Ромбический триаконтаэдр - Rhombic triacontahedron
Ромбический триаконтаэдр | |
---|---|
(Нажмите здесь, чтобы повернуть модель) |
|
Тип | Каталонский твердый |
Диаграмма Кокстера | |
Обозначение Конвея | jD |
Тип лица | V3.5.3.5
ромб |
Лица | 30 |
Края | 60 |
Вершины | 32 |
Вершины по типу | 20 {3} +12 {5} |
Группа симметрии | I h , H 3 , [5,3], (* 532) |
Группа вращения | Я, [5,3] + , (532) |
Двугранный угол | 144 ° |
Характеристики | выпуклый, гранно-транзитивный равногранный , изотоксальный , зоноэдрический |
Икосододекаэдр ( двойственный многогранник ) |
Сеть |
В геометрии , то ромбический триаконтаэдр , иногда называют просто триаконтаэдра как это является наиболее распространенным тридцать лицом полиэдра, является выпуклым многогранником с 30 ромбическими гранями . У него 60 ребер и 32 вершины двух типов. Это Каталонский твердое и двойственный многогранник из икосододекаэдр . Это зоноэдр .
Грань ромбического триаконтаэдра. Длины диагоналей находятся в золотом сечении . |
Отношение длинной диагонали к короткой диагонали каждой грани точно равна с золотым отношением , ф , так что острые углы на каждой грани меры 2 загар -1 ( 1 / φ ) = tan −1 (2) , или приблизительно 63,43 °. Полученный таким образом ромб называется золотым ромбом .
Будучи двойником архимедова твердого тела , ромбический триаконтаэдр является гранно -транзитивным , что означает, что группа симметрии твердого тела транзитивно действует на множестве граней. Это означает, что для любых двух граней, A и B, существует вращение или отражение твердого тела, в результате чего оно занимает одну и ту же область пространства при перемещении грани A к грани B.
Ромбический триаконтаэдр является чем-то особенным, так как он является одним из девяти реберно-транзитивных выпуклых многогранников, остальные - это пять Платоновых тел , кубооктаэдр , икосододекаэдр и ромбический додекаэдр .
Ромбический триаконтаэдр интересен еще и тем, что в его вершинах расположены четыре Платоновых тела. Он содержит десять тетраэдров , пять кубов , икосаэдр и додекаэдр . В центрах граней пять октаэдров .
Его можно сделать из усеченного октаэдра , разделив шестиугольные грани на 3 ромба:
Декартовы координаты
Пусть будет золотое сечение . 12 точек, заданные циклическими перестановками этих координат, являются вершинами правильного икосаэдра . Его дуальный правильный додекаэдр , чьи ребра пересекаются с ребрами икосаэдра под прямым углом, имеет в качестве вершин 8 точек вместе с 12 точками и циклическими перестановками этих координат. Все 32 точки вместе являются вершинами ромбического триаконтаэдра с центром в начале координат. Длина его краев . Его грани имеют диагонали с длинами и .
Размеры
Если длина ребра ромбического триаконтаэдра является , площадь поверхности, объем, то радиус из вписанного шара ( касательная к каждому из граней ромбического триаконтаэдра) , и midradius, которая соприкасается с серединой каждого края является:
где φ - золотое сечение .
Insphere касается граней в их лице центроиду. Короткие диагонали принадлежат только ребрам вписанного правильного додекаэдра, а длинные диагонали включены только ребрам вписанного икосаэдра.
Рассечение
Ромбический триаконтаэдр можно разрезать на 20 золотых ромбоэдров : 10 острых и 10 тупых.
10 | 10 |
---|---|
Острая форма |
Тупая форма |
Ортогональные проекции
Ромбический триаконтаэдр имеет четыре положения симметрии: два с центрами вершин, одну среднюю грань и одну среднюю грань. В проекцию «10» встроены «толстый» ромб и «тощий» ромб, которые соединяются вместе для создания непериодической мозаики, часто называемой мозаикой Пенроуза .
Проективная симметрия |
[2] | [2] | [6] | [10] |
---|---|---|---|---|
Изображение | ||||
Двойное изображение |
Звёздчатые
Ромбический триаконтаэдр имеет 227 полностью опорных звездчатых элементов. Другая звездчатая форма ромбического триаконтаэдра - это соединение пяти октаэдров . Общее количество звёздчатых звёзд ромбического триаконтаэдра составляет 358 833 097.
Связанные многогранники
Семейство однородных икосаэдрических многогранников | |||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|
Симметрия : [5,3] , (* 532) | [5,3] + , (532) | ||||||
{5,3} | т {5,3} | г {5,3} | т {3,5} | {3,5} | рр {5,3} | tr {5,3} | ср {5,3} |
Двойники к однородным многогранникам | |||||||
V5.5.5 | V3.10.10 | V3.5.3.5 | V5.6.6 | V3.3.3.3.3 | V3.4.5.4 | V4.6.10 | V3.3.3.3.5 |
Этот многогранник является частью последовательности ромбических многогранников и мозаик с симметрией [ n , 3] группы Кокстера . Куб можно рассматривать как ромбический шестигранник, в котором ромбы также являются прямоугольниками.
Изменения симметрии двойственных квазирегулярных мозаик: V (3.n) 2 | |||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
* n32 | Сферический | Евклидово | Гиперболический | ||||||||
* 332 | * 432 | * 532 | * 632 | * 732 | * 832 ... | * ∞32 | |||||
Плитка | |||||||||||
Конф. | В (3,3) 2 | В (3,4) 2 | В (3,5) 2 | В (3,6) 2 | В (3,7) 2 | V (3.8) 2 | V (3.∞) 2 |
Ромбический триаконтаэдр с вписанным тетраэдром (красный) и куб (желтый).
(Нажмите здесь, чтобы повернуть модель)Ромбический триаконтаэдр с вписанным додекаэдром (синий) и икосаэдр (фиолетовый).
(Нажмите здесь, чтобы повернуть модель)
6-куб
Ромбический триаконтаэдр образует выпуклую оболочку с 32 вершинами одной проекции 6-куба на три измерения.
Трехмерные базисные векторы [u, v, w]:
|
На рисунке показаны скрытые внутренние края. 20 из 32 внутренних вершин образуют додекаэдр , а остальные 12 образуют икосаэдр . |
Использует
Датский дизайнер Хольгер Стрём использовал ромбический триаконтаэдр в качестве основы для дизайна своей сборной лампы IQ-light (IQ от «Переплетенные четырехугольники»).
Мастерица по дереву Джейн Костик строит коробки в форме ромбического триаконтаэдра. Простая конструкция основана на менее чем очевидной связи между ромбическим триаконтаэдром и кубом.
«Шар ударов» Роджера фон Оха имеет форму ромбического триаконтаэдра.
Ромбический триаконтаэдр используется как тридцатигранный кубик « d30 », иногда полезный в некоторых ролевых играх или других местах.
Кристофер Берд, соавтор «Тайной жизни растений», написал статью для New Age Journal в мае 1975 года, популяризируя двойной икосаэдр и додекаэдр как «кристаллическую структуру Земли», модель «земной (теллурической) энергии». Сетка." Планета EarthStar Globe Билла Беккера и Бете А. Хагенс призвана показать «естественную геометрию Земли и геометрические отношения между священными местами, такими как Великая пирамида, Бермудский треугольник и остров Пасхи». Он напечатан в виде ромбического триаконтаэдра на 30 бриллиантах и складывается в шар.
Смотрите также
Рекомендации
- ^ Стивен Вольфрам , " [1] " из Wolfram Alpha . Проверено 7 января 2013 года.
- ^ [2]
- ^ Разрез ромбического триаконтаэдра
- ^ Pawley, GS (1975). «227 триаконтаэдров». Geometriae Dedicata . Kluwer Academic Publishers. 4 (2–4): 221–232. DOI : 10.1007 / BF00148756 . ISSN 1572-9168 .
- Перейти ↑ Messer, PW (1995). «Звёздчатые формы ромбического триаконтаэдра и за его пределами». Структурная топология . 21 : 25–46.
- ^ Триаконтаэдрическая коробка - ООО «КО Стикс»
- ^ http://www.vortexmaps.com/grid-history.php
- Уильямс, Роберт (1979). Геометрическая основа естественной структуры: первоисточник дизайна . ISBN Dover Publications, Inc. 0-486-23729-X . (Раздел 3-9)
- Веннингер, Магнус (1983), двойные модели , Cambridge University Press , DOI : 10.1017 / CBO9780511569371 , ISBN 978-0-521-54325-5 , Руководство по ремонту 0730208 (Тринадцать полуправильных выпуклых многогранников и их двойники, стр. 22, Ромбический триаконтаэдр)
- Симметрии вещей 2008, Джон Х. Конвей, Хайди Берджел, Хаим Гудман-Страсс, ISBN 978-1-56881-220-5 [3] (Глава 21, Именование архимедовых и каталонских многогранников и мозаик, стр. 285, ромбический триаконтаэдр)
внешняя ссылка
- Эрик В. Вайсштейн , Ромбический триаконтаэдр ( каталонское твердое тело ) в MathWorld .
- Ромбический триаконтраэдр - интерактивная модель многогранника
- Многогранники виртуальной реальности - Энциклопедия многогранников
- Звёздчатые формы ромбического триаконтаэдра.
- Земной шар EarthStar - проекция карты ромбического триаконтаэдра
- IQ-light - лампа датского дизайнера Хольгера Стрёма.
- Сделать свой собственный
- деревянная конструкция коробки из ромбического триаконтаэдра - плотник Джейн Костик
- 120 ромбических триаконтаэдров , 30 + 12 ромбических триаконтаэдров и 12 ромбических триаконтаэдров Шандора Кабая, The Wolfram Demonstrations Project
- Змея, нарисованная на ромбическом триаконтаэдре .