (2001) [ Der Goldene Schnitt 1993]. Золотое сечение . Питер Хилтон пер. Вашингтон, округ Колумбия: Математическая ассоциация Америки. ISBN 978-0-88385-534-8.

внешние ссылки