Аффинная группа - Affine group

В математике , то аффинная группа или вообще аффинная группа любого аффинного пространства над полем K является группой всех обратимых аффинных преобразований из пространства в себя.

Это группа Ли, если K - действительное или комплексное поле или кватернионы .

Отношение к общей линейной группе

Построение из общей линейной группы

В частности, дано векторное пространство V , то есть , лежащее в основе аффинного пространства A , полученное «забывает» происхождение, с V действует сдвиги, и аффинная группа A может быть описана конкретно как полупрямому продукт из V с помощью GL ( V ) , то линейная группа из V :

${\ Displaystyle \ OperatorName {Aff} (V) = V \ rtimes \ OperatorName {GL} (V)}$

Действие GL ( V ) на V является естественным (линейные преобразования являются автоморфизмами), поэтому это определяет полупрямое произведение .

В терминах матриц пишут:

${\ displaystyle \ operatorname {Aff} (n, K) = K ^ {n} \ rtimes \ operatorname {GL} (n, K)}$

где здесь естественным действием GL ( n , K ) на K ⁿ является матричное умножение вектора.

Стабилизатор точки

Принимая во внимание аффинной группы аффинного пространства А , то стабилизатор некоторой точки р изоморфна общей линейной группы тех же размерности (поэтому стабилизатор точки в Aff (2, R ) изоморфен GL (2, R ) ); формально это общая линейная группа векторного пространства ( A , p ) : напомним, что если зафиксировать точку, аффинное пространство становится векторным пространством.

Все эти подгруппы сопряжены, где сопряжение задается преобразованием из p в q (которое определяется однозначно), однако никакая конкретная подгруппа не является естественным выбором, поскольку нет особой точки - это соответствует множественному выбору поперечной подгруппы, или разбиение короткой точной последовательности

${\ displaystyle 1 \ к V \ к V \ rtimes \ operatorname {GL} (V) \ to \ operatorname {GL} (V) \ to 1 \ ,.}$

В случае, если аффинная группа была построена, начиная с векторного пространства, подгруппа, которая стабилизирует начало координат (векторного пространства), является исходной GL ( V ) .

Матричное представление

Представляя аффинную группу как полупрямое произведение V на GL ( V ) , то по построению полупрямого произведения элементы представляют собой пары ( M , v ) , где v - вектор в V, а M - линейное преобразование в GL ( V ) , а умножение определяется по формуле:

${\ Displaystyle (M, v) \ cdot (N, w) = (MN, v + Mw) \ ,.}$

Это можно представить в виде блочной матрицы ( n + 1) × ( n + 1) :

${\ displaystyle \ left ({\ begin {array} {c | c} M & v \\\ hline 0 & 1 \ end {array}} \ right)}$

где M - матрица размера n × n над K , v - вектор-столбец n × 1 , 0 - строка нулей размером 1 × n , а 1 - единичная блочная матрица 1 × 1 .

Формально Aff ( V ) естественно изоморфна подгруппе в GL ( V ⊕ K ) , причем V вложена как аффинная плоскость {( v , 1) | v ∈ V } , а именно стабилизатор этой аффинной плоскости; выше формулировка матрица является (транспонированная) реализация этого, с п × п и 1 × 1 ) блоки , соответствующие разложению прямой суммы V ⊕ K .

Похоже представление любая ( п + 1) × ( п + 1) , матрица , в которой запись в каждой колонке сумме к 1. Сходства P для перехода от вышеуказанного типа , чтобы такого рода является ( п + 1) × ( п + 1) единичная матрица, в которой нижняя строка заменена строкой из всех единиц.

Каждый из этих двух классов матриц замкнут относительно умножения матриц.

Простейшей парадигмой может быть случай n = 1 , то есть верхнетреугольные матрицы 2 × 2, представляющие аффинную группу в одном измерении. Это двухпараметрическая неабелева группа Ли , поэтому всего с двумя образующими (элементами алгебры Ли), A и B , такими, что [ A , B ] = B , где

${\ displaystyle A = \ left ({\ begin {array} {cc} 1 & 0 \\ 0 & 0 \ end {array}} \ right), \ qquad B = \ left ({\ begin {array} {cc} 0 & 1 \\ 0 & 0 \ end {array}} \ right) \ ,,}$

чтобы

${\ displaystyle e ^ {aA + bB} = \ left ({\ begin {array} {cc} e ^ {a} & {\ tfrac {b} {a}} (e ^ {a} -1) \\ 0 & 1 \ end {array}} \ right) \ ,.}$

Таблица символов Aff ( F _p )

Aff ( F _p ) имеет порядок p ( p - 1) . С

${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} c & d \\ 0 & 1 \ end {pmatrix}} {\ begin {pmatrix} a & b \\ 0 & 1 \ end {pmatrix}} {\ begin {pmatrix} c & d \\ 0 & 1 \ end {pmatrix} } ^ {- 1} = {\ begin {pmatrix} a & (1-a) d + bc \\ 0 & 1 \ end {pmatrix}} \ ,,}$

мы знаем, что Aff ( F _p ) имеет p классов сопряженности, а именно

${\ displaystyle {\ begin {align} C_ {id} & = \ left \ {{\ begin {pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \ end {pmatrix}} \ right \} \ ,, \\ [6pt] C_ {1 } & = \ left \ {{\ begin {pmatrix} 1 & b \\ 0 & 1 \ end {pmatrix}} {\ Bigg |} b \ in \ mathbf {F} _ {p} ^ {*} \ right \} \, , \\ [6pt] {\ Bigg \ {} C_ {a} & = \ left \ {{\ begin {pmatrix} a & b \\ 0 & 1 \ end {pmatrix}} {\ Bigg |} b \ in \ mathbf {F } _ {p} \ right \} {\ Bigg |} a \ in \ mathbf {F} _ {p} \ setminus \ {0,1 \} {\ Bigg \}} \,. \ end {выровнено}} }$

Тогда мы знаем, что Aff ( F _p ) имеет p неприводимых представлений. Согласно вышеприведенному абзацу ( § Матричное представление ) существует p - 1 одномерное представление, определяемое гомоморфизмом

${\ displaystyle \ rho _ {k}: \ operatorname {Aff} (\ mathbf {F} _ {p}) \ to \ mathbb {C} ^ {*}}$

для k = 1, 2,… p - 1 , где

${\ displaystyle \ rho _ {k} {\ begin {pmatrix} a & b \\ 0 & 1 \ end {pmatrix}} = \ exp \ left ({\ frac {2ikj \ pi} {p-1}} \ right)}$

и i ² = −1 , a = g ^j , g - образующая группы F ^∗
_p . Затем сравните с порядком F _p , мы имеем

${\ Displaystyle п (п-1) = п-1 + \ чи _ {р} ^ {2} \ ,,}$

следовательно, χ _p = p - 1 - размерность последнего неприводимого представления. Наконец, используя ортогональность неприводимых представлений, мы можем дополнить таблицу символов Aff ( F _p ) :

${\ displaystyle {\ begin {array} {c | cccccc} & {\ color {Blue} C_ {id}} & {\ color {Blue} C_ {1}} & {\ color {Blue} C_ {g}} & {\ color {Blue} C_ {g ^ {2}}} & {\ color {Gray} \ dots} & {\ color {Blue} C_ {g ^ {p-2}}} \\\ hline {\ цвет {Синий} \ chi _ {1}} & {\ color {Серый} 1} & {\ color {Серый} 1} & {\ color {Синий} e ^ {\ frac {2 \ pi i} {p- 1}}} & {\ color {Blue} e ^ {\ frac {4 \ pi i} {p-1}}} & {\ color {Gray} \ dots} & {\ color {Blue} e ^ {\ гидроразрыв {2 \ pi (p-2) i} {p-1}}} \\ {\ color {Blue} \ chi _ {2}} & {\ color {Gray} 1} & {\ color {Gray} 1} & {\ color {Blue} e ^ {\ frac {4 \ pi i} {p-1}}} & {\ color {Blue} e ^ {\ frac {8 \ pi i} {p-1} }} & {\ color {Серый} \ dots} & {\ color {Синий} e ^ {\ frac {4 \ pi (p-2) i} {p-1}}} \\ {\ color {Синий} \ chi _ {3}} & {\ color {Gray} 1} & {\ color {Gray} 1} & {\ color {Blue} e ^ {\ frac {6 \ pi i} {p-1}}} & {\ color {Blue} e ^ {\ frac {12 \ pi i} {p-1}}} & {\ color {Gray} \ dots} & {\ color {Blue} e ^ {\ frac {6 \ pi (p-2) i} {p-1}}} \\ {\ color {Gray} \ dots} & {\ color {Gray} \ dots} & {\ color {Gray} \ dots} & {\ color {Gray} \ dots} & {\ color {Gray} \ dots} & {\ color {Gray} \ dots} & {\ color {Gray} \ dots} \\ {\ color {Blue} \ chi _ {p- 1}} & {\ color {Серый} 1} & {\ color {Gray} 1} & {\ color {Gray} 1} & {\ color {Gray} 1} & {\ color {Gray} \ dots} & {\ color {Gray} 1} \\ {\ color {Синий } \ chi _ {p}} & {\ color {Gray} p-1} & {\ color {Gray} -1} & {\ color {Gray} 0} & {\ color {Gray} 0} & {\ цвет {Серый} \ точки} и {\ цвет {Серый} 0} \ end {array}}}$

Плоская аффинная группа над вещественными числами

Элементы могут иметь простой вид в хорошо подобранной аффинной системе координат . Точнее, если задано аффинное преобразование аффинной плоскости над вещественными числами , существует аффинная система координат, в которой она имеет одну из следующих форм, где a , b и t - действительные числа (данные условия гарантируют, что преобразования обратимы, но не для разделения классов; например, идентичность принадлежит всем классам). ${\ displaystyle \ operatorname {Aff} (2, \ mathbb {R})}$

${\ displaystyle {\ begin {align} {\ text {1.}} && (x, y) & \ mapsto (x + a, y + b), \\ [3pt] {\ text {2.}} && (x, y) & \ mapsto (ax, by), & \ qquad {\ text {where}} ab \ neq 0, \\ [3pt] {\ text {3.}} && (x, y) & \ mapsto (ax, y + b), & \ qquad {\ text {where}} a \ neq 0, \\ [3pt] {\ text {4.}} && (x, y) & \ mapsto (ax + y , ay), & \ qquad {\ text {where}} a \ neq 0, \\ [3pt] {\ text {5.}} && (x, y) & \ mapsto (x + y, y + a) \\ [3pt] {\ text {6.}} && (x, y) & \ mapsto (a (x \ cos t + y \ sin t), a (-x \ sin t + y \ cos t)) , & \ qquad {\ text {where}} a \ neq 0. \ end {align}}}$

Случай 1 соответствует переводам .

Случай 2 соответствует масштабированию, которое может различаться в двух разных направлениях. При работе с евклидовой плоскостью эти направления не обязательно должны быть перпендикулярными , поскольку оси координат не должны быть перпендикулярными.

Случай 3 соответствует масштабированию в одном направлении и перемещению в другом.

Случай 4 соответствует отображению сдвига в сочетании с растяжением.

Случай 5 соответствует отображению сдвига в сочетании с растяжением.

Случай 6 соответствует подобию , когда оси координат перпендикулярны.

Аффинные преобразования без фиксированной точки относятся к случаям 1, 3 и 5. Преобразования, не сохраняющие ориентацию плоскости, относятся к случаям 2 (с ab <0 ) или 3 (с a <0 ).

Доказательство может быть выполнено, сначала отметив, что если аффинное преобразование не имеет фиксированной точки, то матрица соответствующего линейного отображения имеет собственное значение, равное единице, а затем используя теорему Жордана о нормальной форме для вещественных матриц .

Другие аффинные группы

Общий случай

Принимая во внимание любой подгруппы G <GL ( V ) от общей линейной группы , можно произвести аффинную группу, иногда обозначаемый Aff ( G ) аналогично тому, как Aff ( G ): = V ⋊ G .

В более общем и абстрактно, учитывая любая группа G и представление из G на векторном пространстве V ,

${\ displaystyle \ rho: G \ to \ operatorname {GL} (V)}$

получается ассоциированная аффинная группа V ⋊ _ρ G : можно сказать, что полученная аффинная группа является « расширением группы с помощью векторного представления», и, как и выше, имеется короткая точная последовательность:

${\ Displaystyle 1 \ к V \ к V \ rtimes _ {\ rho} G \ к G \ к 1 \ ,.}$

Специальная аффинная группа

Подмножество всех обратимых аффинных преобразований, сохраняющих фиксированную форму объема, или в терминах полупрямого произведения, множество всех элементов ( M , v ) с M детерминанта 1, является подгруппой, известной как специальная аффинная группа .

Проективная подгруппа

Предполагая знание проективности и проективной группы проективной геометрии , аффинная группа может быть легко определена. Например, Гюнтер Эвальд писал:

Множество всех проективных коллинеаций Р ^п представляет собой группу , которую мы можем назвать проективную группу из Р ^н . Если исходить из Р ^н к аффинному пространству А ^п путем объявления гиперплоскости Q , чтобы быть гиперплоскостью на бесконечности , получает аффинную группу из А ^п в качестве подгруппы в состоящих из всех элементов , которые оставляют со фиксированным. ${\ Displaystyle {\ mathfrak {P}}}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {A}}}$${\ Displaystyle {\ mathfrak {P}}}$${\ Displaystyle {\ mathfrak {P}}}$

${\ Displaystyle {\ mathfrak {A}} \ subset {\ mathfrak {P}}}$

Группа Пуанкаре

Группа Пуанкаре - это аффинная группа группы Лоренца O (1,3) :

${\ displaystyle \ mathbf {R} ^ {1,3} \ rtimes \ operatorname {O} (1,3)}$

Этот пример очень важен для теории относительности .

Смотрите также

• Аффинная группа Кокстера - некоторые дискретные подгруппы аффинной группы на евклидовом пространстве , сохраняющие решетку
• Голоморф

Заметки

Рекомендации