Двойной многоугольник - Dual polygon
В геометрии , многоугольники связаны в пары называемых двойственными , где вершины одного соответствуют краям других.
Свойства
Регулярные многоугольники являются самодвойственны .
Двойник к изогональному (вершинно-транзитивному) многоугольнику является изотоксальным (реберно-транзитивным) многоугольником. Например, (изогональный) прямоугольник и (изотоксальный) ромб двойственны.
В циклическом многоугольнике более длинные стороны соответствуют большим внешним углам в двойном ( касательный многоугольник ), а более короткие стороны - меньшим углам. Кроме того, конгруэнтные стороны в исходном многоугольнике дают конгруэнтные углы в двойном, и наоборот. Например, двойник очень острого равнобедренного треугольника - это тупой равнобедренный треугольник.
В конструкции Дормана Люка каждая грань двойственного многогранника является двойственным многоугольником соответствующей вершинной фигуры .
Двойственность в четырехугольниках
В качестве примера угловой двойственности многоугольников мы сравним свойства циклического и касательного четырехугольника .
| Циклический четырехугольник | Тангенциальный четырехугольник |
|---|---|
| Описанный круг | Вписанный круг |
| Биссектрисы сторон параллельны в центре описанной окружности. | Биссектрисы углов параллельны в центре |
| Суммы двух пар противоположных углов равны | Суммы двух пар противоположных сторон равны |
Эта двойственность, возможно, еще более очевидна при сравнении равнобедренной трапеции с воздушным змеем .
| Равнобедренная трапеция | воздушный змей |
|---|---|
| Две пары равных смежных углов | Две пары равных смежных сторон |
| Одна пара равных противоположных сторон | Одна пара равных противоположных углов |
| Ось симметрии через одну пару противоположных сторон | Ось симметрии через одну пару противоположных углов |
| Описанный круг | Вписанный круг |
Виды двойственности
Исправление
Простейшее качественное построение двойного многоугольника - это операция исправления , при которой края многоугольника обрезаются до вершин в центре каждого исходного ребра. Между этими новыми вершинами образуются новые ребра.
Эта конструкция необратима. То есть многоугольник, созданный при его двойном применении, в целом не похож на исходный многоугольник.
Полярное возвратно-поступательное движение
Как и в случае двойных многогранников, можно взять круг (будь то вписанный круг , описанный круг или, если оба существуют, их средний круг ) и выполнить в нем полярное возвратно-поступательное движение .
Проективная двойственность
При проективной двойственности двойственный к точке является линией, а к прямой - точкой - таким образом, двойственный к многоугольнику является многоугольником, причем ребра оригинала соответствуют вершинам двойственного и наоборот.
С точки зрения дуальной кривой , где каждой точке кривой сопоставляется точка, двойственная к ее касательной линии в этой точке, проективную двойственную можно интерпретировать следующим образом:
- каждая точка на стороне многоугольника имеет одну и ту же касательную линию, которая совпадает с самой стороной - таким образом, все они отображаются в одну и ту же вершину в двойном многоугольнике.
- в вершине «касательные линии» к этой вершине - это все прямые, проходящие через эту точку с углом между двумя ребрами - двойные точки к этим линиям тогда являются ребрами в двойном многоугольнике.
Комбинаторно
Комбинаторно можно определить многоугольник как набор вершин, набор ребер и отношение инцидентности (которое соприкасается вершинами и ребрами): две смежные вершины определяют ребро, а два смежных ребра определяют вершину. Тогда двойственный многоугольник получается простым переключением вершин и ребер.
Таким образом, для треугольника с вершинами {A, B, C} и ребрами {AB, BC, CA} двойственный треугольник имеет вершины {AB, BC, CA} и ребра {B, C, A}, где B соединяет AB & BC и т. Д.
Это не особенно плодотворный путь, поскольку комбинаторно существует одно семейство многоугольников (заданное числом сторон); геометрическая двойственность многоугольников более разнообразна, как и комбинаторные двойственные многогранники .