Тензорное произведение алгебр - Tensor product of algebras

В математике , то тензорное произведение двух алгебр над коммутативным кольцом R является также R - алгебра. Это дает тензорное произведение алгебр . Когда кольцо является полем , наиболее частым применением таких произведений является описание произведения представлений алгебры .

Определение

Пусть R - коммутативное кольцо, а A и B - R -алгебры . Поскольку A и B можно рассматривать как R -модули , их тензорное произведение

также является R -модулем. Тензорному произведению можно придать структуру кольца, задав произведение на элементах вида a  ⊗  b следующим образом:

а затем расширение по линейности на все R B . Это кольцо представляет собой R - алгебра, ассоциативно и унитальная с единицей , заданной 1  ⊗ 1 B . где 1 и 1 Б являются элементами идентичности из A и B . Если A и B коммутативны, то тензорное произведение также коммутативно.

Тензорное произведение превращает категорию в R -алгебр в симметричную моноидальную категорию .

Другие свойства

Существуют естественные гомоморфизмы из A и B в A  ⊗ R B, задаваемые формулой

Эти отображения делают тензорное произведение копроизведением в категории коммутативных R -алгебр . Тензорное произведение не является копроизведением в категории всех R -алгебр. Здесь копроизведение дается более общим свободным произведением алгебр . Тем не менее тензорное произведение некоммутативных алгебр можно описать универсальным свойством, аналогичным свойству копроизведения:

где [-, -] обозначает коммутатор . Естественный изоморфизм дается определения морфизм на левой стороне с парой морфизмов на правой стороне , где и аналогично .

Приложения

Тензорное произведение коммутативных алгебр часто используется в алгебраической геометрии . Для аффинных схем X , Y , Z с морфизмами из X и Z в Y , поэтому X = Spec ( A ), Y = Spec ( B ) и Z = Spec ( C ) для некоторых коммутативных колец A , B , C , Схема расслоенного произведения - это аффинная схема, соответствующая тензорному произведению алгебр:

В более общем смысле, волокнистый продукт схем определяется путем склеивания вместе аффинных волоконных продуктов этой формы.

Примеры

  • Тензорное произведение может использоваться как средство пересечения двух подсхем в схеме : рассмотрим -алгебры , тогда их тензорное произведение равно , которое описывает пересечение алгебраических кривых f = 0 и g = 0 в аффинной плоскости. над C .
  • В более общем смысле, если это коммутативное кольцо и идеалы, то с единственным изоморфизмом, отправляющимся в .
  • Тензорные произведения можно использовать как средство изменения коэффициентов. Например, и .
  • Тензорные произведения также могут использоваться для переноса произведений аффинных схем над полем. Например, это изоморфна алгебре , соответствующей аффинной поверхности , если е и г не равны нулю.

Смотрите также

Примечания

использованная литература

  • Кассель, Кристиан (1995), квантовые группы , выпускные тексты по математике, 155 , Springer, ISBN 978-0-387-94370-1.
  • Ланг, Серж (2002) [впервые опубликовано в 1993 году]. Алгебра . Тексты для выпускников по математике. 21 . Springer. ISBN 0-387-95385-X.