Узел-трилистник - Trefoil knot

Трилистник
Распространенное имя	Узел сверху
Инвариант Arf	1
Длина тесьмы	3
Тесьма нет.	2
Мост нет.	2
Кросс-колпачок нет.	1
Переход нет.	3
Род	1
Гиперболический объем	0
Палка нет.	6
Туннель №	1
Распутывания нет.	1
Обозначение Конвея	[3]
Обозначения A – B	3 1
Обозначение Даукера	4, 6, 2
Последний / следующий	0 1 /  4 1
Другой
чередующийся , тор , расслоенный , крендель , праймер , без срезов , обратимый , трехкратный , твист

В теории узлов , ветвь математики , то трилистник является простейшим примером нетривиального узла . Трилистник можно получить, соединив два свободных конца обычного верхнего узла , в результате чего получится узловая петля . Как простейший узел, трилистник играет важную роль в изучении математической теории узлов.

Узел-трилистник назван в честь растения трехлистный клевер (или трилистник).

Описания

Узел-трилистник можно определить как кривую, полученную из следующих параметрических уравнений :

${\ Displaystyle х = \ грех t + 2 \ грех 2t}$

${\ Displaystyle у = \ соз т-2 \ соз 2т}$

${\ displaystyle z = - \ sin 3t}$

(2,3) -торный узел также является узлом-трилистником. Следующие параметрические уравнения дают (2,3) -торный узел, лежащий на торе : ${\ Displaystyle (г-2) ^ {2} + г ^ {2} = 1}$

${\ Displaystyle х = (2+ \ соз 3t) \ соз 2t}$

${\ Displaystyle у = (2+ \ соз 3т) \ грех 2т}$

${\ Displaystyle Z = \ грех 3t}$

Любая непрерывная деформация кривой выше также считается узлом-трилистником. В частности, любая кривая, изотопная узлу-трилистнику, также считается трилистником. Кроме того, трилистником считается зеркальное отображение узла-трилистника. В топологии и теории узлов трилистник обычно определяется с помощью диаграммы узлов вместо явного параметрического уравнения.

В алгебраической геометрии трилистник также может быть получен как пересечение в C ² единичной 3-сферы S ³ с комплексной плоской кривой нулей комплексного многочлена z ²  +  w ³ ( куспидальная кубика ).

Если один конец ленты или ремня трижды перевернуть, а затем приклеить к другому, край образует узел-трилистник.

Симметрия

Узел-трилистник является хиральным в том смысле, что узел-трилистник можно отличить от его собственного зеркального отражения. Два результирующих варианта известны как левый трилистник и правый трилистник . Невозможно непрерывно деформировать левый трилистник в правый трилистник или наоборот. (То есть два трилистника не являются окружающими изотопами.)

Несмотря на хиральность, узел трилистника также обратим, что означает, что нет различия между трилистником, ориентированным против часовой стрелки, и ориентированным по часовой стрелке. То есть хиральность трилистника зависит только от верхнего и нижнего пересечения, а не от ориентации кривой.

Нетривиальность

Узел-трилистник нетривиален, это означает, что невозможно «развязать» узел-трилистник в трех измерениях, не разрезая его. Математически это означает , что трилистник не является изотопным тривиальным . В частности, нет последовательности движений Рейдемейстера , которая развязала бы трилистник.

Доказательство этого требует построения инварианта узла, который отличает трилистник от узла. Самый простой такой инвариант - это трехцветность : трилистник трехцветный, а узел - нет. Кроме того, практически каждый основной многочлен узла отличает трилистник от узла, как и большинство других сильных инвариантов узлов.

Классификация

В теории узлов трилистник - это первый нетривиальный узел и единственный узел с пересечением номер три. Это простой узел , обозначенный как 3 ₁ в системе обозначений Александера-Бриггса . Обозначения Даукер для трилистника составляет 4 6 2, а обозначение Конвей является [3].

Трилистник можно описать как (2,3) -торный узел . Это также узел, полученный заплетением косы σ ₁ ³ .

Трилистник - это чередующийся узел . Однако это не срезанный узел , то есть он не ограничивает гладкий 2-мерный диск в 4-мерном шаре; один из способов доказать это - заметить, что его сигнатура не равна нулю. Другое доказательство состоит в том, что его многочлен Александера не удовлетворяет условию Фокса-Милнора .

Трилистник является расслоенным узлом , а это означает , что его дополнение в это расслоение над кругом . Трилистника К можно рассматривать как совокупность пар из комплексных чисел , таких , что и . Тогда это расслоение имеет отображение Милнора как проекцию расслоения узла \ K на окружность . Слой представляет собой тор с однократным проколом . Поскольку дополнение к узлу также является расслоением Зейферта с краем, оно имеет горизонтальную несжимаемую поверхность - это также слой отображения Милнора . (Предполагается, что узел был утолщен, чтобы стать полноторием N _ε ( K ), и что внутренность этого полнотория была удалена, чтобы создать компактное дополнение узла \ int (N _ε ( K )).) ${\ Displaystyle S ^ {3}}$ ${\ Displaystyle S ^ {1}}$${\ Displaystyle (г, ш)}$${\ Displaystyle | г | ^ {2} + | ш | ^ {2} = 1}$${\ displaystyle z ^ {2} + w ^ {3} = 0}$ ${\ displaystyle \ phi (z, w) = (z ^ {2} + w ^ {3}) / | z ^ {2} + w ^ {3} |}$${\ Displaystyle S ^ {3}}$${\ Displaystyle S ^ {1}}$${\ Displaystyle S ^ {3}}$

Инварианты

Многочлен Александера из трилистника является

${\ Displaystyle \ Delta (т) = т-1 + т ^ {- 1}, \,}$

а многочлен Конвея равен

${\ Displaystyle \ набла (г) = г ^ {2} +1.}$

Полином Джонса является

${\ Displaystyle V (q) = q ^ {- 1} + q ^ {- 3} -q ^ {- 4}, \,}$

а полином Кауфмана трилистника равен

${\ Displaystyle L (a, z) = za ^ {5} + z ^ {2} a ^ {4} -a ^ {4} + za ^ {3} + z ^ {2} a ^ {2} - 2a ^ {2}. \,}$

HOMFLY многочлен трилистника является

${\ Displaystyle L (\ альфа, z) = - \ альфа ^ {4} + \ альфа ^ {2} z ^ {2} +2 \ альфа ^ {2}. \,}$

Группа узла трилистника дается представление

${\ displaystyle \ langle x, y \ mid x ^ {2} = y ^ {3} \ rangle \,}$

или эквивалентно

${\ displaystyle \ langle x, y \ mid xyx = yxy \ rangle. \,}$

Эта группа изоморфна группе кос с тремя прядями.

В религии и культуре

Как простейший нетривиальный узел, трилистник - распространенный мотив в иконографии и изобразительном искусстве . Например, распространенной формой символа трикетры является трилистник, как и некоторые версии германского валькнута .

В современном искусстве на гравюре М. С. Эшера « Узлы » изображены три узла-трилистника, твердые формы которых скручены по-разному.

Смотрите также

• Ссылка на крендель
• Узел восьмерка (математика)
• Символ Triquetra
• Лапчатка узелок
• Гордиев узел

использованная литература

внешние ссылки

• Вольфрамальфа: (2,3) -торный узел
• Узел-трилистник 3d модель