Узел (математика) - Knot (mathematics)

Таблица всех простых узлов с семью или менее пересечениями (не включая зеркальные изображения).
Узел наверху становится узлом- трилистником , соединяя концы.
Треугольник связан с узлом-трилистником.

В математике , А узел является вложением из топологической окружности S 1 в 3-мерном евклидовом пространстве , R 3 (также известный как E 3 ), рассматриваемых с точностью до непрерывных деформаций ( изотопии ).

Ключевое различие между стандартными математическими и традиционными представлениями о узле состоит в том, что математические узлы замкнуты - математический узел не имеет концов, которые можно завязать или развязать. Физические свойства, такие как трение и толщина, также не применяются, хотя существуют математические определения узла, которые учитывают такие свойства. Термин узел также применяется к вложениям S j в S n , особенно в случае j = n - 2 . Раздел математики, изучающий узлы, известен как теория узлов и имеет много простых отношений с теорией графов .

Формальное определение

Узел представляет собой вложение из круга ( S 1 ) в трехмерном евклидовом пространстве ( R 3 ), или 3-сферы ( S 3 ), так как 3-сфера является компактным . Два узла считаются эквивалентными, если между ними существует окружающая изотопия .

Проекция

Узел в R 3 (или, альтернативно, в 3-сфереS 3 ) может быть спроецирован на плоскость  R 2 (соответственно, на сферу  S 2 ). Эта проекция почти всегда регулярна , что означает, что она инъективна везде, за исключением конечного числа точек пересечения, которые являются проекциями только двух точек узла, и эти точки не коллинеарны . В этом случае, выбирая сторону проекции, можно полностью закодировать изотопический класс узла по его регулярной проекции, записывая простую информацию о превышении / недостаточности на этих пересечениях. С точки зрения теории графов, регулярная проекция узла или диаграммы узлов, таким образом, является четырехвалентным плоским графом с пере / недодекорированными вершинами. Локальные модификации этого графа, позволяющие перейти от одной диаграммы к любой другой диаграмме того же узла (с точностью до объемлющей изотопии плоскости), называются движениями Рейдемейстера .

Виды узлов

Узел можно развязать, если разорвать петлю.

Простейший узел, называемый безузлом или тривиальным узлом, представляет собой круглый круг, вложенный в R 3 . В обычном смысле слова развязка вовсе не «завязана узлом». Простейшими нетривиальными узлами являются узел-трилистник ( 3 1 в таблице), узел «восьмерка» ( 4 1 ) и узел с лапчаткой ( 5 1 ).

Несколько узлов, связанных или запутанных вместе, называются звеньями . Узлы - это звенья с одним компонентом.

Приручение против диких узлов

Дикий узел.

Многоугольной узел является узлом , чьи изображения в R 3 представляет собой объединение из конечного множества из линейных сегментов . Ручной узел любой узел эквивалентен многоугольный узел. Неприрученные сучки называются дикими и могут иметь патологическое поведение. В теории узлов и теории трехмерных многообразий прилагательное «ручной» часто опускается. Гладкие сучки, например, всегда ручные.

Узел в рамке

Обрамление узла является расширением ручного узла до вложения полнотория D 2 × S 1 в S 3 .

Обрамление из узла является зацепление образа ленты I × S 1 с узлом. Узел в обрамлении можно рассматривать как встроенную ленту, а обрамление - это количество скручиваний (со знаком). Это определение обобщается на аналогичное определение для ссылок во фреймах . Оснащенные зацепления называются эквивалентными, если их продолжения на полнотории объемлющие изотопные.

Схемы связи в рамке - это схемы связи, на которых каждый компонент отмечен для обозначения кадрирования целым числом, представляющим наклон относительно меридиана и предпочтительную долготу. Стандартный способ просмотра схемы ссылок без маркировки, представляющей ссылку в рамке, - это использование рамки на доске . Это обрамление получается путем преобразования каждого компонента в ленту, лежащую на плоскости. Движение Рейдемейстера I типа явно меняет обрамление доски (оно меняет количество витков ленты), но два других хода - нет. Замена типа, который я перемещаю, на измененный тип, который я перемещаю, дает результат для диаграмм связей с обрамлением доски, аналогичный теореме Рейдемейстера: диаграммы связей с обрамлением доски представляют эквивалентные обрамленные ссылки тогда и только тогда, когда они связаны последовательностью (изменено ) ходы I, II и III типов. Для данного узла можно определить бесконечно много оснащений. Предположим, что нам дан узел с фиксированным оснащением. Можно получить новое обрамление из существующего, разрезав ленту и закрутив ее вокруг узла на целое число, кратное 2π, а затем снова приклеив его в том месте, где мы разрезали. Таким образом получается новое оснащение из старого, с точностью до отношения эквивалентности для оснащенных узлов, оставляя узел неподвижным. Кадрирование в этом смысле связано с количеством поворотов, которые векторное поле выполняет вокруг узла. Зная, сколько раз векторное поле скручено вокруг узла, можно определить векторное поле с точностью до диффеоморфизма, а класс эквивалентности оснащения полностью определяется этим целым числом, называемым целым числом оснащения.

Узел дополнение

Узел, дополнение которого имеет нетривиальное JSJ-разложение.

Для данного узла в 3-сфере дополнением к узлу являются все точки 3-сферы, не содержащиеся в узле. Основная теорема Гордона и Люке утверждает, что не более двух узлов имеют гомеоморфные дополнения (исходный узел и его зеркальное отражение). По сути, это превращает изучение узлов в изучение их дополнений и, в свою очередь, в теорию трехмерных многообразий .

Разложение JSJ

Разложение JSJ и теорема гиперболизации Тёрстона сводит изучение узлов в 3-сфере к изучению различных геометрических многообразий с помощью склейки или спутниковых операций . В изображенном узле JSJ-разложение разбивает дополнение на объединение трех многообразий: двух дополнений в виде трилистника и дополнения к кольцам Борромео . Дополнение к трилистнику имеет геометрию H 2 × R , а дополнение к кольцам Борромео имеет геометрию H 3 .

Гармонические узлы

Параметрические представления узлов называются гармоническими узлами. Аарон Траутвейн в своей докторской диссертации составил параметрические представления для всех узлов, включая узлы с числом пересечения 8.

Приложения к теории графов

Таблица всех простых узлов с семью пересечениями, представленная в виде узловых диаграмм с их средним графом .

Медиальный график

KnotCheckerboard.svg
Планарный граф со знаком, связанный с узловой диаграммой.
Левая направляющая
Правый гид

Еще одно удобное представление диаграмм узлов было введено Питером Тэтом в 1877 году.

Любая узловая диаграмма определяет плоский граф , вершины которого являются перекрестками, а ребра - путями между последовательными перекрестками. Ровно одна грань этого плоского графа неограничена; каждый из остальных гомеоморфен двумерному диску . Раскрасьте эти грани в черный или белый цвет, чтобы неограниченная грань была черной, а любые две грани, которые имеют общую границу, имели противоположные цвета. Из теоремы о кривой Жордана следует, что существует ровно одна такая раскраска.

Мы строим новый плоский граф, вершинами которого являются белые грани, а ребра соответствуют перекресткам. Мы можем пометить каждое ребро в этом графе как левое или правое ребро, в зависимости от того, какой поток кажется пересекающим другой, когда мы рассматриваем соответствующее пересечение с одной из конечных точек ребра. Левый и правый края обычно обозначаются обозначением левых краев + и правых краев - или рисованием левых краев сплошными линиями и правых краев пунктирными линиями.

Исходная узловая диаграмма является средним графом этого нового плоского графа, причем тип каждого пересечения определяется знаком соответствующего ребра. Смена знака каждого ребра соответствует отражению узла в зеркале .

Бесконечное и безузловое вложение

Семь графов в семье Петерсенов . Независимо от того, как эти графы встроены в трехмерное пространство, некоторые два цикла будут иметь ненулевое число зацеплений .

В двух измерениях только плоские графы могут быть вложены в евклидову плоскость без пересечений, но в трех измерениях любой неориентированный граф может быть вложен в пространство без пересечений. Тем не менее, пространственный аналог плоских графов обеспечиваются графами с linkless вложений и сучками вложениями . Linkless вложение является вложением графа с тем свойством , что любые два цикла является несвязанным ; вложение без узлов - это вложение графа, обладающее тем свойством, что любой отдельный цикл не имеет узлов . Графы, которые имеют вложения без ссылок, имеют характеристику запрещенного графа, включающую семейство Петерсена , набор из семи графов, которые внутренне связаны: независимо от того, как они встроены, некоторые два цикла будут связаны друг с другом. Полная характеристика графов с безузловыми вложениями неизвестна, но полный граф K 7 является одним из минимальных запрещенных графов для безузловых вложений: независимо от того, как K 7 вложен, он будет содержать цикл, образующий узел-трилистник .

Обобщение

В современной математике термин узел иногда используется для описания более общего явления, связанного с вложениями. Принимая во внимание многообразие М с подмногообразия N , иногда говорят N может быть узлом в M , если существует вложение N в М , которое не является изотопно N . Традиционные узлы образуют случай, когда N = S 1 и M = R 3 или M = S 3 .

Теорема Шенфлиса утверждает, что окружность не образует узлов в 2-сфере: каждая топологическая окружность в 2-сфере изотопна геометрической окружности. Теорема Александера утверждает, что 2-сфера не создает гладких (или PL или ручных топологически) узлов в 3-сфере. В ручной топологической категории известно, что n- сфера не сужается в n + 1 -сфере для всех n . Это теорема Мортона Брауна , Барри Мазура и Марстона Морса . Дикая сфера является примером заузленного 2-сферы в 3-сфере , которая не приручить. В гладкой категории известно, что n- сфера не сужается в n + 1 -сфере, если n 3 . Случай n = 3 - давно нерешенная проблема, тесно связанная с вопросом: допускает ли 4-шар экзотическая гладкая структура ?

Андре Хефлигер доказал, что не существует гладких j -мерных узлов в S n при условии 2 n - 3 j - 3> 0 , и привел дополнительные примеры узловых сфер для всех n > j ≥ 1 таких, что 2 n - 3 j - 3 = 0 . n - j называется коразмерностью узла. Интересным аспектом работы Хефлигера является то, что изотопические классы вложений S j в S n образуют группу с групповой операцией, задаваемой суммой соединения, при условии, что когерентность больше двух. Хефлигер основал свою работу на теореме Стивена Смейла о h- кобордизме . Одна из теорем Смейла состоит в том, что когда мы имеем дело с узлами в когерентности больше двух, даже неэквивалентные узлы имеют диффеоморфные дополнения. Это придает предмету особый колорит, нежели теория узлов с размерностью 2. Если допустить топологические или PL-изотопии, Кристофер Зееман доказал, что сферы не связываются узлами, когда коразмерность больше 2. См. Обобщение на многообразия .

Смотрите также

Примечания

использованная литература

внешние ссылки