Воздушный змей (геометрия) - Kite (geometry)

летающий змей
Воздушный змей с парами сторон равной длины и вписанным кругом.
Тип	Четырехугольник
Ребра и вершины	4
Группа симметрии	D 1 (*)
Двойной многоугольник	Равнобедренная трапеция

В евклидовой геометрии , А змея является четырехугольником , чьи четыре стороны могут быть сгруппированы в две пары сторон одинаковой длины , которые расположены рядом друг с другом. Напротив, параллелограмм также имеет две пары сторон равной длины, но они противоположны друг другу, а не смежны. Четырехугольники воздушных змеев названы в честь запущенных ветром воздушных змеев , которые часто имеют такую ​​форму и которые, в свою очередь, названы в честь птицы . Кайты также известны как дельтоиды , а слово «дельтовидное» может также относиться к дельтовидному кривому , неродственному геометрическому объекту.

Воздушный змей, как определено выше, может быть выпуклым или вогнутым , но слово «воздушный змей» часто ограничивается выпуклой разновидностью. Вогнутый змей иногда называют «дротиком» или «наконечником стрелы» и представляет собой разновидность псевдотреугольника .

Особые случаи

Deltoidal trihexagonal плиточный выполнен из одинаковых граней змея, с 60-90-120 градусами внутренних углов.

Четырехугольники можно классифицировать как иерархически (в которых некоторые классы четырехугольников являются подмножествами других классов), так и по частям (в которых каждый четырехугольник принадлежит только одному классу). При иерархической классификации ромб (четырехугольник с четырьмя сторонами одинаковой длины) считается частным случаем воздушного змея, потому что его края можно разделить на две соседние пары равной длины, а квадрат - это квадрат. частный случай ромба, который имеет равные прямые углы, и, таким образом, также является частным случаем воздушного змея. Согласно этой классификации, все равносторонние воздушные змеи - ромбовидные, а все равноугольные воздушные змеи (которые по определению равносторонние) - квадраты. Однако в соответствии с классификацией разбиения ромбы и квадраты не считаются воздушными змеями, и воздушный змей не может быть равносторонним или равносторонним. По той же причине, с классификацией разбиения, формы, отвечающие дополнительным ограничениям других классов четырехугольников, такие как правые воздушные змеи, обсуждаемые ниже, не будут считаться воздушными змеями.

Остальная часть этой статьи следует иерархической классификации, в которой ромбы, квадраты и правые воздушные змеи считаются воздушными змеями. Избегая необходимости рассматривать особые случаи по-разному, эта иерархическая классификация может помочь упростить формулировку теорем о воздушных змеях.

Воздушный змей с тремя равными углами 108 ° и 36 ° один углом образует выпуклую оболочку на лютне Пифагора .

Воздушные змеи, которые также являются вписанными четырехугольниками (т. Е. Воздушные змеи, которые могут быть вписаны в круг), в точности состоят из двух равных прямоугольных треугольников . То есть для этих воздушных змеев два равных угла на противоположных сторонах оси симметрии составляют каждый по 90 градусов. Эти формы называются правильными воздушными змеями . Поскольку они описывают один круг и вписаны в другой круг, они представляют собой двухцентровые четырехугольники . Среди всех бицентрических четырехугольников с заданными двумя радиусами окружности тот, у которого максимальная площадь, является правым воздушным змеем.

Есть только восемь многоугольников, которые могут замощить плоскость таким образом, что отражение любой плитки через любой из ее краев дает другую плитку; мозаика, полученная таким образом, называется тесселяцией краев . Один из них - это тайлинг прямым воздушным змеем с углами 60 °, 90 ° и 120 °. Мозаика, которую он производит своими отражениями, - это дельтовидная трехгексагональная мозаика .

Правильный змей

Равноугольный змей, вписанный в треугольник Рело.

Среди всех четырехугольников форма, имеющая наибольшее отношение периметра к диаметру, - это равнодиагональный змей с углами π / 3, 5π / 12, 5π / 6, 5π / 12. Его четыре вершины лежат в трех углах и одной из боковых средних точек треугольника Рило (вверху справа).

В неевклидовой геометрии , Ламберт четырехугольник является правом кайта с тремя прямыми углами.

Характеристики

Примеры выпуклых и вогнутых воздушных змеев. Вогнутый корпус называется дротиком .

Четырехугольник является змеей тогда и только тогда , когда какой - либо один из следующих условий:

• Две непересекающиеся пары смежных сторон равны (по определению).
• Одна диагональ - это серединный перпендикуляр другой диагонали. (В вогнутом случае это продолжение одной из диагоналей.)
• Одна диагональ - это линия симметрии (она делит четырехугольник на два равных треугольника, которые являются зеркальным отображением друг друга).
• Одна диагональ делит пополам пару противоположных углов.

Симметрия

Воздушные змеи - это четырехугольники, у которых есть ось симметрии вдоль одной из диагоналей . Любой четырехугольник без самопересечения , имеющий ось симметрии, должен быть либо воздушным змеем (если ось симметрии диагональ), либо равнобедренной трапецией (если ось симметрии проходит через середины двух сторон); они включают в качестве частных случаев ромб и прямоугольник соответственно, каждый из которых имеет две оси симметрии, а также квадрат, который одновременно является воздушным змеем и равнобедренной трапецией и имеет четыре оси симметрии. Если пересечения разрешены, список четырехугольников с осями симметрии должен быть расширен, чтобы также включить антипараллелограммы .

Основные свойства

Каждый змей является ортодиагональным , что означает, что его две диагонали расположены под прямым углом друг к другу. Более того, одна из двух диагоналей (ось симметрии) является серединным перпендикуляром другой, а также является биссектрисой двух углов, которые она встречает.

Одна из двух диагоналей выпуклого воздушного змея делит его на два равнобедренных треугольника ; другой (ось симметрии) делит змей на два равных треугольника . Два внутренних угла воздушного змея, которые находятся по разные стороны от оси симметрии, равны.

Площадь

Как и в более общем случае для любого ортодиагонального четырехугольника , площадь A воздушного змея может быть вычислена как половина произведения длин диагоналей p и q :

${\ displaystyle A = {\ frac {p \ cdot q} {2}}.}$

В качестве альтернативы, если a и b - длины двух неравных сторон, а θ - угол между неравными сторонами, тогда площадь равна

${\ displaystyle \ displaystyle A = ab \ cdot \ sin {\ theta}.}$

Касательные круги

Каждый выпуклый змей имеет вписанный круг ; то есть существует окружность, касающаяся всех четырех сторон. Следовательно, любой выпуклый змей является касательным четырехугольником . Кроме того, если выпуклый воздушный змей не является ромбом, за пределами воздушного змея есть еще один круг, касательный к линиям, проходящим через его четыре стороны; следовательно, любой выпуклый змей, не являющийся ромбом, является экс-тангенциальным четырехугольником .

Для каждого вогнутого воздушного змея существует две окружности, касательные ко всем четырем (возможно, удлиненным) сторонам: одна находится внутри воздушного змея и касается двух сторон, противоположных вогнутому углу, в то время как другая окружность является внешней по отношению к воздушному змею и касается змея на поверхности. два ребра, падающие на вогнутый угол.

Двойные свойства

Воздушный змей и равнобедренные трапеции двойственны: полярная фигура воздушного змея - это равнобедренная трапеция, и наоборот. Двойственность бокового угла воздушных змеев и равнобедренных трапеций сравнивается в таблице ниже.

Мозаики и многогранники

Все воздушные змеи замощают плоскость путем многократного переворота по центрам их краев, как и все четырехугольники. Воздушный змей с углами π / 3, π / 2, 2π / 3, π / 2 также может покрывать плоскость мозаикой, многократно отражаясь от ее краев; получившаяся мозаика, дельтовидная трехгексагональная мозаика , накладывает мозаику плоскости правильными шестиугольниками и равнобедренными треугольниками.

Дельтоидальный икоситетраэдр , дельтоидальный гексеконтаэдр и трапецоэдр являются многогранниками с конгруэнтными змеями-образной гранями . Есть бесконечное число однородных разбиений в гиперболической плоскости с помощью воздушных змеев, самый простой из которых является deltoidal triheptagonal плиточные.

Воздушный змей и дротик, в которых два равнобедренных треугольника, образующих воздушный змей, имеют углы при вершине 2π / 5 и 4π / 5, представляют собой один из двух наборов основных плиток в мозаике Пенроуза , апериодической мозаике плоскости, обнаруженной физиком-математиком Роджером Пенроузом .

Грань-транзитивная самотесселяция сферы, евклидовой плоскости и гиперболической плоскости с воздушными змеями происходит как однородные двойники: для группы Кокстера [p, q] с любым набором p, q от 3 до бесконечности, так как эта таблица частично показывает до q = 6. Когда p = q, воздушные змеи становятся ромбовидными ; когда p = q = 4, они становятся квадратами .

Дельтоидальные многогранники и мозаики

• v
• т
• е

Многогранники			Евклидово	Гиперболические мозаики
V4.3.4.3	V4.3.4.4	V4.3.4.5	V4.3.4.6	V4.3.4.7	V4.3.4.8	...	V4.3.4.∞
Многогранники	Евклидово	Гиперболические мозаики
V4.4.4.3	V4.4.4.4	V4.4.4.5	V4.4.4.6	V4.4.4.7	V4.4.4.8	...	V4.4.4.∞
Многогранники	Гиперболические мозаики
V4.3.4.5	V4.4.4.5	V4.5.4.5	V4.6.4.5	V4.7.4.5	V4.8.4.5	...	V4.∞.4.5
Евклидово	Гиперболические мозаики
V4.3.4.6	V4.4.4.6	V4.5.4.6	V4.6.4.6	V4.7.4.6	V4.8.4.6	...	V4.∞.4.6
Гиперболические мозаики
V4.3.4.7	V4.4.4.7	V4.5.4.7	V4.6.4.7	V4.7.4.7	V4.8.4.7	...	V4.∞.4.7
Гиперболические мозаики
V4.3.4.8	V4.4.4.8	V4.5.4.8	V4.6.4.8	V4.7.4.8	V4.8.4.8	...	V4.∞.4.8

Условия, когда касательный четырехугольник является воздушным змеем

Тангенциальное четырехугольник является змея , если и только если любой из следующих условий:

• Площадь составляет половину произведения диагоналей .
• Диагонали перпендикулярны . (Таким образом, воздушные змеи - это в точности четырехугольники, которые являются как касательными, так и ортодиагональными .)
• Два отрезка, соединяющие противоположные точки касания, имеют одинаковую длину.
• Одна пара противоположных касательных длин имеет одинаковую длину.
• В bimedians имеют одинаковую длину.
• Произведения противоположных сторон равны.
• Центр вписанной окружности лежит на линии симметрии, которая также является диагональю.

Если диагонали касательного четырехугольника ABCD пересекаются в точке P , а вписанные окружности в треугольниках ABP , BCP , CDP , DAP имеют радиусы r ₁ , r ₂ , r ₃ и r ₄ соответственно, то четырехугольник является воздушным змеем тогда и только тогда, когда

${\ displaystyle r_ {1} + r_ {3} = r_ {2} + r_ {4}.}$

Если вневписанные окружности к одним и тем же четырем треугольникам напротив вершины P имеют радиусы R ₁ , R ₂ , R ₃ и R ₄ соответственно, то четырехугольник является воздушным змеем тогда и только тогда, когда

${\ displaystyle R_ {1} + R_ {3} = R_ {2} + R_ {4}.}$

использованная литература

внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Воздушный змей» . MathWorld .
• формулы площади с интерактивной анимацией на Mathopenref.com