Хиральный узел - Chiral knot
В математической области теории узлов , киральный узел является узлом , который не эквивалентен своим зеркальным изображения (при тождественно , а в обратном порядке ). Ориентированный узел, эквивалентный своему зеркальному отображению, называется амфихиральным узлом , также называемым ахиральным узлом . Хиральность сучка является инвариантом узла . Хиральность узла может быть дополнительно классифицирована в зависимости от того, является ли он обратимым .
Существует всего пять типов узловой симметрии, на которые указывает хиральность и обратимость: полностью хиральная, обратимая, положительно амфихиральная необратимая, отрицательно амфихиральная необратимая и полностью амфихиральная обратимая.
Задний план
Долгое время подозревали хиральность некоторых узлов, и это было доказано Максом Деном в 1914 году. П.Г. Тейт предположил, что все амфихиральные узлы имеют четное число пересечений , но контрпример был найден Морвен Тистлтуэйт и др. в 1998 г. Тем не менее, гипотеза Тэты была доказана верно для простых , чередующихся узлов .
| Количество переходов | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | Последовательность OEIS |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Хиральные узлы | 1 | 0 | 2 | 2 | 7 | 16 | 49 | 152 | 552 | 2118 | 9988 | 46698 | 253292 | 1387166 | N / A |
| Обратимые узлы | 1 | 0 | 2 | 2 | 7 | 16 | 47 | 125 | 365 | 1015 | 3069 | 8813 | 26712 | 78717 | A051769 |
| Полностью хиральные узлы | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 2 | 27 | 187 | 1103 | 6919 | 37885 | 226580 | 1308449 | A051766 |
| Амфихиральные узлы | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 5 | 0 | 13 | 0 | 58 | 0 | 274 | 1 | 1539 | A052401 |
| Положительные амфихиральные необратимые узлы | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 6 | 0 | 65 | A051767 |
| Отрицательные амфихиральные необратимые узлы | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 6 | 0 | 40 | 0 | 227 | 1 | 1361 | A051768 |
| Полностью амфихиральные узлы | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 4 | 0 | 7 | 0 | 17 | 0 | 41 год | 0 | 113 | A052400 |
- Оба возможных узла трилистника .
Левосторонний узел-трилистник.
Правосторонний узел-трилистник.
Простейшим хиральным узлом является узел- трилистник , хиральность которого показал Макс Ден . Все нетривиальные торические узлы киральны. Многочлен Александера не может отличить узел от его зеркального изображения, но полином Джонса может быть в некоторых случаях; если V k ( q ) ≠ V k ( q −1 ), то узел киральный, однако обратное неверно. HOMFLY полином еще лучше при обнаружении хиральности, но нет никакого известного многочлена инварианта узла , который может полностью обнаружить хиральности.
Двусторонний узел
Обратимый киральный узел классифицируется как обратимый узел. Примеры включают узел трилистника.
Полностью хиральный узел
Если узел не эквивалентен своему обратному или зеркальному отображению, это полностью хиральный узел, например узел 9 32 .
Амфихиральный узел
Amphichiral узел один , который имеет ориентацию -reversing само- гомеоморфизм из 3-сферы , а, фиксируя узел набора-накрест. Все чередующиеся амфихиральные узлы имеют четное число пересечений . Первый амфихиральный узел с нечетным числом пересечений - это узел с 15 пересечениями, обнаруженный Hoste et al.
Полностью амфихиральный
Если узел изотопен как для своего обратного, так и для зеркального отображения, он полностью амфихирален. Самый простой узел, обладающий этим свойством, - это узел в форме восьмерки .
Положительный амфихирал
Если самогомеоморфизм α сохраняет ориентацию узла, он называется положительным амфихиральным. Это эквивалентно тому, что узел изотопен своему зеркалу. Узлы с числом пересечений меньше двенадцати не являются положительными амфихиральными и необратимыми.
Отрицательный амфихирал
Если самогомеоморфизм α меняет ориентацию узла, он называется отрицательным амфихиральным. Это эквивалентно тому, что узел изотопен по отношению к своему зеркальному отображению. Необратимым узлом с этим свойством, имеющим наименьшее количество пересечений, является узел 8 17 .