Ход Рейдемейстера - Reidemeister move

Рейдемейстер движется

Тип I	Тип II	Тип III

Модифицированный ход Рейдемейстера

Тип I '

В математической области теории узлов , ход Райдемейстер является одним из трех местных движений на диаграмме связи . Курт Рейдемейстер  ( 1927 ) и независимо друг от друга Джеймс Уодделл Александр и Гарланд Бэрд Бриггс  ( 1926 ) продемонстрировали, что две диаграммы узлов, принадлежащие одному и тому же узлу, с точностью до плоской изотопии , могут быть связаны последовательностью трех движений Рейдемейстера.

Каждый ход работает в небольшой области диаграммы и может быть одного из трех типов:

Никакая другая часть диаграммы не участвует в картине движения, и плоская изотопия может исказить картину. Нумерация типов ходов соответствует тому, сколько нитей задействовано, например, движение типа II действует на двух нитях диаграммы.

Один важный контекст, в котором появляются движения Рейдемейстера, - это определение инвариантов узлов . Путем демонстрации свойства диаграммы узла, которое не меняется при применении любого из движений Рейдемейстера, определяется инвариант. Таким образом можно определить многие важные инварианты, включая многочлен Джонса .

Тип движения - единственное движение, которое влияет на изгиб диаграммы. Движение типа III - единственное, которое не меняет номер пересечения диаграммы.

В таких приложениях, как исчисление Кирби , в котором желаемый класс эквивалентности диаграмм узлов является не узлом, а обрамленной связью , нужно заменить движение типа I на движение «модифицированного типа I» (тип I '), состоящее из двух типов. Я движется в противоположном смысле. Движение типа I не влияет ни на обрамление звена, ни на изгиб общей диаграммы узла.

Trace (1983) показал, что две диаграммы узлов для одного и того же узла связаны с использованием только движений типа II и III тогда и только тогда, когда они имеют одинаковые числа изгиба и извилистости . Более того, совместная работа Остлунда (2001) , Мантурова (2004) и Хагге (2006) показывает, что для каждого типа узлов существует пара диаграмм узлов, так что каждая последовательность движений Рейдемейстера, переходящих один в другой, должна использовать все три типа ходов. Александр Кауард продемонстрировал, что для диаграмм связей, представляющих эквивалентные связи, существует последовательность ходов, упорядоченная по типу: сначала ходы типа I, затем ходы типа II, типы III, а затем типы II. Ходы перед ходами типа III увеличивают количество пересечений, а ходы после - уменьшают количество пересечений.

Coward & Lackenby (2014) доказали существование экспоненциальной верхней границы башни (в зависимости от числа пересечений) количества ходов Рейдемейстера, необходимых для перехода между двумя диаграммами одного и того же звена. В деталях, пусть будет сумма чисел пересечения двух диаграмм, тогда верхняя граница - это высота башни s (с одиночной наверху).${\ displaystyle n}$${\ displaystyle 2 ^ {2 ^ {2 ^ {. ^ {. ^ {n}}}}}}$${\ displaystyle 2}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle 10 ^ {1,000,000n}}$

Lackenby (2015) доказал существование полиномиальной верхней границы (в зависимости от числа перекрестков) на количество ходов Рейдемейстера, необходимых для изменения диаграммы развязки на стандартную развязку. В частности, для любой такой диаграммы с пересечениями верхняя граница равна . ${\ displaystyle c}$${\ displaystyle (236c) ^ {11}}$

Хаяси (2005) доказал, что существует также верхняя граница, зависящая от числа пересечений, на количество ходов Рейдемейстера, необходимых для разделения звена .

использованная литература

• СМИ, связанные с Райдемейстером, перемещаются на Викискладе?
• Александр, Джеймс В .; Бриггс, Garland Б. (1926), "О типах заузленных кривых", Анналы математики , 28 (1/4): 562-586, DOI : 10,2307 / 1968399 , JSTOR  1968399 , МР  1502807
• Трус, Александр; Лакенби, Марк (2014), «Верхняя граница движений Рейдемейстера» , Американский журнал математики , 136 (4): 1023–1066, arXiv : 1104.1882 , doi : 10.1353 / ajm.2014.0027 , MR  3245186 , S2CID  55882290
• Галатоло, Стефано (1999), "Об одной проблеме в эффективной теории узлов" , Atti Accad. Наз. Lincei Cl. Sci. Fis. Мат. Natur. Ренд. Линчеи (9) Матем. Прил. , 9 (4): 299–306, MR  1722788
• Hagge, Tobias (2006), «Каждое движение Рейдемейстера необходимо для каждого типа узла», Proc. Амер. Математика. Soc. , 134 (1): 295-301, DOI : 10,1090 / S0002-9939-05-07935-9 , МР  2170571
• Хасс, Джоэл ; Лагариас, Джеффри К. (2001), «Количество ходов Рейдемейстера, необходимых для развязывания узлов», Журнал Американского математического общества , 14 (2): 399–428, arXiv : math / 9807012 , doi : 10.1090 / S0894-0347- 01-00358-7 , Руководство по ремонту  1815217 , S2CID  15654705
• Hayashi, Chuichiro (2005), "Число ходов Радемайстера для расщепления ссылку", Mathematische Annalen , 332 (2): 239-252, DOI : 10.1007 / s00208-004-0599-х , МР  2178061 , S2CID  119728321
• Lackenby, Марк (2015), "Полином верхней границы Радемайстер двигается", Анналы математики , вторая серия, 182 (2): 491-564, Arxiv : 1302.0180 , DOI : 10.4007 / annals.2015.182.2.3 , MR  3418524 , S2CID  119662237
• Мантуров, Василий Олегович (2004), теория узлов , Бока-Ратон, Флорида: Chapman & Hall / CRC, doi : 10.1201 / 9780203402849 , ISBN 0-415-31001-6, Руководство по ремонту  2068425
• Остлунд, Олоф-Петтер (2001), «Инварианты диаграмм узлов и отношения между движениями Рейдемейстера», J. Разветвления теории узлов , 10 (8): 1215–1227, arXiv : math / 0005108 , doi : 10.1142 / S0218216501001402 , MR  1871226 , S2CID  119177881
• Reidemeister, Kurt (1927), "Elementare Begründung der Knotentheorie", Abh. Математика. Сем. Univ. Гамбург , 5 (1): 24-32, DOI : 10.1007 / BF02952507 , МР  3069462 , S2CID  120149796
• Трассировка, Брюс (1983), "О Радемайстера ходами классического узла", Труды Американского математического общества , 89 (4): 722-724, DOI : 10,2307 / 2044613 , JSTOR  2044613 , MR  0719004