Икосагон - Icosagon

Обычный икосагон
Обычный икосагон
	Обычный икосагон
Тип	Правильный многоугольник
Ребра и вершины	20
Символ Шлефли	{20}, т {10}, тт {5}
Диаграмма Кокстера	;
Группа симметрии	Двугранный (D 20 ), порядок 2 × 20
Внутренний угол ( градусы )	162 °
Двойной многоугольник	Себя
Характеристики	Выпуклый , циклический , равносторонний , изогональный , изотоксальный

В геометрии , icosagon или 20-угольник представляет собой двадцать-сторонний многоугольник . Сумма внутренних углов любого икосагона составляет 3240 градусов.

Обычный икосагон

Регулярно icosagon имеет символ шлефл ${20}$ , а также может быть выполнен в виде усеченного десятиугольника , $т {10}$ , или дважды усеченный пятиугольник , $тт {5}$ .

Один внутренний угол в правильном икосагоне равен 162 °, что означает, что один внешний угол будет составлять 18 °.

Площадь регулярного icosagon с длиной ребра $т$ является

{\ displaystyle A = {5} t ^ {2} (1 + {\ sqrt {5}} + {\ sqrt {5 + 2 {\ sqrt {5}}}}) \ simeq 31.5687t ^ {2}. }

С точки зрения радиуса $R$ его описанной окружности , площадь равна

{\ displaystyle A = {\ frac {5R ^ {2}} {2}} ({\ sqrt {5}} - 1);}

поскольку площадь круга является правильным икосагоном, он заполняет примерно 98,36% описанной окружности. ${\ displaystyle \ pi R ^ {2},}$

Использует

Большое колесо из популярного американского игрового шоу The Price Is Right имеет икосогональное поперечное сечение.

Глобус, театр под открытым небом, используемый актерской труппой Уильяма Шекспира, было обнаружено, что он был построен на икосогональном фундаменте, когда в 1989 году были проведены частичные раскопки.

Как голигональный путь, свастика считается неправильным икосагоном.

Правильный квадрат, пятиугольник и икосугольник могут полностью заполнить вершину плоскости .

Строительство

Поскольку $20 = 2 2 \times 5$ , правильный икосугольник можно построить с помощью циркуля и линейки , или путем деления ребер пополам правильного десятиугольника или правильного пятиугольника, разделенного пополам :

Построение правильного икосагона	Построение правильного десятиугольника

Золотое сечение в икосагоне

В конструкции с заданной длиной стороны дуга окружности вокруг $C$ с радиусом $CD$ делит отрезок $E 20 F$ в соотношении золотого сечения.

{\ displaystyle {\ frac {\ overline {E_ {20} E_ {1}}} {\ overline {E_ {1} F}}} = {\ frac {\ overline {E_ {20} F}} {\ overline {E_ {20} E_ {1}}}} = {\ frac {1 + {\ sqrt {5}}} {2}} = \ varphi \ приблизительно 1,618}

Икосагон с заданной длиной стороны, анимация (конструкция очень похожа на десятиугольник с заданной длиной стороны)

Симметрия

Симметрии правильного икосогона. Вершины раскрашены в соответствии с их положением симметрии. Синие зеркала прорисовываются через вершины, а фиолетовые зеркала - через края. В центре даны приказы гирации.

Регулярный icosagon имеет $DIH 20$ симметрии , порядка 40. Есть 5 подгрупп двугранные симметрии: $(DIH 10, DIH 5)$ и $(DIH 4, DIH 2 и DIH 1)$ и 6 циклических групп симметрии: $(Z 20, Z 10, Z 5)$ и ( $Z 4, Z 2, Z 1)$ .

Эти 10 симметрий можно увидеть в 16 различных симметриях на икосогоне, большее число, потому что линии отражений могут проходить либо через вершины, либо через ребра. Джон Конвей помечает их буквой и групповым порядком. Полная симметрия правильной формы - $r40,$ а симметрия не помечена как $a1$ . Двугранные симметрии разделяются в зависимости от того, проходят ли они через вершины ( $d$ для диагонали) или ребра ( $p$ для перпендикуляров), и $i,$ когда линии отражения проходят через оба ребра и вершины. Циклические симметрии в среднем столбце обозначены буквой $g$ для их центральных порядков вращения.

Симметрия каждой подгруппы допускает одну или несколько степеней свободы для неправильных форм. Только подгруппа $g20$ не имеет степеней свободы, но ее можно рассматривать как направленные ребра .

Наивысший симметрии нерегулярные icosagons являются $d20$ , изогональный icosagon построены десять зеркал , которые могут чередоваться длинные и короткие края, и $р20$ , isotoxal icosagon, построенная с равными длинами ребер, но вершины чередующихся двух разных внутренних углов. Эти две формы двойственны друг другу и имеют половину порядка симметрии правильного икозагона.

Расслоение

20-угольник с 180 ромбами
обычный	Изотоксал

Кокстеровские гласит , что каждый зоногон (а $2 м$ -угольник которого противоположные стороны параллельны и равны по длине) можно разрезать на $м (м -1) / 2$ параллелограммов. В частности, это верно для правильных многоугольников с равным числом сторон, и в этом случае все параллелограммы являются ромбическими. Для икосагона $m = 10$ , и его можно разделить на 45: 5 квадратов и 4 набора по 10 ромбов. Это разложение основано на многоугольной проекции 10-куба Петри с 45 гранями из 11520. В списке OEIS : A006245 указано количество решений 18 410 581 880, включая 20-кратные вращения и хиральные формы в отражении.

Рассечение на 45 ромбов
10-куб

Связанные полигоны

Icosagram является 20-сторонний звезда многоугольника , представленный символом ${20 / N}$ . Символы Шлефли имеют три правильные формы : ${20/3}$ , ${20/7}$ и ${20/9}$ . Также есть пять правильных звездных фигур (составных частей) с одинаковым расположением вершин : $2 {10}$ , $4 {5}$ , $5 {4}$ , $2 {10/3}$ , $4 {5/2}$ и $10 {2}.$ .

п	1	2	3	4	5
Форма	Выпуклый многоугольник	Сложный	Звездный многоугольник	Сложный
Изображение	{20/1} = {20}	{20/2} = 2 {10}	{20/3}	{20/4} = 4 {5}	{20/5} = 5 {4}
Внутренний угол	162 °	144 °	126 °	108 °	90 °
п	6	7	8	9	10
Форма	Сложный	Звездный многоугольник	Сложный	Звездный многоугольник	Сложный
Изображение	{20/6} = 2 {10/3}	{20/7}	{20/8} = 4 {5/2}	{20/9}	{20/10} = 10 {2}
Внутренний угол	72 °	54 °	36 °	18 °	0 °

Более глубокие усечения правильного десятиугольника и декаграммы могут создавать изогональные ( переходные по вершинам ) промежуточные формы икосаграмм с одинаково расположенными вершинами и двумя длинами ребер.

Обычную икосаграмму, ${20/9}$ , можно рассматривать как квазиусеченный десятиугольник, $t {10/9} = {20/9}$ . Аналогично декаграмме , ${10/3}$ имеет квазиусечение $t {10/7} = {20/7}$ , и, наконец, простое усечение декаграммы дает $t {10/3} = {20/3}$ .

Икосаграммы как усечения правильных декагонов и декаграмм, {10}, {10/3}
Квазирегулярный					Квазирегулярный
t {10} = {20}					т {10/9} = {20/9}
т {10/3} = {20/3}					т {10/7} = {20/7}

Полигоны Петри

Правильный икосагон - это многоугольник Петри для ряда многомерных многогранников, показанных в ортогональных проекциях на плоскости Кокстера :

А ₁₉	В ₁₀		D ₁₁	E ₈	H ₄	½2H ₂	2H ₂
19-симплекс	10-ортоплекс	10-куб	11-полукуб	(4 ₂₁ )	600 ячеек	Великая антипризма	10-10 дуопирамид	10-10 дуопризма