Трапецоэдр - Trapezohedron

Набор двойственно-однородных n -угольных трапецоэдров
Пример двояко-равномерного пятиугольного трапецоэдра
Тип	двойственно- однородный в смысле двойственно- полуправильный многогранник
Обозначение Конвея	dA n
Символ Шлефли	{} ⨁ { n }
Диаграммы Кокстера
Лица	2 п конгруэнтных воздушных змеев
Края	4 п
Вершины	2 п + 2
Конфигурация лица	V3.3.3. п
Группа симметрии	D n d , [2 + , 2 n ], (2 * n ), порядок 4 n
Группа вращения	D n , [2, n ] + , (22 n ), порядок 2 n
Двойной многогранник	(выпуклая) однородная n -угольная антипризма
Характеристики	выпуклые , гранно-транзитивные , правильные вершины

П -gonal трапецоэдр , antidipyramid , antibipyramid или deltohedron является двойственный многогранник из п -gonal антипризмы . 2 n граней n -трапецоэдра конгруэнтны и симметрично расположены в шахматном порядке; их называют витыми воздушными змеями . При более высокой симметрии, ее 2 н грани змеи (также называемые трапеции или DELT о Идентификаторы ).

Часть имени n -угольника здесь относится не к граням, а к двум расположениям каждых n вершин вокруг оси n- кратной симметрии. Двойная n -угольная антипризма имеет две фактические грани n -угольника.

П -gonal трапецоэдр может быть расчленена на две равные п -gonal пирамид и в п -gonal антипризмы .

Имя

Эти фигуры, иногда называемые дельт о хедра, не следует путать с дельт а хедра , грани которых представляют собой равносторонние треугольники.

Витой тригональной трапецоэдр (с шестью витыми гранями трапециевидных) и витым тетрагональным трапецоэдром (с восьмью скрученными гранями трапециевидных) существует в виде кристаллов; в кристаллографии (описание кристалла привычки из минералов ), они просто называют тригональной трапецоэдр и тетрагональной трапецоэдром . У них нет ни плоскости симметрии, ни центра симметрии. Тригональный трапецииэдр имеет одну ось симметрии 3-го порядка, перпендикулярную трем осям симметрии 2-го порядка. Тетрагональный трапецоэдр имеет одну ось симметрии 4-го порядка, перпендикулярную четырем осям симметрии 2-го порядка.

Также в кристаллографии слово трапецоэдр часто используется для обозначения многогранника с 24 трапециевидными гранями, известного как (дельтовидный) икоситетраэдр . Другой многогранник с 12 трапециевидными гранями известен как дельтовидный додекаэдр .

Симметрия

Группа симметрии Ап п -gonal трапецоэдра является Д _{п д} , 4 - го порядка п , за исключением случая п = 3: куб имеет большую группу симметрии O _D порядка 48 = 4 × (4 × 3), который имеет четыре версии D _{3d в} качестве подгрупп.

Группа вращений из п -trapezohedron является D _п , 2 - го порядка п , за исключением случая п = 3: куб имеет большую группу вращения O порядка 24 = 4 × (2 × 3), который имеет четыре версии группы D ₃ как подгруппы.

Одна степень свободы в пределах симметрии от D _{n d} (порядок 4 n ) до D _n (порядок 2 n ) превращает конгруэнтные воздушные змеи в конгруэнтные четырехугольники с тремя длинами ребер, называемых скрученными воздушными змеями , а n -трапецоэдр называется скрученным трапецоэдром . (В пределе одно ребро каждого четырехугольника достигает нулевой длины, а n -трапецоэдр становится n -бипирамидой .)

Если воздушные змеи, окружающие два пика, не скручены, а имеют две разные формы, n -трапецоэдр может иметь только симметрию C _{n v} (циклический с вертикальными зеркалами) порядка 2 n и называется неравным или асимметричным трапециевидным элементом . Его дуал представляет собой неравную n-антипризму с верхним и нижним многоугольниками разного радиуса.

Если воздушные змеи скручены и имеют две разные формы, n -трапецоэдр может иметь только C _n (циклическую) симметрию, порядок n , и называется неравным скрученным трапециевидным элементом .

Примеры вариантов с гексагональными трапецоэдрами ( n = 6)

Тип трапецоэдра	Скрученный трапецоэдр		Неравный трапецоэдр	Неравномерно закрученный трапецоэдр
Группа симметрии	D 6 , (662), [6,2] +		C 6v , (* 66), [6]	С 6 , (66), [6] +
Изображение многогранника
Сеть

Формы

П -trapezohedron имеет 2 п четырехугольных граней, с 2 п + 2 вершинами. Две вершины находятся на полярной оси, а остальные вершины находятся в двух правильных n -угольных кольцах вершин.

Семейство n -угольных трапецоэдров

Название трапецоэдра	Дигональный трапецииэдр ( Тетраэдр )	Тригональный трапецоэдр	Тетрагональный трапецииэдр	Пятиугольный трапецииэдр	Шестиугольный трапецииэдр	Семиугольный трапецииэдр	Восьмиугольный трапецоэдр	Десятиугольный трапецииэдр	Додекагональный трапецииэдр	...	Апейрогональный трапецоэдр
Изображение многогранника										...
Сферическое мозаичное изображение										Плоское мозаичное изображение
Конфигурация лица	V2.3.3.3	V3.3.3.3	V4.3.3.3	V5.3.3.3	V6.3.3.3	V7.3.3.3	V8.3.3.3	V10.3.3.3	V12.3.3.3	...	V∞.3.3.3

Особые случаи:

• n = 2. Вырожденная форма трапецоэдра: геометрический тетраэдр с 6 вершинами, 8 ребрами и 4 вырожденными гранями змея , которые вырождены d в треугольники. Его двойник - это вырожденная форма антипризмы : тоже тетраэдр.
• n = 3. Двойник треугольной антипризмы : воздушные змеи ромбы (или квадраты); следовательно, эти трапецоэдры также являются зоноэдрами . Их называют ромбоэдрами . Это кубы, масштабированные по диагонали тела. Они также представляют собой параллелепипеды с конгруэнтными ромбическими гранями.
  

  Ромбоэдр 60 °, разделенный на центральный правильный октаэдр и два правильных тетраэдра.
  • Частным случаем ромбоэдра является тот, в котором ромбы, образующие грани, имеют углы 60 ° и 120 °. Его можно разложить на два равных правильных тетраэдра и правильный октаэдр . Поскольку параллелепипеды могут заполнять пространство , то же самое может и комбинация правильных тетраэдров и правильных октаэдров .

Примеры

• Кристаллическое расположение атомов может повторяться в пространстве с треугольными и гексагональными трапециевидными ячейками.
• Пятиугольный трапецоэдр является единственным полиэдр, кроме многогранников , обычно используемых в качестве штампа в ролевых играх , такие как Dungeons & Dragons . Имея 10 сторон, он может использоваться в повторении для получения любой желаемой равномерной вероятности на основе десятичной дроби . Два кубика разного цвета обычно используются для двух цифр, представляющих числа от 00 до 99.

Звездный трапецииэдр

Лицом транзитивна звезда р / д -trapezohedron это определяется регулярный зиг-заг перекос звезда 2 р / д -угольника основания, два симметричных Вершин , не имеющие степеней свободы справа вверху и справа внизу основания, и змей лица , соединяющих каждую пару основания примыкают ребра к одной вершине.

Такой звездный p / q -трапецоэдр имеет самопересекающуюся , скрещенную или невыпуклую форму. Он существует для любой правильной зигзагообразной косой звезды с основанием 2 p / q -угольника; но если p / q <3/2, то p - q < q / 2, поэтому двойная звездная антипризма (звездного трапецоэдра) не может быть однородной (т. е. не может иметь равные длины ребер); а если p / q = 3/2, то p - q = q / 2, поэтому двойная звездная антипризма должна быть плоской, а значит, вырожденной, чтобы быть однородной.

Двойственно-однородный звездный p / q -трапецоэдр имеет диаграмму Кокстера-Дынкина .

Двойственно-однородные звездные p / q -трапецоэдры до p  = 12

5/2	5/3	7/2	7/3	7/4	8/3	8/5	9/2	9/4	9/5

10/3	11/2	11/3	11/4	11/5	11/6	11/7	12/5	12/7

Додекагональный трапецииэдр

Двенадцатиугольный трапецоэдр является трапецоэдром с 24 змеями. Он имеет 12-кратную антипризмическую симметрию 48-го порядка.

Смотрите также

• Уменьшенный трапецоэдр
• Ромбический додекаэдр
• Ромбический триаконтаэдр
• Бипирамида
• Усеченный трапецоэдр
• Обозначения многогранника Конвея
• «Призрак тьмы» , рассказ Л. П. Лавкрафта, в котором вымышленный древний артефакт, известный как «Сияющий трапецоэдр», играет решающую роль.

использованная литература

• Энтони Пью (1976). Многогранники: визуальный подход . Калифорния: Калифорнийский университет Press в Беркли. ISBN 0-520-03056-7. Глава 4: Двойники архимедовых многогранников, призмы и антипризмы
• Спенсер, Леонард Джеймс (1911). «Кристаллография»  . В Чисхолме, Хью (ред.). Британская энциклопедия . 07 (11-е изд.). Издательство Кембриджского университета. С. 569–591.

внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Трапецоэдр» . MathWorld .
• Вайсштейн, Эрик В. «Изоэдр» . MathWorld .
• Многогранники виртуальной реальности Энциклопедия многогранников
  • Модели VRML (Джордж Харт) <3> <4> <5> <6> <7> <8> <9> <10>
  • Обозначение Конвея для многогранников Попробуйте: «dA n », где n = 3,4,5 ... Пример: «dA5» - пятиугольный трапецоэдр.
• Бумажная модель тетрагональный (квадратный) трапецоэдр