Несвязное объединение (топология) - Disjoint union (topology)

В общей топологии и смежных областях математики , то объединение непересекающегося (также называется прямой суммой , свободный союз , свободная сумма , топологическая сумма или копроизведение ) из семейства из топологических пространств является пространством , образованным оснащения несвязного объединения лежащих в основе множеств с естественной топологией, называемой топологией дизъюнктного объединения . Грубо говоря, в непересекающемся объединении данные пространства рассматриваются как часть единого нового пространства, где каждое выглядит так, как будто оно было бы в одиночку, и они изолированы друг от друга.

Название копроизведение происходит от того факта, что дизъюнктное объединение является категориальным двойником конструкции пространства произведения .

Определение

Пусть { X _я  : я ∈ I } семейство топологических пространств проиндексированных I . Позволять

${\ displaystyle X = \ coprod _ {i} X_ {i}}$

- несвязное объединение основных множеств. Для каждого i в I пусть

${\ displaystyle \ varphi _ {i}: X_ {i} \ to X \,}$

быть в канонической инъекции (определяется ). Топологии несвязные на X определяются как лучшая топология на X , для которого всех канонических инъекции являются непрерывными (т.е.: это конечная топология на X , индуцированная каноническими инъекции). ${\ Displaystyle \ varphi _ {я} (х) = (х, я)}$${\ displaystyle \ varphi _ {я}}$

Явно топологию дизъюнктного объединения можно описать следующим образом. Подмножество U из X является открытым в X тогда и только тогда , когда ее прообраз открыто в X _я для каждого I ∈ I . Еще одна формулировка состоит в том, что подмножество V в X открыто относительно X тогда и только тогда, когда его пересечение с X _i открыто относительно X _i для каждого i . ${\ Displaystyle \ varphi _ {я} ^ {- 1} (U)}$

Характеристики

Непересекающееся объединенное пространство X вместе с каноническими инъекциями можно охарактеризовать следующим универсальным свойством : если Y - топологическое пространство, а f _i  : X _i → Y - непрерывное отображение для каждого i ∈ I , то существует в точности одно непрерывное отображение f  : X → Y такое, что следующий набор диаграмм коммутирует :

Это показывает, что дизъюнктное объединение является копроизведением в категории топологических пространств . Это следует из сказанного выше универсальное свойство , что отображение F  : X → Y непрерывно тогда и только тогда е _я = е о φ _я непрерывна для всех I в I .

Канонические инъекции φ _i  : X _i → X не только непрерывны, но _и являются открытыми и закрытыми отображениями . Отсюда следует , что инъекции являются топологическими вложениями , так что каждый X _я могу быть канонический рассматривать как подпространство в X .

Примеры

Если каждый Х _я это гомеоморфными к фиксированному пространства А , то несвязное объединение X гомеоморфно продукта пространства × I , где I имеет дискретную топологию .

Сохранение топологических свойств

• Любое непересекающееся объединение дискретных пространств дискретно
• Разделение
  • Любое непересекающееся объединение T ₀ пространств есть T ₀
  • Любое непересекающееся объединение T ₁ пространств есть T ₁
  • Всякое непересекающееся объединение хаусдорфовых пространств хаусдорфово.
• Связность
  • Непересекающееся объединение двух или более непустых топологических пространств несвязно.

Смотрите также

• топология продукта , двойная конструкция
• топология подпространств и ее двойственная фактор-топология
• топологическое объединение , обобщение на случай, когда части не пересекаются