Куча (математика) - Heap (mathematics)

В абстрактной алгебре , А полугруда представляет собой алгебраическая структура , состоящая из непустого множества Н с тройной операцией , обозначенном , который удовлетворяет модифицированное свойство ассоциативности: ${\ displaystyle [x, y, z] \ in H}$

${\ displaystyle \ forall a, b, c, d, e \ in H \ \ \ \ [[a, b, c], d, e] = [a, [d, c, b], e] = [ a, b, [c, d, e]].}$

Biunitary элемент ч из полугруда удовлетворяет [ ч, H, K ] = K = [ K, H, H ] для каждого к в H .

Кучи является полугруда , в котором каждый элемент является biunitary.

Термин « куча» происходит от слова «груда», что в русском языке означает «куча», «куча» или «стопка». Антон Сушкевич использовал этот термин в своей « Теории обобщенных групп» (1937), который оказал влияние на Виктора Вагнера , пропагандиста полукучей, куч и обобщенных куч. Груда контрастирует с группой, переведенной на русский язык транслитерацией. Действительно, в английском тексте куча называется groud .)

Примеры

Двухэлементная куча

Превратитесь в циклическую группу , определив единичный элемент, и . Затем он создает следующую кучу: ${\ Displaystyle Н = \ {а, Ь \}}$ ${\ displaystyle C_ {2}}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle bb = a}$

${\ Displaystyle [a, a, a] = a, \, [a, a, b] = b, \, [b, a, a] = b, \, [b, a, b] = a,}$

${\ Displaystyle [a, b, a] = b, \, [a, b, b] = a, \, [b, b, a] = a, \, [b, b, b] = b.}$

Определив как элемент идентичности и дал бы такую ​​же кучу. ${\ displaystyle b}$${\ displaystyle aa = b}$

Куча целых чисел

Если это целые числа, мы можем настроить создание кучи. Затем мы можем выбрать любое целое число в качестве идентификатора новой группы на множестве целых чисел с помощью операции ${\ displaystyle x, y, z}$${\ Displaystyle [х, у, z] = х-у + z}$ ${\ displaystyle k}$${\ displaystyle *}$

${\ displaystyle x * y = x + yk}$

и обратный

${\ displaystyle x ^ {- 1} = 2k-x}$ .

Куча группоида с двумя объектами

Можно обобщить понятие кучи группы на случай группоида, который имеет два объекта A и B, если рассматривать их как категорию . Элементы кучи могут быть идентифицированы с морфизмами от A до B, так что три морфизма x , y , z определяют операцию кучи в соответствии с:

${\ displaystyle [x, y, z] = xy ^ {- 1} z.}$

Это сводится к куче группы, если в качестве идентичности выбран конкретный морфизм между двумя объектами. Это интуитивно связывает описание изоморфизмов между двумя объектами в виде кучи и описание изоморфизмов между несколькими объектами в виде группоида.

Гетерогенные отношения

Пусть A и B - разные множества и совокупность разнородных отношений между ними. Для определения тернарного оператора, где q ^T - обратное отношение к q . Результат этой композиции также состоит в том, что математическая структура была сформирована тройной операцией. Виктор Вагнер был мотивирован на создание этой кучи своим изучением карт переходов в атласе, которые являются частичными функциями . Таким образом, куча - это больше, чем настройка группы: это общая концепция, включающая группу как тривиальный случай. ${\ Displaystyle {\ mathcal {B}} (А, В)}$${\ displaystyle p, q, r \ in {\ mathcal {B}} (A, B)}$${\ displaystyle [p, q, r] = pq ^ {T} r}$${\ Displaystyle {\ mathcal {B}} (А, В)}$

Теоремы

Теорема : полугруду с биунитарным элементом e можно рассматривать как инволютивную полугруппу с операцией, задаваемой ab = [ a , e , b ], и инволюцией a ^–1 = [ e , a , e ].

Теорема : любую полугруду можно вложить в инволютивную полугруппу .

Как и при изучении полугрупп , структура полугруды описывается в терминах идеалов, где «i-простая полугучка» не имеет собственных идеалов. Мустафаева перевела отношения Грина теории полугрупп на полугруды и определила ρ-класс как элементы, порождающие один и тот же принцип двустороннего идеала. Затем он доказал, что никакая i-простая полукуча не может иметь более двух ρ классов.

Он также описал классы регулярности полукучины S :

${\ Displaystyle D (м, п) = \ {а \ середина \ существует х \ в S: а = а ^ {п} ха ^ {м} \}}$ где п и м имеют одинаковую четность и тройная операция полугруды применяются в левой части строки из S .

Он доказывает, что S может иметь не более 5 классов регулярности. Мустафаев называет идеал B «изолированным», когда он затем доказывает, что когда S = D (2,2), то каждый идеал изолирован, и наоборот. ${\ displaystyle a ^ {n} \ in B \ подразумевает \ in B.}$

Изучая полугруду Z ( A, B ) неоднородных отношений между множествами A и B , в 1974 г. К.А. Зарецкий вслед за Мустафаевым описал идеальную эквивалентность, классы регулярности и идеальные факторы полукучины.

Обобщения и связанные с ними концепции

• Pseudoheap или pseudogroud удовлетворяет частичную пару-ассоциативной условие

  ${\ displaystyle [[a, b, c], d, e] = [a, b, [c, d, e]].}$

• Мальцева операция удовлетворяет закон идентичности , но не обязательно пару-ассоциативный закон, то есть тройная операция на множестве удовлетворяющего личность . ${\ displaystyle f}$${\ displaystyle X}$${\ Displaystyle е (х, х, у) = е (у, х, х) = у}$
• Полугруды или semigroud должен удовлетворять только пару-ассоциативный закон , но не должен подчиняться закону идентичности.

  Пример semigroud , который не в общем Groud даются М кольца из матриц фиксированного размера с

  ${\ Displaystyle [х, y, z] = х \ cdot y ^ {\ mathrm {T}} \ cdot z}$

  где • обозначает умножение матриц, а T обозначает транспонирование матрицы .

• Идемпотентный является полугруды , где для всех а . ${\ Displaystyle [а, а, а] = а}$
• Обобщена куча или обобщенный Groud является идемпотентной , где

  ${\ displaystyle [a, a, [b, b, x]] = [b, b, [a, a, x]]}$ и для всех а и б . ${\ displaystyle [[x, a, a], b, b] = [[x, b, b], a, a]}$

Полугруд является обобщенным слоем, если отношение → определено формулой

${\ displaystyle a \ rightarrow b \ Leftrightarrow [a, b, a] = a}$

является рефлексивной (идемпотентность) и антисимметричной . В обобщенной группе → - отношение порядка .

Смотрите также

n -арная ассоциативность

Ноты

использованная литература

• Антон Сушкевич (1929) «Об обобщении ассоциативного закона», Труды Американского математического общества 31 (1): 204–14 doi : 10.1090 / S0002-9947-1929-1501476-0 MR 1501476
• Шейн, Борис (1979). «Обратные полугруппы и обобщенные группы». В А.Ф. Лаврик (ред.). Двенадцать работ по логике и алгебре . Амер. Математика. Soc. Пер. 113 . Американское математическое общество . С. 89–182. ISBN   0-8218-3063-5 .
• Вагнер, В.В. (1968). «К алгебраической теории координатных атласов, II». Труды сем. Вектор. Tenzor. Анальный. (по-русски). 14 : 229–281. Руководство по ремонту   0253970 .

внешние ссылки

• Сорт Мальцева в nLab