Однородное пространство - Homogeneous space

Тор . Стандартный тор однороден относительно своих групп диффеоморфизмов и гомеоморфизмов , а плоский тор однороден относительно своих групп диффеоморфизма, гомеоморфизма и изометрий .

В математике , особенно в теориях групп Ли , алгебраических групп и топологических групп , однородное пространство для группы G - это непустое многообразие или топологическое пространство X, на котором G действует транзитивно . Элементы G называются симметрии по X . Особый случай это когда группа G в вопросе является группой автоморфизмов пространства X - здесь «группа автоморфизмов» может означать изометрию группы , -диффеоморфизм группу , или гомеоморфизм группу . В этом случае X является однородным, если интуитивно X выглядит локально одинаковым в каждой точке либо в смысле изометрии (жесткая геометрия), либо в смысле диффеоморфизма (дифференциальная геометрия), либо в смысле гомеоморфизма (топологии). Некоторые авторы настаивают на том, чтобы действие G было точным (нетождественные элементы действуют нетривиально), хотя в настоящей статье этого не происходит. Таким образом , существует группа действий из G на X , которые можно рассматривать как сохранение некоторых «геометрической структуры» на X , и сделать X в одну G -орбите .

Формальное определение

Пусть X - непустое множество, а G - группа. Тогда X называется G - пространство , если оно оборудовано с действием G на X . Заметим, что G автоматически действует на множестве автоморфизмами (биекциями). Если X, кроме того, принадлежит некоторой категории , то предполагается , что элементы G действуют как автоморфизмы в той же категории. То есть карты на X, исходящие из элементов G, сохраняют структуру, связанную с категорией (например, если X - объект в Diff, то требуется, чтобы действие выполнялось диффеоморфизмами ). Однородное пространство - это G -пространство, на котором G действует транзитивно.

Вкратце, если X - объект категории C , то структура G -пространства является гомоморфизмом :

{\ displaystyle \ rho: G \ to \ mathrm {Aut} _ {\ mathbf {C}} (X)}

в группу автоморфизмов объектного X в категории C . Пара ( X , ρ ) определяет однородное пространство при условии , ρ ( G ) является транзитивной группой симметрии основного набора X .

Примеры

Например, если Х представляет собой топологическое пространство , то элементы группы предполагаются в качестве гомеоморфизмов на X . Структура G - пространства является групповой гомоморфизм ρ : G → Homeo ( X ) в гомеоморфизму группы из X .

Аналогично, если X - дифференцируемое многообразие , то элементы группы являются диффеоморфизмами . Структура G - пространство является групповым гомоморфизмом ρ : G → Diffeo ( Х ) в группу диффеоморфизмов X .

Римановы симметрические пространства являются важным классом однородных пространств и включают многие примеры, перечисленные ниже.

Конкретные примеры включают:

Группы изометрии

Положительная кривизна:

Сфера ( ортогональная группа ): . Это верно из-за следующих наблюдений: Во-первых, это набор векторов с нормой . Если мы рассматриваем один из этих векторов как базовый вектор, то любой другой вектор можно построить с помощью ортогонального преобразования. Если мы рассматриваем промежуток этого вектора как одномерное подпространство , то дополнение представляет собой -мерное векторное пространство, которое инвариантно относительно ортогонального преобразования из . Это показывает нам, почему мы можем строить как однородное пространство. ${\ Displaystyle S ^ {n-1} \ cong \ mathrm {O} (n) / \ mathrm {O} (n-1)}$ ${\ Displaystyle S ^ {п-1}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {п}}$ ${\ displaystyle 1}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {п}}$ ${\ Displaystyle (п-1)}$ ${\ Displaystyle {\ текст {O}} (п-1)}$ ${\ Displaystyle S ^ {п-1}}$
Ориентированная сфера ( специальная ортогональная группа ): ${\ Displaystyle S ^ {п-1} \ cong \ mathrm {SO} (п) / \ mathrm {SO} (п-1)}$
Проективное пространство ( проективная ортогональная группа ): ${\ Displaystyle \ mathrm {P} ^ {n-1} \ cong \ mathrm {PO} (n) / \ mathrm {PO} (n-1)}$

Плоский (нулевая кривизна):

Евклидово пространство ( евклидова группа , стабилизатор точки - ортогональная группа): A ⁿ ≅ E ( n ) / O ( n )

Отрицательная кривизна:

Гиперболическое пространство ( ортохронная группа Лоренца , ортогональная группа точечного стабилизатора, соответствующая модели гиперболоида ): H ⁿ ≅ O ⁺ (1, n ) / O ( n )
Ориентированное гиперболическое пространство: SO ⁺ (1, n ) / SO ( n )
Пространство Анти-де Ситтера : AdS _{n +1} = O (2, n ) / O (1, n )

Другие

Аффинное пространство (для аффинной группы , общая линейная группа стабилизатора точки ): A ⁿ = Aff ( n , K ) / GL ( n , k ).
Грассманиан : ${\ Displaystyle \ mathrm {Gr} (r, n) = \ mathrm {O} (n) / (\ mathrm {O} (r) \ times \ mathrm {O} (nr))}$
Топологические векторные пространства (в смысле топологии)

Геометрия

С точки зрения программы Эрлангена , можно понять , что «все точки одинаковы», в геометрии в X . Это было верно по существу для всех геометрий, предложенных до римановой геометрии в середине девятнадцатого века.

Таким образом, например, евклидово пространство , аффинное пространство и проективное пространство естественным образом являются однородными пространствами для своих соответствующих групп симметрии . То же самое верно для найденных моделей неевклидовой геометрии постоянной кривизны , такой как гиперболическое пространство .

Еще один классический пример - это пространство линий в проективном пространстве трех измерений (эквивалентно, пространство двумерных подпространств четырехмерного векторного пространства ). Это простая линейная алгебра, чтобы показать, что GL ₄ транзитивно действует на них. Мы можем параметризовать их координатами строки : это миноры 2 × 2 матрицы 4 × 2 с двумя столбцами базисных векторов для подпространства. Геометрия результирующего однородного пространства является геометрией линии из Плюккера .

Однородные пространства как классы смежности

В общем случае, если X - однородное пространство группы G , а H _o - стабилизатор некоторой отмеченной точки o в X (выбор начала координат ), то точки X соответствуют левым смежным классам G / H _o , а отмеченная точка o соответствует смежному классу идентичности. Наоборот, данное смежное пространство G / H является однородным пространством для G с выделенной точкой, а именно, смежным классом единицы. Таким образом, однородное пространство можно рассматривать как смежное пространство без выбора источника.

В общем, различный выбор происхождение O приведет к фактору G по другой подгруппе Н _{о '} , которая связана с Н _о с помощью внутреннего автоморфизма из G . Конкретно,

{\ Displaystyle H_ {о '} = gH_ {o} g ^ {- 1} \ qquad \ qquad (1)}

где g - любой элемент группы G, для которого go = o ′. Отметим, что внутренний автоморфизм (1) не зависит от того, какой такой g выбран; это зависит только от g по модулю H _o .

Если действие G на X непрерывно и Х отделим, то Н является замкнутой подгруппой в G . В частности, если G является группой Ли , то H является подгруппой Ли по теореме Картана . Следовательно, G / H - гладкое многообразие, а значит, X обладает единственной гладкой структурой, согласованной с действием группы.

Если H - единичная подгруппа { e }, то X - главное однородное пространство .

Можно пойти дальше к двойным смежным классам, а именно к формам Клиффорда – Клейна Γ \ G / H , где Γ - дискретная подгруппа (группы G ), действующая собственно разрывно .

Пример

Например, в случае линейной геометрии мы можем идентифицировать H как 12-мерную подгруппу 16-мерной общей линейной группы GL (4), определяемой условиями на элементы матрицы

ч ₁₃ = ч ₁₄ = ч ₂₃ = ч ₂₄ = 0,

ища стабилизатор подпространства, натянутого на первые два стандартных базисных вектора. Это показывает, что X имеет размерность 4.

Поскольку число однородных координат, заданных минорами, составляет 6, это означает, что последние не независимы друг от друга. Фактически, между шестью несовершеннолетними сохраняется одно квадратичное соотношение, как это было известно геометрам девятнадцатого века.

Этот пример был первым известным примером грассманиана , отличного от проективного пространства. Есть много других однородных пространств классических линейных групп, обычно используемых в математике.

Предоднородные векторные пространства

Идея предоднородного векторного пространства была введена Микио Сато .

Это конечно-мерное векторное пространство V с действием группы А. Н. алгебраической группы G , такой , что существует орбита G , которая открыта для топологии Зарисского (и так, плотные). Примером может служить GL (1), действующий в одномерном пространстве.

Определение более ограничено, чем кажется на первый взгляд: такие пространства обладают замечательными свойствами, и существует классификация неприводимых предоднородных векторных пространств, вплоть до преобразования, известного как «рокировка».

Однородные пространства в физике

Физическая космология, использующая общую теорию относительности, использует систему классификации Бьянки . Однородные пространства в теории относительности представляют собой пространственную часть фоновой метрики некоторых космологических моделей ; например, три случая метрики Фридмана – Лемэтра – Робертсона – Уокера могут быть представлены подмножествами типов Бьянки I (плоский), V (открытый), VII (плоский или открытый) и IX (закрытый) типов, в то время как метрика Mixmaster Вселенная представляет собой анизотропный пример космологии Бьянки IX.

Однородное пространство N измерений допускает набор векторов Киллинга . Для трех измерений это дает в общей сложности шесть линейно независимых векторных полей Киллинга; однородные 3-пространства обладают тем свойством, что можно использовать их линейные комбинации, чтобы найти три всюду ненулевых векторных поля Киллинга , ${\ Displaystyle {\ tfrac {1} {2}} N (N + 1)}$ ${\ Displaystyle \ хи _ {я} ^ {(а)}}$

{\ displaystyle \ xi _ {[i; k]} ^ {(a)} = C _ {\ bc} ^ {a} \ xi _ {i} ^ {(b)} \ xi _ {k} ^ {( c)}}

где объект , «структурные константы», образуют постоянный тензорный антисимметричный третьего порядка по двум его нижним индексам (в левой части скобки обозначают антисимметризацию, а «;» представляет ковариантный дифференциальный оператор ). В случае плоской изотропной вселенной одна возможность (тип I), но в случае замкнутой вселенной FLRW, где - символ Леви-Чивиты . ${\ Displaystyle С _ {\ bc} ^ {а}}$ ${\ Displaystyle С _ {\ bc} ^ {а} = 0}$ ${\ Displaystyle С _ {\ bc} ^ {а} = \ varepsilon _ {\ bc} ^ {а}}$ ${\ Displaystyle \ varepsilon _ {\ bc} ^ {а}}$