Теорема вложения Уитни - Whitney embedding theorem

В математике , особенно в дифференциальной топологии , есть две теоремы вложения Уитни, названные в честь Хасслера Уитни :

Сильная Уитня теорема вложение утверждает , что любой гладкую реальную $м$ - мерное многообразие (требуется также , чтобы быть Хаусдорфова и вторым счетным ) может быть гладко встроены в реальном $2 м$ -пространства ( $R 2 м$ ), если $т > 0$ . Это лучшая линейная оценка наименьшего размерного евклидова пространства, в которое вкладываются все $m$ -мерные многообразия, поскольку вещественные проективные пространства размерности $m$ не могут быть вложены в реальное $(2 m - 1)$ -пространство, если $m$ является степенью двойки. (как видно из аргумента о характерном классе , также принадлежащего Уитни).
Слабая Уитни теорема вложения утверждает , что любая непрерывная функция от $п$ - мерного многообразия к $м$ - мерного многообразия может быть аппроксимирована гладким вложением при условии $т > 2 п$ . Уитни аналогичным образом доказал, что такое отображение может быть аппроксимировано погружением при $m > 2 n - 1$ . Этот последний результат иногда называют теоремой Уитни об погружении .

Немного о доказательстве

Общий план доказательства состоит в том, чтобы начать с погружения $f : M \to R 2 m$ с поперечными самопересечениями. Они известны из более ранней работы Уитни по теореме о слабом погружении . Трансверсальность двойных точек следует из соображений общего положения. Идея состоит в том, чтобы потом как-то убрать все самопересечения. Если $M$ имеет границу, можно удалить самопересечения просто изотопией $M$ в себя (изотопия находится в области определения $f$ ) на подмногообразие $M$ , не содержащее двойных точек. Таким образом, мы быстро приходим к случаю, когда $M$ не имеет границы. Иногда невозможно удалить двойные точки с помощью изотопии - рассмотрим, например, погружение круга в виде восьмерки в плоскость. В этом случае необходимо ввести локальную двойную точку.

Представляем двойную точку.

Как только у одного есть две противоположные двойные точки, один строит замкнутый контур, соединяющий их, давая замкнутый путь в $R 2 м$ . Так как $R 2 м$ в односвязны , можно предположить , этот путь ограничивает диск, и при условии , $2 м >-$ можно дополнительно предполагать (по слабой теореме вложения Уитни ) , что диск , встроенные в $R 2 м$ таким образом, что она пересекает изображение из $М$ только в его границы. Затем Уитни использует диск для создания однопараметрического семейства иммерсий, фактически проталкивая $M$ по диску, удаляя при этом две двойные точки. В случае иммерсии в форме восьмерки с введенной двойной точкой движение толканием поперёк довольно просто (на фото).

Отмена противоположных двойных очков.

Этот процесс устранения двойных точек противоположного знака путем проталкивания многообразия по диску называется трюком Уитни .

Чтобы ввести локальную двойную точку, Уитни создал погружения $α m : R m \to R 2 m,$ которые являются приблизительно линейными вне единичного шара, но содержат единственную двойную точку. При $m = 1$ такое погружение дается формулой

{\ displaystyle {\ begin {cases} \ alpha: \ mathbf {R} ^ {1} \ to \ mathbf {R} ^ {2} \\\ alpha (t) = \ left ({\ frac {1} { 1 + t ^ {2}}}, t - {\ frac {2t} {1 + t ^ {2}}} \ right) \ end {case}}}

Обратите внимание, что если $α$ рассматривается как отображение на $R 3$ следующим образом:

{\ displaystyle \ alpha (t) = \ left ({\ frac {1} {1 + t ^ {2}}}, t - {\ frac {2t} {1 + t ^ {2}}}, 0 \ верно)}

тогда двойная точка может быть преобразована в вложение:

{\ displaystyle \ beta (t, a) = \ left ({\ frac {1} {(1 + t ^ {2}) (1 + a ^ {2})}}, т - {\ frac {2t} {(1 + t ^ {2}) (1 + a ^ {2})}}, {\ frac {ta} {(1 + t ^ {2}) (1 + a ^ {2})}} \ верно).}

Заметим, что $β (t, 0) = α (t)$ и для $a \neq 0$ тогда как функция от $t$ , $β (t, a)$ является вложением.

Для более высоких измерений m существуют $α m,$ которые можно аналогичным образом разрешить в $R 2 m +1$ . Например, для вложения в $R 5$ определим

{\ displaystyle \ alpha _ {2} (t_ {1}, t_ {2}) = \ left (\ beta (t_ {1}, t_ {2}), t_ {2} \ right) = \ left ({ \ frac {1} {(1 + t_ {1} ^ {2}) (1 + t_ {2} ^ {2})}}, t_ {1} - {\ frac {2t_ {1}} {(1 + t_ {1} ^ {2}) (1 + t_ {2} ^ {2})}}, {\ frac {t_ {1} t_ {2}} {(1 + t_ {1} ^ {2} ) (1 + t_ {2} ^ {2})}}, t_ {2} \ right).}

Этот процесс в конечном итоге приводит к определению:

{\ displaystyle \ alpha _ {m} (t_ {1}, t_ {2}, \ cdots, t_ {m}) = \ left ({\ frac {1} {u}}, t_ {1} - {\ гидроразрыв {2t_ {1}} {u}}, {\ frac {t_ {1} t_ {2}} {u}}, t_ {2}, {\ frac {t_ {1} t_ {3}} {u }}, t_ {3}, \ cdots, {\ frac {t_ {1} t_ {m}} {u}}, t_ {m} \ right),}

где

{\ displaystyle u = (1 + t_ {1} ^ {2}) (1 + t_ {2} ^ {2}) \ cdots (1 + t_ {m} ^ {2}).}

Ключевыми свойствами $α m$ является то, что это вложение, за исключением двойной точки $α m (1, 0, ..., 0) = α m (-1, 0, ..., 0)$ . Более того, при $| (t 1, ..., t m) |$ большой, это приблизительно линейное вложение $(0, t 1, 0, t 2, ..., 0, t m)$ .

Возможные последствия трюка Уитни

Трюк Уитни был использован Стивеном Смейлом для доказательства теоремы о h- кобордизме ; из которого следует гипотеза Пуанкаре в размерностях $m \geq 5$ и классификация гладких структур на дисках (также в размерностях 5 и выше). Это составляет основу теории хирургии , которая классифицирует многообразия в размерности 5 и выше.

Для двух ориентированных подмногообразий дополнительных размерностей в односвязном многообразии размерности ≥ 5 можно применить изотопию к одному из подмногообразий так, чтобы все точки пересечения имели один и тот же знак.

История

О том, что Хасслер-Уитни доказал теорему вложения для гладких многообразий (довольно неожиданно), было сказано (что довольно неожиданно) первым полным изложением концепции многообразия именно потому, что она объединила и объединила различные концепции многообразий того времени: Была ли какая-то путаница относительно того, были ли абстрактные многообразия, внутренне определенные через карты, более или менее общими, чем многообразия, внешне определяемые как подмногообразия евклидова пространства. См. Также контекст истории многообразий и разновидностей .

Более четкие результаты

Хотя каждое $n$ -многообразие вкладывается в $R 2 n$ , часто можно добиться большего. Обозначим через $e (n)$ наименьшее целое число, чтобы все компактные связные $n$ -многообразия вкладывались в $R e (n)$ . Сильная теорема вложения Уитни утверждает, что $e (n) \leq 2 n$ . Для $n = 1, 2$ мы имеем $e (n) = 2 n$ , как показывают кружок и бутылка Клейна . В более общем смысле, для $n = 2 k$ мы имеем $e (n) = 2 n$ , как показывает $2 k$ -мерное действительное проективное пространство . Результат Уитни может быть улучшен до $e (n) \leq 2 n - 1,$ если $n не$ является степенью 2. Это результат Андре Хефлигера и Морриса Хирша (для $n > 4$ ) и CTC Wall (для $n = 3$ ); эти авторы использовали важные предварительные результаты и частные случаи, доказанные Хиршем, Уильямом С. Мэсси , Сергеем Новиковым и Владимиром Рохлиным . В настоящее время функция $e$ не известна в замкнутой форме для всех целых чисел (сравните с теоремой Уитни о погружении , где аналогичное число известно).

Ограничения на многообразия

Можно усилить результаты, наложив на многообразие дополнительные ограничения. Например, $n$ -сфера всегда вкладывается в $R n + 1$ - что является наилучшим возможным (замкнутые $n$ -многообразия не могут быть вложены в $R n$ ). Любая компактная ориентируемая поверхность и любая компактная поверхность с непустой границей вкладывается в $R 3$ , хотя любая замкнутая неориентируемая поверхность требует $R 4$ .

Если $N$ - компактное ориентируемое $n$ -мерное многообразие, то $N$ вкладывается в $R 2 n - 1$ (для $n,$ не равного степени 2, условие ориентируемости излишне). Для $n$ степень 2 это результат Андре Хефлигера и Морриса Хирша (для $n > 4$ ) и Фукуана Фанга (для $n = 4$ ); эти авторы использовали важные предварительные результаты, доказанные Жаком Боша и Хефлигером, Саймоном Дональдсоном , Хиршем и Уильямом С. Мэсси . Хефлигер доказал, что если $N$ - компактное $n$ -мерное $k-$ связное многообразие, то $N$ вкладывается в $R 2 n - k$ при $2 k + 3 \leq n$ .

Изотопические версии

Относительно «простой» результат - доказать, что любые два вложения 1-многообразия в R ⁴ изотопны . Это доказывается с использованием общего положения, которое также позволяет показать, что любые два вложения $n$ -многообразия в $R 2 n + 2$ изотопны. Этот результат является изотопической версией слабой теоремы вложения Уитни.

Ву доказал, что при $n \geq 2$ любые два вложения $n$ -многообразия в $R 2 n + 1$ изотопны. Этот результат является изотопической версией сильной теоремы вложения Уитни.

В качестве изотопической версии своего результата о вложении Хефлигер доказал, что если $N$ - компактное $n$ -мерное $k-$ связное многообразие, то любые два вложения $N$ в $R 2 n - k + 1$ изотопны при условии $2 k + 2 \leq n$ . Ограничение на размерность $2 k + 2 \leq n$ является точным: Хефлигер дал примеры нетривиально вложенных 3-сфер в $R 6$ (и, в более общем смысле, $(2 d - 1)$ -сфер в $R 3 d$ ). См. Дальнейшие обобщения .

Смотрите также

Заметки

Внешние ссылки

Классификация вложений

Languages

In other projects