Контактная геометрия - Contact geometry

Стандартная структура контактов на R 3 . Каждая точка в R 3 имеет плоскость, связанную с ней контактной структурой, в данном случае как ядро ​​одной формы d z - y d x . Эти плоскости, кажется, закручиваются по оси y .

В математике , контактная геометрия является изучением геометрической структуры на гладких многообразий , заданных гиперплоскость распределения в касательном расслоении , удовлетворяющий условию называется «полная неинтегрируемость». Эквивалентно такое распределение может быть задано (по крайней мере, локально) как ядро ​​дифференциальной одной формы, а условие неинтегрируемости преобразуется в условие максимальной невырожденности формы. Эти условия противоположны двум эквивалентным условиям « полной интегрируемости » гиперплоского распределения, т. Е. Того, что оно касается слоения коразмерности один на многообразии, эквивалентность которого является содержаниемТеорема Фробениуса .

Контактная геометрия во многих отношениях является нечетномерным аналогом симплектической геометрии , структурой на некоторых четномерных многообразиях. Как контактная, так и симплектическая геометрия мотивированы математическим формализмом классической механики , где можно рассматривать либо четномерное фазовое пространство механической системы, либо гиперповерхность постоянной энергии, которая, будучи коразмерностью один, имеет нечетную размерность.

Приложения

Как и симплектическая геометрия, контактная геометрия имеет широкое применение в физике , например, в геометрической оптике , классической механике , термодинамике , геометрическом квантовании , интегрируемых системах и в теории управления . Контактная геометрия также имеет приложения к топологии малой размерности ; например, она была использована Kronheimer и Mrówka доказать P гипотезу собственности , по Михаэлю Хатчингсу определить инвариант гладких трехмерных многообразий, а Lenhard Ng для определения инвариантов узлов. Он также использовался Яковом Элиашбергом для получения топологической характеристики многообразий Штейна размерности не менее шести.

Контактные формы и структуры

Контактная структура на многообразии нечетной размерности - это гладко меняющееся семейство подпространств коразмерности один каждого касательного пространства многообразия, удовлетворяющее условию неинтегрируемости. Семейство можно описать как часть связки следующим образом:

Учитывая п -мерного гладкого многообразия М , и точка рM , A контактного элементом из M с контактной точкой р является ( п  - 1) -мерное линейным подпространством в касательном пространстве к М в р . Контактный элемент может быть задан ядром линейной функции на касательном пространстве к M в точке p . Однако, если подпространство задается ядром линейной функции ω, то оно также будет задано нулями функции λω, где λ ≠ 0 - любое ненулевое действительное число. Таким образом, все ядра {λω: λ ≠ 0} дают один и тот же контактный элемент. Отсюда следует, что пространство всех контактных элементов M можно отождествить с фактором кокасательного расслоения T * M (без нулевого сечения ), а именно:

Контактная структура на нечетном мерном многообразии М , размерности 2 к + 1 , является гладким распределением контактных элементов, обозначаемых через £, который является общим в каждой точке. Условие общности состоит в том, что ξ не интегрируем .

Предположим, что у нас есть гладкое распределение контактных элементов ξ, локально заданное дифференциальной 1-формой α; т.е. гладкий участок котангенсного пучка. Условие неинтегрируемости можно явно задать в виде:

Заметим, что если ξ задается дифференциальной 1-формой α, то такое же распределение локально задается формулой β = ƒ⋅α , где ƒ - ненулевая гладкая функция . Если ξ коориентируем, то α определено глобально.

Характеристики

Из теоремы Фробениуса об интегрируемости следует, что контактное поле ξ полностью неинтегрируемо . Это свойство контактного поля примерно противоположное быть полем , образованное касательными плоскостями к семейству неперекрывающейся гиперповерхности в М . В частности, вы не можете найти гиперповерхность в M , касательные пространства которой совпадают с ξ, даже локально. На самом деле не существует подмногообразия размерности больше k , касательные пространства которого лежат в ξ.

Связь с симплектическими структурами

Следствием определения является то, что ограничение 2-формы ω  =  d α на гиперплоскость в ξ является невырожденной 2-формой. Эта конструкция обеспечивает любое контактное многообразие М с естественным симплектическим расслоением ранга один меньше , чем размерность М . Обратите внимание, что симплектическое векторное пространство всегда четномерно, а контактные многообразия должны быть нечетномерными.

Кокасательное расслоение T * N любого п - мерного многообразия N само многообразие (размерности 2 п ) и поддерживает естественно точное симплектическая структура ω = d λ. (Эту 1-форму λ иногда называют формой Лиувилля ). Есть несколько способов построить ассоциированное контактное многообразие, некоторые из которых имеют размерность 2 n  - 1, некоторые - размерности 2 n  + 1.

Проективизация

Пусть М будет проективизацией кокасательного расслоения N : таким образом , М является расслоением над N , слой которого в точке х является пространством линий в T * N , или, что то же самое, пространство гиперплоскостей в T N . 1-форма λ не опускается к подлинному 1-формы на М . Тем не менее, она однородна степень 1, и поэтому она определяет 1-форму со значениями в линейном расслоении O (1), который является сопряженным к послойно тавтологической линии пучка М . Ядро этой 1-формы определяет распределение контактов.

Энергетические поверхности

Предположим, что H - гладкая функция на T * N , что E - регулярное значение для H , так что множество уровня является гладким подмногообразием коразмерности 1. Векторное поле Y называется векторным полем Эйлера (или Лиувилля), если оно трансверсально L и конформно симплектическими, а это означает , что производная Ли д Х относительно Y является кратным г Х в окрестности L .

Тогда ограничение на L является контактной формой на L .

Эта конструкция берет свое начало в гамильтоновой механике , где H - гамильтониан механической системы с конфигурационным пространством N и фазовым пространством T * N , а E - значение энергии.

Единичный котангенсный пучок

Выберите риманову метрику на многообразии N и пусть H будет ассоциированной кинетической энергией. Тогда множество уровня Н = 1/2 представляет собой блок кокасательное расслоение из N , гладкое многообразие размерности 2 п -1 расслоению над N с волокнами быть сферами. Тогда форма Лиувилля, ограниченная на единичное кокасательное расслоение, является контактной структурой. Это соответствует частному случаю второй конструкции, где поток векторного поля Эйлера Y соответствует линейному масштабированию импульсов p, оставляя q неизменными. Векторное поле R , определяется равенства

λ ( R ) = 1 и d λ ( RA ) = 0 для всех векторных полей A ,

называется векторным полем Риба , и оно порождает геодезический поток римановой метрики. Точнее, используя риманову метрику, можно отождествить каждую точку кокасательного расслоения к N с точкой касательного расслоения к N , и тогда значение R в этой точке (единичного) кокасательного расслоения будет соответствующим (единичным ) вектор , параллельный N .

Первая струйная связка

С другой стороны, можно построить коллектор контакта М размерности 2 п  + 1, рассматривая первый реактивный пучок из действительных функций на N . Это расслоение изоморфно T * N × R, используя внешнюю производную функции. С координатами ( xt ) M имеет контактную структуру

  1. α = dt + λ.

Наоборот, для любого контактного многообразия M произведение M × R имеет естественную структуру симплектического многообразия. Если α - контактная форма на M , то

ω = d ( e t α)

является симплектической формой на M × R , где t обозначает переменную в R -направлении. Это новое многообразие называется симплектизация (иногда симплектизациями в литературе) контактное многообразие M .

Примеры

В качестве яркого примера рассмотрим R 3 , наделенный координатами ( x , y , z ) и одну форму dz - y dx . Плоскость контакта ξ в точке ( x , y , z ) натянута на векторы X 1 = y и X 2 = x + y z .

Заменив одиночные переменные x и y на многомерные x 1 , ...,  x n , y 1 , ...,  y n , можно обобщить этот пример на любой R 2 n +1 . По теореме Дарбу каждая контактная структура на многообразии локально выглядит как эта конкретная контактная структура на (2 n  + 1) -мерном векторном пространстве.

Важный класс контактных многообразий составляют сасакиевы многообразия .

Лежандровые подмногообразия и узлы

Наиболее интересными подпространствами контактного многообразия являются его лежандровые подмногообразия. Неинтегрируемость контактного гиперплоского поля на (2 n  + 1) -мерном многообразии означает, что никакое 2 n -мерное подмногообразие не имеет его в качестве касательного расслоения, даже локально. Однако в общем случае можно найти n-мерные (вложенные или погруженные) подмногообразия, касательные пространства которых лежат внутри контактного поля: они называются лежандровыми подмногообразиями .

Лежандровые подмногообразия аналогичны лагранжевым подмногообразиям симплектических многообразий. Имеется точное соотношение: подъем лежандрова подмногообразия в симплектизации контактного многообразия является лагранжевым подмногообразием.

Простейшим примером лежандровых подмногообразий являются лежандрова узлы внутри контактного трехмерного многообразия. Неэквивалентные лежандровые узлы могут быть эквивалентны гладким узлам; то есть есть узлы, которые являются гладко изотопными, где изотопия не может быть выбрана как путь лежандровых узлов.

Лежандровые подмногообразия - очень жесткие объекты; обычно существует бесконечно много лежандровых изотопических классов вложений, которые все гладко изотопны. Симплектическая теория поля предоставляет инварианты лежандровых подмногообразий, называемых относительными контактными гомологиями, которые иногда могут различать различные лежандрова подмногообразия, которые топологически идентичны (т. Е. Гладко изотопны).

Векторное поле Риба

Если α - контактная форма для данной контактной структуры, векторное поле Риба R можно определить как единственный элемент (одномерного) ядра dα, такой что α ( R ) = 1. Если контактное многообразие возникает как гиперповерхность постоянной энергии внутри симплектического многообразия, то векторное поле Риба является ограничением на подмногообразие гамильтонова векторного поля, связанного с функцией энергии. (Ограничение дает векторное поле на контактной гиперповерхности, поскольку гамильтоново векторное поле сохраняет уровни энергии.)

Динамика поля Риба может использоваться для изучения структуры контактного многообразия или даже лежащего в основе многообразия с использованием методов гомологии Флора, таких как симплектическая теория поля и, в трех измерениях, вложенных контактных гомологий . Различные контактные формы, ядра которых дают одинаковую контактную структуру, будут давать разные векторные поля Риба, динамика которых, как правило, очень разная. Различные разновидности контактных гомологий априори зависят от выбора контактной формы и строят алгебраические структуры замкнутых траекторий своих векторных полей Риба; однако эти алгебраические структуры оказываются независимыми от контактной формы, т. е. они являются инвариантами основной контактной структуры, так что, в конце концов, контактная форма может рассматриваться как вспомогательный выбор. В случае вложенных контактных гомологий получается инвариант лежащего в основе трехмерного многообразия, т. Е. Вложенные контактные гомологии не зависят от контактной структуры; это позволяет получить результаты, справедливые для любого векторного поля Риба на многообразии.

Поле Риб названо в честь Жоржа Риба .

Некоторые исторические замечания

Корни контактной геометрии появляются в работах Христиана Гюйгенса , Исаака Барроу и Исаака Ньютона . Теория контактных преобразований (т.е. преобразований, сохраняющих контактную структуру) была разработана Софусом Ли с двойными целями изучения дифференциальных уравнений (например, преобразование Лежандра или каноническое преобразование ) и описания «изменения элемента пространства», знакомого по проективной двойственности. .

Смотрите также

использованная литература

Введение в контактную геометрию

Приложения к дифференциальным уравнениям

  • Арнольд В.И. (1988). Геометрические методы в теории обыкновенных дифференциальных уравнений . Springer-Verlag. ISBN 0-387-96649-8.

Контактные трехмерные многообразия и лежандровые узлы

Информация по истории контактной геометрии

внешние ссылки