Группа узлов - Knot group

В математике , А узел является вложением из круга в 3-мерном евклидовом пространстве . Группа узла из узла K определяются как фундаментальная группа из узла дополнения из K в R ³ ,

${\ displaystyle \ pi _ {1} (\ mathbb {R} ^ {3} \ setminus K).}$

Другие соглашения считают узлы вложенными в 3-сферу, и в этом случае группа узлов является фундаментальной группой своего дополнения в . ${\ Displaystyle S ^ {3}}$

Свойства

Два эквивалентных узла имеют изоморфные группы узлов, поэтому группа узлов является инвариантом узлов и может использоваться для различения определенных пар неэквивалентных узлов. Это связано с тем, что эквивалентность между двумя узлами является самогомеоморфизмом, который изотопен тождеству и переводит первый узел на второй. Такой гомеоморфизм ограничивается гомеоморфизмом дополнений узлов, и этот ограниченный гомеоморфизм индуцирует изоморфизм фундаментальных групп. Однако два неэквивалентных узла могут иметь изоморфные группы узлов (см. Пример ниже). ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}$

Абелианизация из группы узла всегда изоморфна бесконечной циклической группы Z ; это следует потому, что абелианизация согласуется с первой группой гомологий , которую легко вычислить.

Группа узлов (или фундаментальная группа ориентированного зацепления в целом) может быть вычислена в представлении Виртингера с помощью относительно простого алгоритма.

Примеры

• Тривиальный узел имеет узел группу , изоморфную Z .
• Узел- трилистник имеет группу узлов, изоморфную группе кос B ₃ . В этой группе есть презентация

${\ displaystyle \ langle x, y \ mid x ^ {2} = y ^ {3} \ rangle}$ или ${\ displaystyle \ langle a, b \ mid aba = bab \ rangle.}$

• A ( p , q ) - торический узел имеет группу узлов с представлением

${\ displaystyle \ langle x, y \ mid x ^ {p} = y ^ {q} \ rangle.}$

• Узел восьмерка имеет группу узлов с выступом.

${\ displaystyle \ langle x, y \ mid yxy ^ {- 1} xy = xyx ^ {- 1} yx \ rangle}$

• Квадратный узел и бабка узел имеют изоморфные группы сучков, но эти два узла не эквивалентны.

Смотрите также

• Группа ссылок

дальнейшее чтение

• Hazewinkel, Michiel , ed. (2001), " Группы узлов и звеньев ", Энциклопедия математики , Springer, ISBN  978-1556080104