Коммутативная диаграмма - Commutative diagram

Коммутативная диаграмма, использованная в доказательстве леммы пяти .

В математике , и особенно в теории категорий , коммутативная диаграмма - это такая диаграмма , в которой все направленные пути в диаграмме с одинаковыми начальной и конечной точками приводят к одному и тому же результату. Говорят, что коммутативные диаграммы играют роль в теории категорий, которую уравнения играют в алгебре (см. Barr & Wells (2002 , раздел 1.7)).

Описание

Коммутативная диаграмма часто состоит из трех частей:

объекты (также известные как вершины )
морфизмы (также известные как стрелки или ребра )
дорожки или композиты

Символы стрелок

В текстах по алгебре тип морфизма можно обозначать разными стрелками:

-Мономорфизм (инъективный гомоморфизм) может быть помечен с . ${\ displaystyle \ hookrightarrow}$
Эпиморфизм (сюръективный гомоморфизм) может быть помечен с . ${\ displaystyle \ twoheadrightarrow}$
Изоморфизм (биективен гомоморфизм) может быть помечен с . ${\ Displaystyle {\ overset {\ sim} {\ rightarrow}}}$
Пунктирная стрелка обычно представляет утверждение, что указанный морфизм существует (если остальная часть диаграммы верна); стрелка может быть дополнительно помечена как . ${\ Displaystyle \ существует}$ $\существуют$
- Если морфизм к тому же уникален, то пунктирная стрелка может быть помечена или . ${\ displaystyle!}$ ${\ displaystyle \ существует!}$

Проверка коммутативности

Коммутативность имеет смысл для многоугольника с любым конечным числом сторон (включая только 1 или 2), а диаграмма коммутативна, если каждая многоугольная поддиаграмма коммутативна.

Обратите внимание, что диаграмма может быть некоммутативной, т. Е. Композиция различных путей на диаграмме может не давать одинаковый результат.

Фразы

Можно использовать такие фразы, как «эта коммутативная диаграмма» или «диаграмма коммутирует».

Примеры

На левой диаграмме, которая выражает первую теорему об изоморфизме , коммутативность треугольника означает, что . На правой диаграмме коммутативность среднего квадрата . ${\ displaystyle f = {\ тильда {f}} \ circ \ pi}$ ${\ Displaystyle ч \ сирк е = к \ сирк г}$

Чтобы диаграмма, приведенная ниже, переставляла, должны быть выполнены три равенства:

${\ Displaystyle г \ CIRC H \ CIRC G = H \ CIRC G \ CIRC L}$
${\ Displaystyle м \ circ g = G \ circ l}$
${\ Displaystyle г \ CIRC H = H \ CIRC M}$

Здесь, поскольку первое равенство следует из двух последних, достаточно показать, что (2) и (3) верны, чтобы диаграмма коммутировала. Однако, поскольку равенство (3) обычно не следует из двух других, обычно недостаточно иметь только равенства (1) и (2), если нужно показать, что диаграмма коммутирует.

Диаграмма погоня

Диаграммный поиск (также называемый диаграммным поиском ) - это метод математического доказательства, особенно используемый в гомологической алгебре , где каждый устанавливает свойство некоторого морфизма, отслеживая элементы коммутативной диаграммы. Доказательство путем поиска диаграммы обычно включает формальное использование свойств диаграммы, таких как инъективные или сюръективные карты или точные последовательности . Строится силлогизм , для которого графическое отображение диаграммы является лишь наглядным пособием. Отсюда следует, что в конце концов нужно «гоняться» за элементами на диаграмме, пока не будет построен или проверен желаемый элемент или результат.

Примеры доказательств с помощью поиска диаграмм включают те, которые обычно приводятся для леммы о пяти, леммы о змейке, леммы о зигзаге и леммы о девяти .

В теории высших категорий

В теории высших категорий рассматриваются не только объекты и стрелки, но и стрелки между стрелками, стрелки между стрелками между стрелками и т. Д. До бесконечности . Например, категория малых категорий Cat , естественно, является 2-категорией, с функторами в качестве стрелок и естественными преобразованиями в качестве стрелок между функторами. В этих условиях, коммутативные диаграммы могут включать в себя эти более высокие стрелы , а также, которые часто изображены в следующем стиле: . Например, следующая (несколько тривиальная) диаграмма изображает две категории C и D вместе с двумя функторами F , G : C → D и естественным преобразованием α : F ⇒ G : ${\ displaystyle \ Rightarrow}$

Есть два вида композиции в 2-й категории (называемые вертикальной композицией и горизонтальной композицией ), и они также могут быть изображены с помощью вставных диаграмм (см. Примеры 2-категорий # Определение ).

Диаграммы как функторы

Коммутативную диаграмму в категории C можно интерпретировать как функтор из индексной категории J в C; функтор называют диаграммой .

Более формально, коммутативная диаграмма - это визуализация диаграммы, индексированной по определенной категории . Такая диаграмма обычно включает:

узел для каждого объекта в категории индекса,
стрелка для порождающего набора морфизмов (исключая тождественные карты и морфизмы, которые могут быть выражены как композиции),
коммутативность диаграммы (равенство различных составов карт между двумя объектами), соответствующая уникальности карты между двумя объектами в категории poset.

И наоборот, учитывая коммутативную диаграмму, она определяет категорию poset, где:

объекты - это узлы,
существует морфизм между любыми двумя объектами тогда и только тогда, когда между узлами существует (направленный) путь,
с тем отношением, что этот морфизм уникален (любая композиция отображений определяется своей областью и целью: это аксиома коммутативности).

Однако не всякая диаграмма коммутирует (понятие диаграммы строго обобщает коммутативную диаграмму). В качестве простого примера: диаграмма одного объекта с эндоморфизмом ( ) или с двумя параллельными стрелками ( то есть , иногда называемая свободным колчаном ), которая используется в определении эквалайзера, не должна коммутировать. Кроме того, диаграммы могут быть беспорядочными или невозможными для рисования, когда количество объектов или морфизмов велико (или даже бесконечно). ${\ displaystyle f \ двоеточие от X \ до X}$ ${\ displaystyle \ bullet \ rightrightarrows \ bullet}$ ${\ displaystyle f, g \ двоеточие от X \ до Y}$

Смотрите также

Математическая диаграмма

Библиография

Адамек, Иржи; Хорст Херрлих; Джордж Э. Стрекер (1990), абстрактные и конкретные категории (PDF) , John Wiley & Sons, ISBN 0-471-60922-6 Теперь доступно в виде бесплатной онлайн-версии (4,2 МБ PDF).
Барр, Майкл ; Уэллс, Чарльз (2002), Toposes, Triples and Theories (PDF) , ISBN 0-387-96115-1Пересмотренная и исправленная бесплатная онлайн-версия Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften (278) Springer-Verlag, 1983).

Внешние ссылки

Погоня за диаграммами в MathWorld
WildCats - это пакет теории категорий для Mathematica . Манипулирование и визуализация объектов, морфизмов , категорий, функторов , естественных преобразований .

[1] Вайсштейн, Эрик В. "Коммутативная диаграмма" . mathworld.wolfram.com . Проверено 25 ноября 2019 .

[:0-2] «Математика - Теория категорий - Стрелка - Мартин Бейкер» . www.euclideanspace.com . Проверено 25 ноября 2019 .

[3] "Окончательный словарь высшего математического жаргона - погоня" . Математическое хранилище . 2019-08-01 . Проверено 25 ноября 2019 .

[4] Вайсштейн, Эрик В. "Погоня за диаграммой" . mathworld.wolfram.com . Проверено 25 ноября 2019 .

Languages

In other projects