Внутренние и внешние углы - Internal and external angles

Внутренние и внешние углы

В геометрии , угол из многоугольника образованны двух сторон многоугольника , которые разделяют конечную точку. Для простого (не самопересекающегося) многоугольника, независимо от того, выпуклый он или невыпуклый , этот угол называется внутренним углом (или внутренний угол ), если точка внутри угла находится внутри многоугольника. Многоугольник имеет ровно один внутренний угол навершину.

Если каждый внутренний угол простого многоугольника меньше 180 °, многоугольник называется выпуклым .

Напротив, внешний угол (также называемыйвнешний угол илиугол поворота) - это угол, образованный одной стороной простого многоугольника илинией, продолженной с соседней стороны.

Характеристики

  • Сумма внутреннего угла и внешнего угла в одной и той же вершине составляет 180 °.
  • Сумма всех внутренних углов простого многоугольника составляет 180 ( n –2) °, где n - количество сторон. Формулу можно доказать с помощью математической индукции : начнем с треугольника, сумма углов которого равна 180 °, затем заменим одну сторону двумя сторонами, соединенными в другой вершине, и так далее.
  • Сумма внешних углов любого простого выпуклого или невыпуклого многоугольника, если только один из двух внешних углов предполагается в каждой вершине, составляет 360 °.
  • На величину внешнего угла в вершине не влияет то, какая сторона расширяется: два внешних угла, которые могут быть образованы в вершине путем попеременного удлинения одной или другой стороны, являются вертикальными углами и, таким образом, равны.

Расширение до пересеченных многоугольников

Концепция внутреннего угла может быть последовательно расширена на пересекающиеся многоугольники, такие как звездные многоугольники, с помощью концепции направленных углов . В общем случае сумма внутренних углов в градусах любого замкнутого многоугольника, включая пересекающиеся (самопересекающиеся), тогда равна 180 ( n –2 k ) °, где n - количество вершин, и строго положительное целое число k. это количество полных (360 °) оборотов, которые человек совершает при обходе периметра многоугольника . Другими словами, 360 k ° представляют собой сумму всех внешних углов. Пример: для обычных выпуклых многоугольников и вогнутых многоугольников , к = 1, так как внешний угол сумма равна 360 °, и один подвергается только один полный оборот по ходьбе по всему периметру.

использованная литература

внешние ссылки