Теория узлов - Knot theory

Примеры различных узлов, включая тривиальный узел (вверху слева) и узел-трилистник (внизу)

Узловая диаграмма узла трилистник, простейший нетривиальный узел

В математической области топологии , теории узлов является изучение математических узлов . Хотя математический узел основан на узлах, которые появляются в повседневной жизни, например, на шнурках и веревке, он отличается тем, что концы соединены так, что его нельзя развязать , простейшим узлом является кольцо (или «развязанный узел») . На математическом языке, узел является вложением из круга в 3-мерном евклидовом пространстве , (в топологии, круг не связан с классической геометрической концепции, но все его гомеоморфизмах ). Два математических узла эквивалентны, если один может быть преобразован в другой посредством деформации самого себя (известной как окружающая изотопия ); эти преобразования соответствуют манипуляциям с завязанной нитью, которые не связаны с ее разрезанием или пропусканием через себя. ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}$

Узлы можно описать по-разному. При использовании разных методов описания одного и того же узла может быть несколько описаний. Например, распространенным методом описания узла является плоская диаграмма, называемая диаграммой узлов, на которой любой узел можно нарисовать множеством различных способов. Следовательно, фундаментальная проблема в теории узлов - определить, когда два описания представляют один и тот же узел.

Существует полное алгоритмическое решение этой проблемы, сложность которого неизвестна . На практике узлы часто различают с помощью инварианта узла , «количества», которое одинаково при вычислении на основе различных описаний узла. Важные инварианты включают узловые многочлены , группы узлов и гиперболические инварианты.

Первоначальной мотивацией основателей теории узлов было создание таблицы узлов и звеньев , которые представляют собой узлы из нескольких компонентов, переплетенных друг с другом. С момента зарождения теории узлов в 19 веке в таблицы было внесено более шести миллиардов узлов и звеньев .

Чтобы глубже понять, математики обобщили концепцию узла несколькими способами. Узлы можно рассматривать в других трехмерных пространствах, и можно использовать объекты, отличные от окружностей; см. узел (математика) . Узлы более высокой размерности - это n -мерные сферы в m -мерном евклидовом пространстве.

История

Сложные кельтские узоры в Келлской книге, которой уже 1200 лет.

Археологи обнаружили, что завязывание узлов восходит к доисторическим временам. Помимо их использования, такого как запись информации и связывание предметов, узлы интересовали людей своей эстетикой и духовным символизмом. Узлы появляются в различных формах китайских произведений искусства, датируемых несколькими столетиями до нашей эры (см. Китайское завязывание узлов ). Бесконечный узел появляется в тибетском буддизме , в то время как кольца Борромео уже неоднократно появлялись в разных культурах, часто представляющие силы в единстве. В кельтские монахи , которые создали Книгу Келлс расточал целые страницы с запутанным кельтской Knotwork .

Первый табулятор узлов, Питер Гатри Тейт

Математическая теория узлов была впервые разработана в 1771 году Александром-Теофилем Вандермондом, который явно отметил важность топологических особенностей при обсуждении свойств узлов, связанных с геометрией положения. Математические исследования узлов начались в 19 веке с Карла Фридриха Гаусса , который определил интеграл зацепления ( Silver 2006 ). В 1860-х годах теория лорда Кельвина о том, что атомы представляют собой узлы в эфире, привела к созданию Питером Гатри Тейтом первых таблиц узлов для полной классификации. В 1885 году Тейт опубликовал таблицу узлов с количеством пересечений до десяти, и то, что стало известно как гипотезы Тейта . Этот отчет мотивировал первых теоретиков узлов, но в конечном итоге теория узлов стала частью возникающей темы топологии .

Эти топологи в начале 20-го века - Макс Ден , Дж. У. Александер и другие - изучали узлы с точки зрения группы узлов и инвариантов из теории гомологии, такой как многочлен Александера . Это был бы основной подход к теории узлов, пока серия открытий не изменила предмет.

В конце 1970-х Уильям Терстон ввел гиперболическую геометрию в изучение узлов с помощью теоремы гиперболизации . Было показано , что многие узлы являются гиперболическими узлами , что позволяет использовать геометрию для определения новых мощных инвариантов узлов . Открытие полиномом Джонса по Vaughan Jones в 1984 году ( Sossinsky 2002 , стр. 71-89), а последующие взносы Виттен , Максим Концевич и другие, показали глубокие связи между теорией узлов и математических методов в статистической механике и квантовой области теория . С тех пор было изобретено множество инвариантов узлов с использованием сложных инструментов, таких как квантовые группы и гомологии Флоера .

В последние несколько десятилетий 20-го века ученые заинтересовались изучением физических узлов , чтобы понять явления образования узлов в ДНК и других полимерах. Теория узлов может использоваться, чтобы определить, является ли молекула хиральной (имеет " хиральность ") или нет ( Simon 1986 ). Путаницы , нити, оба конца которых зафиксированы на месте, эффективно использовались при изучении действия топоизомеразы на ДНК ( Flapan 2000 ). Теория узлов может иметь решающее значение при создании квантовых компьютеров через модель топологических квантовых вычислений ( Collins 2006 ).

Узел эквивалентности

Слева - узелок и аналогичный ему узел. Может быть сложнее определить, эквивалентны ли сложные узлы, такие как тот, что справа, безузловому.

Узел создается , начиная с одно- мерного отрезка, обернув его вокруг себя произвольно, а затем слияние двух ее свободные концы вместе , чтобы сформировать замкнутый контур ( Adams , 2004 ) ( Sossinsky 2002 ). Проще говоря, мы можем сказать, что узел - это «простая замкнутая кривая» или «(замкнутая) жорданова кривая» (см. Кривая ), то есть: «почти» инъективная и непрерывная функция с единственной «неинъективностью» . Топологи считают узлы и другие зацепления, такие как звенья и косы, эквивалентными, если узел можно плавно толкать, не пересекаясь, чтобы он совпал с другим узлом. ${\ displaystyle K}$ ${\ Displaystyle К \ двоеточие [0,1] \ к \ mathbb {R} ^ {3}}$${\ Displaystyle К (0) = К (1)}$

Идея эквивалентности узлов состоит в том, чтобы дать точное определение того, когда два узла следует считать одинаковыми, даже если они расположены в пространстве по-разному. Формальное математическое определение состоит в том, что два узла эквивалентны, если существует сохраняющий ориентацию гомеоморфизм с . ${\ displaystyle K_ {1}, K_ {2}}$ ${\ Displaystyle ч \ двоеточие \ mathbb {R} ^ {3} \ to \ mathbb {R} ^ {3}}$${\ displaystyle h (K_ {1}) = K_ {2}}$

Другой способ определить эквивалентность узлов состоит в том, что два узла эквивалентны, когда существует непрерывное семейство гомеоморфизмов пространства на себя, такое, что последний из них переносит первый узел на второй узел. (Более формально: Два узла и являются эквивалентны , если существует непрерывное отображение таким образом, что а) для каждого отображения взятия , чтобы гомеоморфизм на себя; б) для всех ; и в) . Такая функция известна как окружающая изотопия .) ${\ Displaystyle \ {ч_ {т}: \ mathbb {R} ^ {3} \ rightarrow \ mathbb {R} ^ {3} \ \ mathrm {for} \ 0 \ leq t \ leq 1 \}}$${\ displaystyle K_ {1}}$${\ displaystyle K_ {2}}$${\ Displaystyle H: \ mathbb {R} ^ {3} \ times [0,1] \ rightarrow \ mathbb {R} ^ {3}}$${\ Displaystyle т \ в [0,1]}$${\ Displaystyle х \ в \ mathbb {R} ^ {3}}$${\ Displaystyle Н (х, т) \ в \ mathbb {R} ^ {3}}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}$${\ Displaystyle Н (х, 0) = х}$${\ Displaystyle х \ в \ mathbb {R} ^ {3}}$${\ Displaystyle Н (К_ {1}, 1) = К_ {2}}$${\ displaystyle H}$

Эти два понятия эквивалентности узлов точно соответствуют тому, какие узлы эквивалентны: два узла, эквивалентные в соответствии с определением сохраняющего ориентацию гомеоморфизма, также эквивалентны в соответствии с определением объемлющей изотопии, потому что любые сохраняющие ориентацию гомеоморфизмы узла к себе являются заключительным этапом создания гомеоморфизма. окружающая изотопия, начиная с тождества. Наоборот, два узла, эквивалентные по определению объемлющей изотопии, также эквивалентны по определению сохраняющего ориентацию гомеоморфизма, потому что (конечная) стадия объемлющей изотопии должна быть сохраняющим ориентацию гомеоморфизмом, переносящим один узел на другой. ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}$${\ displaystyle t = 1}$

Основная проблема теории узлов, проблема распознавания , - это определение эквивалентности двух узлов. Существуют алгоритмы для решения этой проблемы, первый из которых был предложен Вольфгангом Хакеном в конце 1960-х годов ( Hass 1998 ). Тем не менее, эти алгоритмы могут занимать очень много времени, и главный вопрос теории - понять, насколько сложна эта проблема на самом деле ( Hass 1998 ). Особый интерес представляет особый случай распознавания развязки , называемый проблемой развязывания ( Hoste 2005 ). В феврале 2021 года Марк Лакенби анонсировал новый алгоритм распознавания узлов, работающий за квазиполиномиальное время .

Схемы узлов

Полезный способ визуализировать узлы и управлять ими - спроецировать узел на плоскость - представьте себе узел, отбрасывающий тень на стену. Небольшое изменение направления проекции гарантирует, что она будет взаимно однозначной, за исключением двойных точек, называемых пересечениями , где «тень» узла пересекает себя один раз в поперечном направлении ( Rolfsen 1976 ). При каждом скрещивании, чтобы можно было воссоздать исходный узел, необходимо отличать верхнюю прядь от нижней. Часто это делается путем создания разрыва пряди, идущей снизу. Результирующая диаграмма представляет собой погруженную плоскую кривую с дополнительными данными о том, какая ветвь закончилась, а какая меньше на каждом пересечении. (Эти диаграммы называются диаграммами узлов, когда они представляют собой узел, и диаграммами связей, когда они представляют связь .) Аналогично, узловые поверхности в 4-м пространстве могут быть связаны с погруженными поверхностями в 3-м пространстве.

Приведенная диаграмма является узел - схемой , в которой нет ни одного восстанавливаемых переходов (также безрезультатных или съемных переездов ), или в которых все приводимых пересечениях были удалены. Лепесток проекция представляет собой тип проекции , в котором, вместо того, чтобы образовывать двойные точки, все нити в узле пересекается в одной точке пересечения, соединенные с ней с помощью петель , образующих невложенных «лепестков».

Рейдемейстер движется

В 1927 году, работая с этой схематической формой узлов, Дж. В. Александер и Гарланд Бэрд Бриггс и независимо Курт Рейдемейстер продемонстрировали, что две диаграммы узлов, принадлежащих одному и тому же узлу, могут быть связаны последовательностью трех видов движений на диаграмме, показанной ниже. . Эти операции, теперь называемые движениями Рейдемейстера , включают:

Рейдемейстер движется

Тип I	Тип II
Тип III

Доказательство того, что диаграммы эквивалентных узлов связаны движениями Рейдемейстера, основывается на анализе того, что происходит при плоской проекции движения, соединяющего один узел с другим. Движение может быть организовано так, что почти все время проекция будет узловой диаграммой, за исключением конечного числа раз, когда происходит «событие» или «катастрофа», например, когда более двух нитей пересекаются в одной точке или несколько нитей. становятся касательными в точке. Внимательное изучение покажет, что сложные события можно исключить, оставив только самые простые события: (1) образование или выпрямление «петли»; (2) две пряди, которые касаются в одной точке и проходят сквозь нее; и (3) три нити, пересекающиеся в одной точке. Это в точности ходы Райдемейстера ( Сосинский, 2002 , глава 3) ( Ликориш, 1997 , глава 1).

Инварианты узлов

Инвариант узла - это «количество», которое одинаково для эквивалентных узлов ( Адамс, 2004 г. ) ( Ликориш, 1997 г. ) ( Рольфсен, 1976 г. ). Например, если инвариант вычисляется из диаграммы узлов, он должен давать одно и то же значение для двух диаграмм узлов, представляющих эквивалентные узлы. Инвариант может принимать одно и то же значение на двух разных узлах, поэтому сам по себе может быть неспособен различить все узлы. Элементарный инвариант - трехцветность .

«Классические» инварианты узлов включают узел группу , которая является фундаментальной группой из узла комплемента , и полином Александра , который можно вычислить из инварианта Александера, модуль , построенный из бесконечной циклической крышки узла дополнения ( Lickorish 1997 ) ( Рольфсен, 1976 ). В конце 20 века были открыты такие инварианты, как полиномы «квантовых» узлов, инварианты Васильева и гиперболические инварианты. Эти вышеупомянутые инварианты - лишь верхушка айсберга современной теории узлов.

Узел многочленов

Многочлен узла - это инвариант узла, который является многочленом . Хорошо известные примеры включают многочлены Джонса и Александера . Вариант многочлена Александера, многочлен Александера – Конвея , представляет собой многочлен от переменной z с целыми коэффициентами ( Lickorish 1997 ).

Полином Александера – Конвея фактически определяется в терминах зацеплений , которые состоят из одного или нескольких узлов, переплетенных друг с другом. Концепции, объясненные выше для узлов, например диаграммы и движения Рейдемейстера, также применимы к связям.

Рассмотрим ориентированную диаграмму ссылок, то есть такую, в которой каждый компонент ссылки имеет предпочтительное направление, указанное стрелкой. Для данного пересечения диаграммы позвольте быть диаграммами ориентированных связей, полученными в результате изменения диаграммы, как показано на рисунке: ${\ displaystyle L _ {+}, L _ {-}, L_ {0}}$

Исходная диаграмма может быть любой или , в зависимости от выбранной конфигурации перекрестка. Тогда полином Александера – Конвея рекурсивно определяется по правилам: ${\ displaystyle L _ {+}}$${\ displaystyle L _ {-}}$${\ displaystyle C (z)}$

• ${\ Displaystyle C (O) = 1}$(где какая-нибудь диаграмма развязки )${\ displaystyle O}$
• ${\ displaystyle C (L _ {+}) = C (L _ {-}) + zC (L_ {0}).}$

Второе правило - это то, что часто называют отношением мотков . Чтобы проверить, что эти правила задают инвариант ориентированного зацепления, следует определить, что многочлен не изменяется при трех движениях Рейдемейстера. Таким образом можно определить многие важные полиномы узлов.

Ниже приводится пример типичного вычисления с использованием отношения мотков. Он вычисляет многочлен Александера – Конвея для узла-трилистника . Желтые пятна указывают, где применяется отношение.

С ( ) =  С ( ) +  z C ( )

дает развязку и ссылку Хопфа . Применяя отношение к ссылке Хопфа, где указано,

С ( ) = С ( ) + z C ( )

дает деформируемое звено с 0 пересечениями (на самом деле это разъединение двух компонентов) и развязкой. Разрыв связи требует некоторой хитрости:

С ( ) = С ( ) + z C ( )

откуда следует, что C (разрыв двух компонентов) = 0, так как первые два многочлена являются несущими и, следовательно, равны.

Сложив все это вместе, вы увидите:

${\ Displaystyle С (\ mathrm {трилистник}) = 1 + z (0 + z) = 1 + z ^ {2}}$

Поскольку многочлен Александера – Конвея является инвариантом узла, это показывает, что трилистник не эквивалентен безузлу. Так что трилистник действительно «завязан узлом».

• 

  Левосторонний узел-трилистник.

• 

  Правосторонний узел-трилистник.

Фактически, есть два узла трилистника, называемые правым и левым трилистником, которые являются зеркальным отображением друг друга (возьмите схему трилистника, приведенную выше, и измените каждое пересечение на другой, чтобы получить зеркальное отображение). Они не эквивалентны друг другу, что означает, что они не амфихиральны. Это было показано Максом Деном до изобретения многочленов узлов, используя теоретико-групповые методы ( Dehn, 1914 ). Но полином Александера – Конвея для каждого вида трилистника будет одинаковым, что можно увидеть, выполнив приведенное выше вычисление с зеркальным отображением. Джонс многочлен может на самом деле различие между левой и правой рукой трилистника узлов ( Lickorish тысяча девятьсот девяносто-семь ).

Гиперболические инварианты

Уильям Терстон доказал, что многие узлы являются гиперболическими узлами , а это означает, что их дополнение (т. Е. Множество точек трехмерного пространства не на узле) допускает геометрическую структуру, в частности, структуру гиперболической геометрии . Гиперболическая структура зависит только от узла, поэтому любая величина, вычисленная на основе гиперболической структуры, является инвариантом узла ( Adams 2004 ).

В Борромео колец являются связующим звеном с тем свойством , что удаление одного кольца отсоединяет другие.

Обзор SnapPea: кольца Борромео дополняют друг друга с точки зрения человека, живущего рядом с красным компонентом.

Геометрия позволяет нам визуализировать, как выглядит внутренняя часть узла или связки, представляя лучи света движущимися по геодезическим геометрии. Примером может служить изображение дополнения колец Борромео . Обитатель этого звена смотрит на пространство рядом с красным компонентом. Шары на картинке - виды на городские кварталы ссылки. Путем стандартного утолщения звена получаются горизонтальные окрестности компонент звена. Несмотря на то, что граница окрестности представляет собой тор, если смотреть изнутри дополнения связей, она выглядит как сфера. Каждый компонент связи отображается как бесконечно много сфер (одного цвета), поскольку существует бесконечно много световых лучей от наблюдателя к компоненту связи. Фундаментальный параллелограмм (который показан на рисунке) разбивает плитку как по вертикали, так и по горизонтали и показывает, как бесконечно расширять узор из сфер.

Этот паттерн, паттерн-горобол, сам по себе является полезным инвариантом. Другие гиперболические инварианты включают форму основного параллелограмма, длину кратчайшей геодезической и объем. Современные методы табуляции узлов и ссылок эффективно использовали эти инварианты. Быстрые компьютеры и умные методы получения этих инвариантов делают вычисление этих инвариантов на практике простой задачей ( Adams, Hildebrand & Weeks, 1991 ).

Высшие измерения

Узел в трех измерениях можно развязать, если поместить его в четырехмерное пространство. Делается это путем смены переходов. Предположим, что одна прядь находится позади другой, если смотреть из выбранной точки. Поднимите его в четвертое измерение, чтобы не было препятствий (передняя прядь не имеет компонентов); затем сдвиньте его вперед и опустите назад, теперь впереди. Аналогия с самолетом - это отрыв веревки от поверхности или удаление точки внутри круга.

Фактически, в четырех измерениях любой непересекающийся замкнутый цикл одномерной струны эквивалентен узлу. Сначала «протолкните» петлю в трехмерное подпространство, что всегда возможно, хотя и технически объяснимо.

Завязывая сферы высшего измерения

Поскольку узел может рассматриваться топологически как 1-мерная сфера, следующее обобщение - рассмотреть двумерную сферу ( ), вложенную в 4-мерное евклидово пространство ( ). Такое вложение является узлом, если не существует гомеоморфизма на себя, переводящего вложенную 2-сферу в стандартное «круглое» вложение 2-сферы. Подвешенные узлы и скрученные узлы - это два типичных семейства таких узлов с двумя сферами. ${\ Displaystyle \ mathbb {S} ^ {2}}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {4}}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {4}}$

Математический метод, называемый «общее положение», подразумевает, что для данной n -сферы в m -мерном евклидовом пространстве, если m достаточно велико (в зависимости от n ), сфера должна быть незаузленной. В общем, кусочно-линейные n -сферы образуют узлы только в ( n  + 2) -мерном пространстве ( Zeeman 1963 ), хотя это больше не является требованием для сфер с гладкими узлами. На самом деле, плавно завязанные -сферы в 6 K - мерном пространстве; например, в ( Haefliger 1962 ) ( Levine 1965 ) есть 3-сфера с гладкими узлами . Таким образом, коразмерность гладкого узла может быть сколь угодно большой, если не фиксировать размер сферы с узлом; однако любая гладкая k- сфера, вложенная в с, не имеет узлов. Понятие узла имеет дальнейшие обобщения в математике, см .: Узел (математика) , изотопическая классификация вложений . ${\ displaystyle (4k-1)}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {6}}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {п}}$${\ displaystyle 2n-3k-3> 0}$

Каждый узел в n -сфере является звеном вещественно-алгебраического множества с изолированной особенностью в ( Akbulut & King, 1981 ). ${\ Displaystyle \ mathbb {S} ^ {п}}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {п + 1}}$

П -knot является единственным встраивается в . П -link состоит из K -copies из встроенных в , где к является натуральным числом . И дела, и дела хорошо изучены, и дело обстоит так. ${\ Displaystyle \ mathbb {S} ^ {п}}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {m}}$${\ Displaystyle \ mathbb {S} ^ {п}}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {m}}$${\ Displaystyle м = п + 2}$${\ displaystyle m> n + 2}$${\ displaystyle n> 1}$

Добавление узлов

Добавление двух узлов

Можно добавить два узла, разрезав оба узла и соединив пары концов. Операция называется суммой узлов , а иногда и связной суммой или композицией двух узлов. Формально это можно определить следующим образом ( Адамс 2004 ): рассмотрим плоскую проекцию каждого узла и предположим, что эти проекции не пересекаются. Найдите прямоугольник на плоскости, в котором одна пара противоположных сторон является дугой вдоль каждого узла, а остальная часть прямоугольника не пересекается с узлами. Сформируйте новый узел, удалив первую пару противоположных сторон и соединив другую пару противоположных сторон. Полученный узел представляет собой сумму исходных узлов. В зависимости от того, как это делается, могут образоваться два разных узла (но не более). Эта неоднозначность в сумме может быть устранена, если узлы ориентированы , т.е. имеющие предпочтительное направление движения вдоль узла, и требовать, чтобы дуги узлов в сумме были ориентированы согласованно с ориентированной границей прямоугольника.

Узловая сумма ориентированных узлов коммутативна и ассоциативна . Узел премьер , если он не является тривиальной и не может быть записана в виде узла суммы двух нетривиальных узлов. Узел, который можно записать в виде такой суммы, является составным . Для узлов существует разложение на простые числа , аналогичные простым и составным числам ( Schubert 1949 ). Для ориентированных узлов это разложение также уникально. Могут быть добавлены и более крупные узлы, но есть некоторые отличия. Хотя вы не можете сформировать узел в трех измерениях, добавив два нетривиальных узла, вы можете сделать это в более высоких измерениях, по крайней мере, если рассматривать гладкие узлы в коразмерности не менее 3.

Табулирование узлов

Таблица простых узлов до семи пересечений. Узлы помечены обозначениями Александера – Бриггса.

Традиционно сучки каталогизируются по количеству пересечений . Таблицы узлов обычно включают только простые узлы и только одну запись для узла и его зеркального отображения (даже если они разные) ( Hoste, Thistlethwaite & Weeks 1998 ). Количество нетривиальных узлов данного числа пересечений быстро увеличивается, что затрудняет вычисление таблиц ( Hoste 2005 , стр. 20). При составлении таблиц удалось насчитать более 6 миллиардов узлов и звеньев ( Hoste 2005 , стр. 28). Последовательность количества простых узлов данного номера перекрестка до перекрестка номер 16 равна 0, 0, 1, 1, 2, 3, 7, 21, 49, 165, 552, 2176, 9988,46 972 , г.253 293 , г.1 388 705 ... (последовательность A002863 в OEIS ). Хотя экспоненциальные верхняя и нижняя границы для этой последовательности известны, не было доказано, что эта последовательность строго возрастает ( Adams 2004 ).

В первых таблицах узлов Тейта, Литтла и Киркмана использовались узловые диаграммы, хотя Тейт также использовал предшественник нотации Даукера . Для узлов были изобретены различные обозначения, которые позволяют более эффективно табулировать их ( Hoste 2005 ).

В ранних таблицах была предпринята попытка перечислить все узлы максимум из 10 пересечений и все чередующиеся узлы из 11 пересечений ( Hoste, Thistlethwaite & Weeks 1998 ). Развитие теории узлов благодаря Александру, Рейдемейстеру, Зейферту и другим облегчило задачу проверки, и таблицы узлов до 9 пересечений включительно были опубликованы Александром-Бриггсом и Рейдемейстером в конце 1920-х годов.

Первая серьезная проверка этой работы была сделана в 1960-х годах Джоном Хортоном Конвеем , который разработал не только новую нотацию, но и многочлен Александера – Конвея ( Conway, 1970 ) ( Doll & Hoste, 1991 ). Это подтвердило список узлов максимум 11 переходов и новый список звеньев до 10 переходов. Конвей обнаружил ряд пропусков, но только одно дублирование в таблицах Тейта – Литтла; однако он пропустил дубликаты, называемые парой Перко , которые были замечены только в 1974 году Кеннетом Перко ( Perko 1974 ). Эта известная ошибка будет распространяться, когда Дейл Рольфсен добавил таблицу узлов в свой влиятельный текст, основанный на работе Конвея. Статья Конвея 1970 года по теории узлов также содержит типографский дубликат на его странице с 11 перекрещивающимися узлами без чередования и опускает 4 примера - 2 из них, ранее перечисленные в старшей диссертации Д. Ломбардеро в Принстоне 1968 года, и еще 2, обнаруженные впоследствии Аленом Кодроном . [см. Перко (1982), Примитивность некоторых узлов, Труды по топологии] Менее известен дубликат в его таблице 10 перекрестных связей: 2.-2.-20.20 является зеркалом 8 * -20: -20. [См. Перко (2016), Исторические моменты нециклической теории узлов, J. Разветвления теории узлов].

В конце 1990-х Хост, Тистлтуэйт и Уикс подсчитали все узлы через 16 пересечений ( Hoste, Thistlethwaite & Weeks 1998 ). В 2003 году Ранкин, Флинт и Шерманн составили таблицу чередующихся узлов через 22 пересечения ( Hoste 2005 ).

Обозначения Александра – Бриггса

Это наиболее традиционное обозначение, благодаря статье Джеймса У. Александера и Гарленда Б. Бриггса 1927 года, а затем расширено Дейлом Рольфсеном в его таблице узлов (см. Изображение выше и Список простых узлов ). Обозначение просто упорядочивает узлы по их числу пересечений. Один записывает номер пересечения с нижним индексом, чтобы обозначить его порядок среди всех узлов с этим номером пересечения. Этот порядок произвольный и поэтому не имеет особого значения (хотя в каждом количестве пересечений скрученный узел идет после торического узла ). Ссылки записываются номером пересечения с верхним индексом для обозначения количества компонентов и нижним индексом для обозначения его порядка в ссылках с одинаковым количеством компонентов и пересечений. Таким образом, узел трилистника обозначен как 3 _1, а звено Хопфа - 2.²
₁. Имена Александра-Бриггса в диапазоне от 10 ₁₆₂ до 10 ₁₆₆ неоднозначны из-за открытия пары Перко в исходной и последующих таблицах узлов Чарльза Ньютона Литтла , а также различий в подходах к исправлению этой ошибки в таблицах узлов и других созданных публикациях. после этого момента.

Обозначение Даукера – Тистлтуэйта

Узловая диаграмма с пересечениями, помеченными для последовательности Даукера

Даукер Thistlethwaite обозначение , которая также называется обозначением Даукер или код, для узла является конечной последовательностью четных чисел. Числа генерируются, следуя за узлом и отмечая перекрестки последовательными целыми числами. Поскольку каждый перекресток посещается дважды, это создает пару четных целых чисел с нечетными целыми числами. Соответствующий знак указывает на пересечение и пересечение. Например, на этом рисунке узловая диаграмма имеет пересечения, помеченные парами (1,6) (3, −12) (5,2) (7,8) (9, −4) и (11, −10). Обозначение Даукера – Тистлтуэйта для этой маркировки - это последовательность: 6, −12, 2, 8, −4, −10. Узловая диаграмма имеет более одной возможной нотации Даукера, и существует хорошо понятная неоднозначность при восстановлении узла из нотации Даукера – Тистлтуэйта.

Обозначение Конвея

Обозначения Conway для узлов и зацеплений, названных в честь Конвей , основано на теории клубков ( Conway 1970 ). Преимущество этого обозначения в том, что оно отражает некоторые свойства узла или звена.

Обозначения описывает, как построить конкретную диаграмму ссылок для ссылки. Начнем с базового многогранника , четырехвалентного связного плоского графа без двуугольных областей. Такой многогранник сначала обозначается числом вершин, а затем числом звездочек, которые определяют положение многогранника в списке основных многогранников. Например, 10 ** обозначает второй многогранник с 10 вершинами в списке Конвея.

Затем в каждую вершину подставляется алгебраический клубок (каждая вершина ориентирована так, что нет произвольного выбора при замене). Каждый такой клубок имеет обозначение, состоящее из цифр и знаков + или -.

Пример: 1 * 2 −3 2. 1 * обозначает единственный базовый многогранник с 1 вершиной. 2 −3 2 - это последовательность, описывающая непрерывную дробь, связанную с рациональным клубком . Вставляем этот клубок в вершину основного многогранника 1 *.

Более сложный пример: 8 * 3.1.2 0.1.1.1.1.1 Здесь снова 8 * относится к базовому многограннику с 8 вершинами. Точки разделяют обозначения для каждого клубка.

Любая ссылка допускает такое описание, и ясно, что это очень компактное обозначение даже для очень большого числа перекрестков. Обычно используются еще несколько сокращений. Последний пример обычно пишется 8 * 3: 2 0, где единицы опускаются и сохраняют количество точек, за исключением точек в конце. Для алгебраического узла, такого как в первом примере, 1 * часто опускается.

В новаторской статье Конвея по этой теме перечислено до 10-вершинных базовых многогранников, которые он использует для табулирования связей, которые стали стандартом для этих связей. Для дальнейшего перечисления многогранников с высшими вершинами доступны нестандартные варианты.

Код Гаусса

Код Гаусса , аналогичный нотации Даукера – Тислтуэйта, представляет собой узел с последовательностью целых чисел. Однако вместо того, чтобы обозначать каждый перекресток двумя разными номерами, перекрестки обозначаются только одним номером. Когда пересечение является пересечением, указывается положительное число. В андеркроссинге - отрицательное число. Например, узел трилистника в коде Гаусса может быть задан как: 1, −2,3, −1,2, −3

Код Гаусса ограничен в своей способности идентифицировать узлы. Эта проблема частично решается с помощью расширенного кода Гаусса .

Смотрите также

• Топология схемы
• Контактная геометрия # Лежандровые подмногообразия и узлы
• Узлы и графики
• Список тем теории узлов
• Молекулярный узел
• Квантовая топология
• Теория ленты
• Галстук § Виды узла

использованная литература

Источники

• Адамс, Колин (2004), Книга узлов: элементарное введение в математическую теорию узлов , Американское математическое общество , ISBN 978-0-8218-3678-1
• Адамс, Колин ; Кроуфорд, Томас; ДеМео, Бенджамин; Лэндри, Майкл; Лин, Алекс Тонг; Монти, Мерфи Кейт; Пак, Сочжон; Венкатеш, Сарасвати; Yhee, Фарра (2015), "Узел проекции с одной мульти-пересечения", Журнал теории узлов и его разветвлений , 24 (3): 1550011, 30, Arxiv : 1208,5742 , DOI : 10,1142 / S021821651550011X , МР  3342136
• Адамс, Колин; Хильдебранд, Мартин; Недели, Джеффри (1991), "гиперболические инварианты узлов и связей", Труды Американского математического общества , 326 (1): 1-56, дой : 10,1090 / s0002-9947-1991-0994161-2 , JSTOR  2001854
• Акбулут, Сельман ; Кинг, Генри К. (1981), «Все узлы алгебраические», Comm. Математика. Helv. , 56 (3): 339-351, DOI : 10.1007 / BF02566217
• Бар-Натан, Дрор (1995), "О Васильевым инвариантов узлов", Топология , 34 (2): 423-472, DOI : 10,1016 / 0040-9383 (95) 93237-2
• Коллинз, Грэм (апрель 2006 г.), «Вычисления с помощью квантовых узлов», Scientific American , 294 (4), стр. 56–63, Bibcode : 2006SciAm.294d..56C , doi : 10.1038 / scientificamerican0406-56
• Ден, Макс (1914), "Die beiden Kleeblattschlingen", Mathematische Annalen , 75 : 402–413
• Конвей, Джон Хортон (1970), "Перечисление узлов и зацеплений и некоторые их алгебраические свойства", Вычислительные проблемы абстрактной алгебры , Пергамон, стр. 329–358, ISBN 978-0080129754, OCLC  322649
• Кукла, Гельмут; Хост, Джим (1991), "Таблица ориентированных ссылок. С дополнением к микрофишам", Math. Комп. , 57 (196): 747-761, Bibcode : 1991MaCom..57..747D , DOI : 10,1090 / S0025-5718-1991-1094946-4
• Флапан, Эрика (2000), Когда топология встречается с химией: топологический взгляд на молекулярную хиральность , Outlook, Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-66254-3
• Хефлигер, Андре (1962), "Knotted (4 к  - 1) -мерные сферы в 6 K -пространства", Анналы математики , вторая серия 75 (3): 452-466, DOI : 10,2307 / 1970208 , JSTOR  1970208
• Хасс, Джоэл (1998), "Алгоритмы распознавания узлов и 3-многообразий", Хаос, солитоны и фракталы , 9 (4–5): 569–581, arXiv : math / 9712269 , Bibcode : 1998CSF ..... 9 ..569H , DOI : 10.1016 / S0960-0779 (97) 00109-4
• Хост, Джим; Thistlethwaite, Морвен ; Weeks, Джеффри (1998), «Первые 1,701,935 узлов», Math. Intelligencer , 20 (4): 33–48, DOI : 10.1007 / BF03025227
• Хост, Джим (2005), «Перечисление и классификация узлов и звеньев», Справочник по теории узлов (PDF) , Амстердам: Elsevier
• Levine, Джером (1965), "Классификация дифференцируемых узлов", Анналы математики , вторая серия, 1982 (1): 15-50, DOI : 10,2307 / 1970561 , JSTOR  1970561
• Концевич, Максим (1993), "Узловые инварианты Васильева", Семинар И.М. Гельфанда, Adv. Советская математика. , 2, Providence, RI: Американское математическое общество, 16 : 137-150, DOI : 10,1090 / advsov / 016,2 / 04 , ISBN 9780821841174
• Lickorish, WB Raymond (1997), Введение в теорию узлов , Тексты для выпускников по математике, Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-98254-0
• Perko, Кеннет (1974), "О классификации узлов", Труды Американского математического общества , 45 (2): 262-6, DOI : 10,2307 / 2040074 , JSTOR  2040074
• Рольфсен, Дейл (1976), Узлы и ссылки , Серия лекций по математике, 7 , Беркли, Калифорния : Опубликовать или погибнуть, ISBN 978-0-914098-16-4, MR  0515288
• Шуберт, Хорст (1949), "Die eindeutige Zerlegbarkeit eines Knotens in Primknoten", Heidelberger Akad. Wiss. Math.-Nat. Kl. (3): 57–104
• Серебро, Дан (2006), "нечетные истоки теории узлов в" (PDF) , американский ученый , 94 (2), стр 158-165,. Дои : 10,1511 / 2006.2.158
• Саймон, Джонатан (1986), "Топологическая хиральность некоторых молекул", Топология , 25 (2): 229-235, DOI : 10,1016 / 0040-9383 (86) 90041-8
• Сосинский, Алексей (2002), Узлы, математика с изюминкой , Издательство Гарвардского университета, ISBN 978-0-674-00944-8
• Тураев, В.Г. (1994), "Квантовые инварианты узлов и трехмерных многообразий" , Исследования Де Грюйтера по математике , Берлин: Walter de Gruyter & Co., 18 , arXiv : hep-th / 9409028 , ISBN 978-3-11-013704-0
• Вайсштейн, Эрик В. (2013). «Схема редуцированного узла» . MathWorld . Вольфрам . Проверено 8 мая 2013 года .
• Вайсштейн, Эрик В. (2013a). «Редуцируемый переход» . MathWorld . Вольфрам . Проверено 8 мая 2013 года .
• Виттен, Эдвард (1989), "Квантовая теория поля и многочлен Джонса", Comm. Математика. Phys. , 121 (3): 351-399, Bibcode : 1989CMaPh.121..351W , DOI : 10.1007 / BF01217730
• Зеемановские, КИ (1963), "незаузленность комбинаторных шариков", Анналы математики , вторая серия 78 (3): 501-526, DOI : 10,2307 / 1970538 , JSTOR  1970538

Сноски

дальнейшее чтение

Вводные учебники

Есть несколько вводных статей в теорию узлов. Классическое введение для аспирантов и студентов старших курсов ( Рольфсен, 1976 ). Другие хорошие тексты из ссылок: ( Adams 2001 ) и ( Lickorish 1997 ). Адамс неформален и доступен по большей части для старшеклассников. Lickorish - это строгий вводный курс для аспирантов, охватывающий хорошее сочетание классических и современных тем. ошибка harv: цель отсутствует: CITEREFAdams2001 ( справка )

• Бурде, Герхард ; Цишанг, Хайнер (1985), Knots , De Gruyter Studies in Mathematics, 5 , Walter de Gruyter, ISBN 978-3-11-008675-1
• Кроуэлл, Ричард Х .; Фокс, Ральф (1977). Введение в теорию узлов . ISBN 978-0-387-90272-2.
• Кауфман, Луи Х. (1987), На узлах , ISBN 978-0-691-08435-0
• Кауфман, Луи Х. (2013), Узлы и физика (4-е изд.), World Scientific, ISBN 978-981-4383-00-4

Обзоры

• Menasco, Уильям В .; Thistlethwaite, Morwen , ред. (2005), Справочник по теории узлов , Elsevier, ISBN 978-0-444-51452-3
  • В справочнике Menasco и Thistlethwaite изучается набор тем, имеющих отношение к текущим исследовательским тенденциям, доступным для продвинутых студентов, но представляющим интерес для профессиональных исследователей.
• Ливио, Марио (2009), "Глава 8: Неоправданная эффективность?" , Бог - математик? , Simon & Schuster, стр. 203–218, ISBN 978-0-7432-9405-8

внешние ссылки

• «Математика и узлы» Это онлайн-версия выставки, разработанной для Королевского общества 1989 года «PopMath RoadShow». Его цель состояла в том, чтобы использовать узлы для представления методов математики широкой публике.

История

• Томсон, сэр Уильям (1867), «О вихревых атомах» , Труды Королевского общества Эдинбурга , VI : 94–105
• Silliman, Роберт Х. (декабрь 1963), "Уильям Томсон: колечки дыма и девятнадцатый век атомизм", Isis , 54 (4): 461-474, DOI : 10,1086 / 349764 , JSTOR  228151
• Фильм современного воссоздания эксперимента Тейта с кольцом дыма
• История теории узлов (на домашней странице Эндрю Раницки )

Узловые столы и программное обеспечение

• KnotInfo : таблица инвариантов узлов и ресурсы теории узлов
• Атлас узлов - подробная информация об отдельных узлах в таблицах узлов
• KnotPlot - программа для исследования геометрических свойств узлов
• Knotscape - программа для создания изображений узлов
• Knoutilus - онлайн база данных и генератор изображений узлов
• KnotData.html - функция Wolfram Mathematica для исследования узлов